Электроника:Переменный ток/Резонанс/Простой параллельный резонанс (колебательный контур)

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Простой параллельный резонанс (колебательный контур)

Резонанс в колебательном контуре

Состояние резонанса возникнет в колебательном контуре при условии, если реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны друг другу. Известно, что с увеличением частоты колебательного контура индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, а ёмкостное реактивное сопротивление – уменьшается. Поэтому будет только одна частота, при которой оба реактивных сопротивления будут равны. Рассмотрим пример:

Рис. 1. Простой параллельный резонансный (колебательный) контур.

В этой схеме есть конденсатор на 10 мкФ и катушка индуктивности на 100 мГн. Возьмём уравнения для определения реактивного сопротивления каждого элемента на заданной частоте, и найдём ту точку, где два реактивных сопротивления равны друг другу. Для этого обе формулы реактивного сопротивления приравняем друг другу и алгебраически решим относительно частоты:

Рис. 2. Из уравнений для определения реактивных сопротивлений конденсатора и катушки индуктивности выводим формулу нахождения частоты, при которой наступает состояние резонанса.

Итак, что мы имеем: теперь у нас есть формула, которая находит резонансную частоту колебательного контура, учитывая значения индуктивности (L) в Генри и ёмкости (C) в Фарадах. Подставляя значения L и C, которые взяты для нашего примера, получаем резонансную частоту 159,155 Гц.

Рассчитаем импедансы каждого реактивного компонента

При резонансе происходит кое-что весьма интересное. Когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу, полное сопротивление увеличивается до бесконечности, а это означает, что колебательный контур не потребляет ток от источника переменного тока!

Чтобы показать это математически, рассчитаем частные импедансы для конденсатора на 10 мкФ и катушки индуктивности на 100 мГн (и потом воспользуемся формулой для нахождения общего параллельного импеданса):

Рис. 3. Уравнения для определения частных импедансов.

Как вы, наверное, догадались, для компонентов подобраны именно такие начальные значения, чтобы с получившимися значениями резонансных импедансов (равными точнёхонько 100 Ом) в дальнейшем было легко работать.

Формула параллельного импеданса

Теперь по обратной формуле параллельного импеданса посмотрим, что происходит с общим Z:

Рис. 4. Пытаемся по обратной формуле для параллельного импеданса найти общий Z. Упс… Деление на ноль…

Смоделируем график в программе SPICE

Понятно, что деление числа на ноль не даёт интерпретируемый результат. Однако можно утверждать, что результат будет стремиться к бесконечности, если значения двух параллельных импедансов будут стремиться друг к другу.

На практике это означает, что в состоянии резонанса полное сопротивление колебательного контура бесконечно (т.е. в этом случае колебательный контур ведёт себя как разомкнутая цепь). Можно в виде графика изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания посредством небольшого моделирования в программе SPICE.

Рис. 5. Смоделируем в SPICE широкий частотный диапазон источника питания для нашей изначальной цепи. Прежде чем программировать, на схеме отметим узловые точки и добавим для катушки индуктивности последовательное малое сопротивление (программа SPICE не обрабатывает прямую связь между источником напряжения и индуктивными элементами).

Моделируем в SPICE дополненную резонансную схему

tank circuit frequency sweep v1 1 0 ac 1 sin c1 1 0 10u фиктивное сопротивление, необходимое для устранения прямой связи между v1 и l1, с которой SPICE не может справиться rbogus 1 2 1e-12 l1 2 0 100m .ac lin 20 100 200 .plot ac i(v1) .end

Программа выдаст вот такой псевдографик:

Рис. 6. (Псевдо)график, созданный программой SPICE.

Резистор 1 на пикоом (1 пОм) нужен, чтобы преодолеть ограничение SPICE, которая не может анализировать цепь, где источник напряжения напрямую соединён с индуктивным элементом. Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние резистора на поведение цепи.

Это моделирование в программе SPICE отображает ток в цепи в диапазоне частот от 100 до 200 Гц, разбитым на чётные 20 шагов (включая и крайние значения 100 и 200 Гц). Величина силы тока на графике увеличивается слева-направо, а частота увеличивается сверху-вниз.

На графике видно, что сила тока в этой цепи резко падает в окрестности точки 157,9 Гц. Эта точка, с одной стороны, попала на один из 20-ти шагов в цикле, а с другой – является ближайшей к точке, предсказанной в нашем анализе резонансной частоте 159,155 Гц. Именно в этот момент общий ток от источника питания падает до нуля.

Графический постпроцессор «Nutmeg»

Приведенный выше (псевдо)график создаётся в указанном выше файле схемы spice (имеющий расширение .cir) с помощью команды .plot в последней строке. Генерируется текстовый график, который можно распечатать на любом принтере или вывести в терминале. Для более красивой визуализации есть графический постпроцессор «Nutmeg» (переводится с английского как «мускатный орех»), входящий в программный пакет SPICE.

Приведенный выше spice-файл (тот, что с расширение .cir) не требует команды plot (.plot), хотя использование этой команды само по себе безвредно. Следующие команды создают более привлекательный график (приведён ниже):

spice -b -r resonant.raw resonant.cir ( -b batch mode, -r raw file, input is resonant.cir) nutmeg resonant.raw

Из спецификации Nutmeg, с подсказками, что происходит в каждой строке:

>setplot ac1 (setplot {enter} for list of plots) >display (for list of signals) >plot mag(v1#branch) (magnitude of complex current vector v1#branch)

Рис. 7. График тока I (v1) для параллельного резонансного контура, созданный с помощью Nutmeg. Этот график аналогичен предыдущему (псевдо)графику, если его повернуть по часовой стрелке на 90°.

Диаграммы Боде

К слову, график, полученный в результате компьютерного анализа SPICE, более известен как диаграмма Боде. Подобные графики по одной оси отображают амплитуду (фазовый сдвиг), а по другой – частоту. Крутизна кривой диаграммы Боде характеризует «частотную характеристику» схемы (т.е. её чувствительность к изменениям частоты).

Итог

• Резонанс возникает, когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
• Для колебательного контура без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле

Рис. 8. Резонансная частота для колебательного контура, не являющегося резистивным.

• Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания по своему значению приближается к резонансной частоте.
• Диаграмма Боде представляет собой график, где амплитуда сигнала (или фазовый сдвиг) изображён на одной оси и частота колебаний – на другой.