Начнем со схемы, на которой изображены обычные источники напряжения. Выберем общий узел ''Е0'' в качестве опорной точки. Узловые напряжения ''E1'' и ''E2'' вычисляются относительно этой точки.
Начнем со схемы, на которой изображены обычные источники напряжения. Выберем общий узел ''Е0'' в качестве опорной точки. Узловые напряжения ''E1'' и ''E2'' вычисляются относительно этой точки.
Рис. 1. Схема с обычными источниками напряжения.
[[File:Схема с обычными источниками напряжения_1_17122020_2154.jpg|frame|center|Рис. 1. Схема с обычными источниками напряжения.]]
Рис. 2. Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока. Последовательные (по отношению к источнику напряжения) резисторы становятся параллельными (по отношению к источнику тока). Величина силы тока подбирается таким образом, чтобы в ветви создавалось эквивалентное напряжение.
[[File:Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока_2_17122020_2155.jpg|frame|center|Рис. 2. Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока. Последовательные (по отношению к источнику напряжения) резисторы становятся параллельными (по отношению к источнику тока). Величина силы тока подбирается таким образом, чтобы в ветви создавалось эквивалентное напряжение.
]]
Замена источников напряжения и связанных последовательных резисторов эквивалентными источниками тока и параллельными резисторами приводит к изменениям в схеме. Заменяем сопротивление в омах электрической проводимостью в сименсах.
Замена источников напряжения и связанных последовательных резисторов эквивалентными источниками тока и параллельными резисторами приводит к изменениям в схеме. Заменяем сопротивление в омах электрической проводимостью в сименсах.
Строка 27:
Строка 28:
</syntaxhighlight>
</syntaxhighlight>
Рис. 3. Вместо источников напряжения – источники тока (сила тока такова, чтобы создавалось эквивалентное напряжение). Вместо последовательных резисторов – параллельные. Вместо сопротивления - электрическая проводимость.
[[File:Вместо источников напряжения – источники тока_3_17122020_2155.jpg|frame|center|Рис. 3. Вместо источников напряжения – источники тока (сила тока такова, чтобы создавалось эквивалентное напряжение). Вместо последовательных резисторов – параллельные. Вместо сопротивления - электрическая проводимость.
]]
Можно ещё упростить, объединив параллельные проводимости (бывшие сопротивления). Но перерисовывать схему не будем. Она уже и так готова к применению метода узлового напряжения.
Можно ещё упростить, объединив параллельные проводимости (бывшие сопротивления). Но перерисовывать схему не будем. Она уже и так готова к применению метода узлового напряжения.
Строка 95:
Строка 97:
Посмотрим ещё один пример. Здесь три узла. На принципиальной схеме проводимость не указываем. Однако она просто вычисляется: ''G1 = 1/R1, G2 = 1/R2 и т.д''.
Посмотрим ещё один пример. Здесь три узла. На принципиальной схеме проводимость не указываем. Однако она просто вычисляется: ''G1 = 1/R1, G2 = 1/R2 и т.д''.
Рис. 4. Схема из прошлой лекции с несбалансированным мостом Витстона. Вместо источника напряжения – источник тока.
[[File:Схема из прошлой лекции с несбалансированным мостом Витстона_4_17122020_2155.jpg|frame|center|Рис. 4. Схема из прошлой лекции с несбалансированным мостом Витстона. Вместо источника напряжения – источник тока.]]
Есть три узла, для которых можно написать обходные уравнения. Обратите внимание, что для уравнения (1) положителен коэффициент у ''E1'', для уравнения (2) положителен коэффициент у ''E2'' и для уравнения (3) положителен коэффициент у ''E3''. Эти коэффициенты – суммы всех проводимостей, подключенных к этим узлам. Все остальные коэффициенты отрицательны, что соответствует проводимости между узлами. Правая часть уравнений – это связанный источник тока, ''0,136092 А'' для единственного источника тока в ''узле 1''. Остальные уравнения в правой части равны нулю из-за отсутствия источников тока. Нам лень рассчитывать проводимости резисторов на схеме. Таким образом, ''G'' в нижнем индексе – это коэффициенты.
Есть три узла, для которых можно написать обходные уравнения. Обратите внимание, что для уравнения (1) положителен коэффициент у ''E1'', для уравнения (2) положителен коэффициент у ''E2'' и для уравнения (3) положителен коэффициент у ''E3''. Эти коэффициенты – суммы всех проводимостей, подключенных к этим узлам. Все остальные коэффициенты отрицательны, что соответствует проводимости между узлами. Правая часть уравнений – это связанный источник тока, ''0,136092 А'' для единственного источника тока в ''узле 1''. Остальные уравнения в правой части равны нулю из-за отсутствия источников тока. Нам лень рассчитывать проводимости резисторов на схеме. Таким образом, ''G'' в нижнем индексе – это коэффициенты.
Аналитический метод узловых потенциалов находит неизвестные напряжения в узлах схемы с помощью системы уравнений ПКТ (правило Кирхгофа для силы тока). Такой подход выглядит необычным, поскольку он предполагает замену источников напряжения эквивалентными источниками тока. Более того, значения сопротивлений в омах заменяются на эквивалентную электрическую проводимость (электропроводность или просто проводимость) измеряемую в сименсах, G = 1/R. Сименс (См, англ. S) – это единица электрической проводимости, заменившая устаревшую единицу измерения мо (англ. mho). В любом случае, См = Ом-1. И См показывает то же самое, что и устаревшее мо.
Метод расчёта узловых потенциалов
Начнем со схемы, на которой изображены обычные источники напряжения. Выберем общий узел Е0 в качестве опорной точки. Узловые напряжения E1 и E2 вычисляются относительно этой точки.
