На практике это означает, что в состоянии резонанса полное сопротивление колебательного контура бесконечно (т.е. в этом случае колебательный контур ведёт себя как разомкнутая цепь). Можно в виде графика изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания посредством небольшого моделирования в программе SPICE.
На практике это означает, что в состоянии резонанса полное сопротивление колебательного контура бесконечно (т.е. в этом случае колебательный контур ведёт себя как разомкнутая цепь). Можно в виде графика изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания посредством небольшого моделирования в программе SPICE.
[[File:II-6_2-.png|center|thumb|300px|Рис. 5. Смоделируем в SPICE широкий частотный диапазон источника питания для нашей изначальной цепи. Прежде чем программировать, на схеме отметим узловые точки и добавим для катушки индуктивности последовательное малое сопротивление (программа SPICE не обрабатывает прямую связь между источником напряжения и индуктивными элементами).]]
[[File:II-6_2-5.jpg|center|thumb|300px|Рис. 5. Смоделируем в SPICE широкий частотный диапазон источника питания для нашей изначальной цепи. Прежде чем программировать, на схеме отметим узловые точки и добавим для катушки индуктивности последовательное малое сопротивление (программа SPICE не обрабатывает прямую связь между источником напряжения и индуктивными элементами).]]
=== Моделируем в SPICE дополненную резонансную схему ===
=== Моделируем в SPICE дополненную резонансную схему ===
tank circuit frequency sweep
{| class="wikitable"
|-
| tank circuit frequency sweep
v1 1 0 ac 1 sin
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
c1 1 0 10u
Строка 54:
Строка 56:
.plot ac i(v1)
.plot ac i(v1)
.end
.end
|}
Программа выдаст вот такой псевдографик:
Программа выдаст вот такой псевдографик:
[[File:II-6_2-6.png|center|thumb|300px|Рис. 6. (Псевдо)график, созданный программой SPICE.]]
[[File:II-6_2-6.png|center|thumb|500px|Рис. 6. (Псевдо)график, созданный программой SPICE.]]
{{ads2}}
Резистор 1 на пикоом (1 пОм) нужен, чтобы преодолеть ограничение SPICE, которая не может анализировать цепь, где источник напряжения напрямую соединён с индуктивным элементом. Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние резистора на поведение цепи.
Резистор 1 на пикоом (1 пОм) нужен, чтобы преодолеть ограничение SPICE, которая не может анализировать цепь, где источник напряжения напрямую соединён с индуктивным элементом. Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние резистора на поведение цепи.
Строка 71:
Строка 76:
Приведенный выше spice-файл (тот, что с расширение .cir) не требует команды plot (.plot), хотя использование этой команды само по себе безвредно. Следующие команды создают более привлекательный график (приведён ниже):
Приведенный выше spice-файл (тот, что с расширение .cir) не требует команды plot (.plot), хотя использование этой команды само по себе безвредно. Следующие команды создают более привлекательный график (приведён ниже):
spice -b -r resonant.raw resonant.cir
{| class="wikitable"
|-
| spice -b -r resonant.raw resonant.cir
( -b batch mode, -r raw file, input is resonant.cir)
( -b batch mode, -r raw file, input is resonant.cir)
nutmeg resonant.raw
nutmeg resonant.raw
|}
Из спецификации Nutmeg, с подсказками, что происходит в каждой строке:
Из спецификации Nutmeg, с подсказками, что происходит в каждой строке:
>setplot ac1 (setplot {enter} for list of plots)
{| class="wikitable"
|-
| >setplot ac1 (setplot {enter} for list of plots)
>display (for list of signals)
>display (for list of signals)
>plot mag(v1#branch)
>plot mag(v1#branch)
(magnitude of complex current vector v1#branch)
(magnitude of complex current vector v1#branch)
|}
[[File:II-6_2-7.png|center|thumb|300px|Рис. 7. График тока I (v1) для параллельного резонансного контура, созданный с помощью Nutmeg. Этот график аналогичен предыдущему (псевдо)графику, если его повернуть по часовой стрелке на 90°.]]
[[File:II-6_2-8.jpg|center|thumb|300px|Рис. 7. График тока I (v1) для параллельного резонансного контура, созданный с помощью Nutmeg. Этот график аналогичен предыдущему (псевдо)графику, если его повернуть по часовой стрелке на 90°.]]
== Диаграммы Боде ==
== Диаграммы Боде ==
Строка 91:
Строка 104:
*Резонанс возникает, когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
*Резонанс возникает, когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
*Для колебательного контура без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле
*Для колебательного контура без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле
[[File:II-6_2-8.jpg|center|thumb|300px|Рис. 8. Резонансная частота для колебательного контура, не являющегося резистивным.]]
[[File:II-6_2-9.jpg|center|thumb|300px|Рис. 8. Резонансная частота для колебательного контура, не являющегося резистивным.]]
*Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания по своему значению приближается к резонансной частоте.
*Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания по своему значению приближается к резонансной частоте.
*Диаграмма Боде представляет собой график, где амплитуда сигнала (или фазовый сдвиг) изображён на одной оси и частота колебаний – на другой.