Замена источников напряжения и связанных последовательных резисторов эквивалентными источниками тока и параллельными резисторами приводит к изменениям в схеме. Заменяем сопротивление в омах электрической проводимостью в сименсах.
Можно ещё упростить, объединив параллельные проводимости (бывшие сопротивления). Но перерисовывать схему не будем. Она уже и так готова к применению метода узлового напряжения.
GA=G1+G2=0,5S+0,25S=0,75SGB=G4+G5=0,2S+1S=1,2S
Исходя из общих принципов метода узлового напряжения, мы составим пару уравнений ПКТ, подставив в них узловые напряжения V1 и V2. Мы делаем это, чтобы проиллюстрировать схему написания обходных уравнений.
Коэффициенты последней пары уравнений выше перегруппированы, чтобы показать закономерность. Сумма проводимостей, подключённых к первому узлу, является положительным коэффициентом первого напряжения в уравнении (1). Сумма проводимостей, подключённых ко второму узлу, является положительным коэффициентом второго напряжения в уравнении (2). Остальные коэффициенты отрицательны и представляют собой проводимость между узлами.
Для обоих уравнений правая часть равна соответствующему источнику тока, подключённого к узлу. Этот шаблон позволяет нам быстро писать обходные уравнения. Это приводит к набору правил для аналитического метода узловых потенциалов.
Правила узловых потенциалов:
Преобразуйте источник напряжения, включенный последовательно с резистором, в эквивалентный источник тока с параллельным резистором.
Измените значения сопротивления на электропроводность.
Выберите опорный узел (E0).
Обозначьте на остальных узлах неизвестные напряжения (E1) (E2) ... (EN).
Напишите уравнение ПКТ для каждого узла 1, 2, ..., N. Положительный коэффициент первого напряжения в первом уравнении представляет собой сумму проводимостей, подключенных к узлу. Коэффициент для второго напряжения во втором уравнении – это сумма проводимостей, подключенных к этому узлу. Повторите это для коэффициента третьего напряжения в третьем уравнении и так далее и для остальных уравнений. Если уравнения написать по порядку одно под другим, то эти коэффициенты расположены как бы «по диагонали».
Все остальные коэффициенты для всех уравнений отрицательны и представляют собой проводимости между узлами. Первое уравнение, второй коэффициент – это проводимость участка от узла 1 к узлу 2, третий коэффициент – это проводимость участка от узла 1 к узлу 3. Аналогично заполняются отрицательные коэффициенты для других уравнений.
Правая часть уравнений – это источник тока, подключенный к соответствующим узлам.
Решите систему уравнений для неизвестных напряжений в узлах.
Пример применения метода узловых потенциалов
Задание: составьте уравнения и решите для напряжений в узлах, используя числовые значения на рисунке выше.
Решение этой системы из двух уравнений может быть выполнено с помощью калькулятора или программы Октава (этот вариант тут не показан). Решение проверено в SPICE на основе оригинальной принципиальной схемы с источниками напряжения. Хотя в SPICE можно смоделировать и схему с источниками тока.
Посмотрим ещё один пример. Здесь три узла. На принципиальной схеме проводимость не указываем. Однако она просто вычисляется: G1 = 1/R1, G2 = 1/R2 и т.д.
Есть три узла, для которых можно написать обходные уравнения. Обратите внимание, что для уравнения (1) положителен коэффициент у E1, для уравнения (2) положителен коэффициент у E2 и для уравнения (3) положителен коэффициент у E3. Эти коэффициенты – суммы всех проводимостей, подключенных к этим узлам. Все остальные коэффициенты отрицательны, что соответствует проводимости между узлами. Правая часть уравнений – это связанный источник тока, 0,136092 А для единственного источника тока в узле 1. Остальные уравнения в правой части равны нулю из-за отсутствия источников тока. Нам лень рассчитывать проводимости резисторов на схеме. Таким образом, G в нижнем индексе – это коэффициенты.
Мы настолько ленивы, что вводим взаимные сопротивления и суммы взаимных сопротивлений в матрицу Октавы «А», позволяя Октаве вычислить матрицу проводимости после «А =». Первоначальная входящая строка была такой длинной, что её разбили на три ряда. Это отличается от предыдущих примеров. Введённая матрица «А» ограничена начальной и конечной квадратными скобками. Столбцы матрицы разделяются пробелами. Строки матрицы разделяются символом «перевод строки». Запятые и точки с запятой в качестве разделителей не нужны. Тем не менее, вектор тока в «b» разделён точкой с запятой, чтобы получить вектор-столбец токов.
Обратите внимание, что диагональные коэффициенты матрицы «A» положительны, а все остальные коэффициенты отрицательны.
Решение в виде вектора напряжения находится в точке «x». E1 = 24,000 В, E2 = 17,655 В, E3 = 19,310 В. Эти три напряжения оказываются равными предыдущим значениям контурных токов (из прошлой лекции, где мы решили такой же мост другим методом) и с решениями SPICE для того несимметричного моста. Это не случайное совпадение, так как источник тока, равный 0,13609 А был специально подобран так, чтобы он оказался эквивалентным источнику напряжения 24 В, используемого в прошлый раз в такой же задаче.
Итог
Для сети, состоящей из элементов с электропроводностью и источников тока, аналитический метод узловых потенциалов находит неизвестные напряжения в узлах с помощью уравнений ПКТ.
Подробные рекомендации по составлению обходных уравнений – см. вышеприведённые в этой лекции правила.
Единица проводимости G – сименс (S). Проводимость обратно пропорциональна сопротивлению: G = 1/R.