*Диаграмма Боде представляет собой график, где амплитуда сигнала (или фазовый сдвиг) изображён на одной оси и частота колебаний – на другой.
Простой параллельный резонанс (колебательный контур)[1]
Резонанс в колебательном контуре
Состояние резонанса возникнет в колебательном контуре при условии, если реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны друг другу. Известно, что с увеличением частоты колебательного контура индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, а ёмкостное реактивное сопротивление – уменьшается. Поэтому будет только одна частота, при которой оба реактивных сопротивления будут равны. Рассмотрим пример:
В этой схеме есть конденсатор на 10 мкФ и катушка индуктивности на 100 мГн. Возьмём уравнения для определения реактивного сопротивления каждого элемента на заданной частоте, и найдём ту точку, где два реактивных сопротивления равны друг другу. Для этого обе формулы реактивного сопротивления приравняем друг другу и алгебраически решим относительно частоты:
Итак, что мы имеем: теперь у нас есть формула, которая находит резонансную частоту колебательного контура, учитывая значения индуктивности (L) в Генри и ёмкости (C) в Фарадах. Подставляя значения L и C, которые взяты для нашего примера, получаем резонансную частоту 159,155 Гц.
Рассчитаем импедансы каждого реактивного компонента
При резонансе происходит кое-что весьма интересное. Когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу, полное сопротивление увеличивается до бесконечности, а это означает, что колебательный контур не потребляет ток от источника переменного тока!
Чтобы показать это математически, рассчитаем частные импедансы для конденсатора на 10 мкФ и катушки индуктивности на 100 мГн (и потом воспользуемся формулой для нахождения общего параллельного импеданса):
Как вы, наверное, догадались, для компонентов подобраны именно такие начальные значения, чтобы с получившимися значениями резонансных импедансов (равными точнёхонько 100 Ом) в дальнейшем было легко работать.
Формула параллельного импеданса
Теперь по обратной формуле параллельного импеданса посмотрим, что происходит с общим Z:
Смоделируем график в программе SPICE
Понятно, что деление числа на ноль не даёт интерпретируемый результат. Однако можно утверждать, что результат будет стремиться к бесконечности, если значения двух параллельных импедансов будут стремиться друг к другу.
На практике это означает, что в состоянии резонанса полное сопротивление колебательного контура бесконечно (т.е. в этом случае колебательный контур ведёт себя как разомкнутая цепь). Можно в виде графика изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания посредством небольшого моделирования в программе SPICE.
Моделируем в SPICE дополненную резонансную схему
tank circuit frequency sweep
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
фиктивное сопротивление, необходимое
для устранения прямой связи между v1 и l1,
с которой SPICE не может справиться
rbogus 1 2 1e-12
l1 2 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end
Программа выдаст вот такой псевдографик:
Резистор 1 на пикоом (1 пОм) нужен, чтобы преодолеть ограничение SPICE, которая не может анализировать цепь, где источник напряжения напрямую соединён с индуктивным элементом. Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние резистора на поведение цепи.
Это моделирование в программе SPICE отображает ток в цепи в диапазоне частот от 100 до 200 Гц, разбитым на чётные 20 шагов (включая и крайние значения 100 и 200 Гц). Величина силы тока на графике увеличивается слева-направо, а частота увеличивается сверху-вниз.
На графике видно, что сила тока в этой цепи резко падает в окрестности точки 157,9 Гц. Эта точка, с одной стороны, попала на один из 20-ти шагов в цикле, а с другой – является ближайшей к точке, предсказанной в нашем анализе резонансной частоте 159,155 Гц. Именно в этот момент общий ток от источника питания падает до нуля.
Графический постпроцессор «Nutmeg»
Приведенный выше (псевдо)график создаётся в указанном выше файле схемы spice (имеющий расширение .cir) с помощью команды .plot в последней строке. Генерируется текстовый график, который можно распечатать на любом принтере или вывести в терминале. Для более красивой визуализации есть графический постпроцессор «Nutmeg» (переводится с английского как «мускатный орех»), входящий в программный пакет SPICE.
Приведенный выше spice-файл (тот, что с расширение .cir) не требует команды plot (.plot), хотя использование этой команды само по себе безвредно. Следующие команды создают более привлекательный график (приведён ниже):
spice -b -r resonant.raw resonant.cir
( -b batch mode, -r raw file, input is resonant.cir)
nutmeg resonant.raw
Из спецификации Nutmeg, с подсказками, что происходит в каждой строке:
>setplot ac1 (setplot {enter} for list of plots)
>display (for list of signals)
>plot mag(v1#branch)
(magnitude of complex current vector v1#branch)
Диаграммы Боде
К слову, график, полученный в результате компьютерного анализа SPICE, более известен как диаграмма Боде. Подобные графики по одной оси отображают амплитуду (фазовый сдвиг), а по другой – частоту. Крутизна кривой диаграммы Боде характеризует «частотную характеристику» схемы (т.е. её чувствительность к изменениям частоты).
Итог
Резонанс возникает, когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
Для колебательного контура без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле
Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания по своему значению приближается к резонансной частоте.
Диаграмма Боде представляет собой график, где амплитуда сигнала (или фазовый сдвиг) изображён на одной оси и частота колебаний – на другой.