[[Теорема Тевенена]] утверждает, что можно упростить любую линейную схему (какой бы сложной она ни была) до эквивалентной схемы с единственным источником напряжения и последовательным сопротивлением, подключённым к нагрузке. Определение «линейный» идентично тому, что содержится в [[теореме суперпозиции]], где все лежащие в основе уравнения должны быть линейными (без степеней или корней). Если мы имеем дело с [[пассивными компонентами]] (такими как [[резистор]]ы, [[катушки индуктивности]] или [[конденсатор]]ы), то так и есть. Однако бывают и нелинейные элементы (некоторые [[газоразрядные лампы]], [[полупроводниковые компоненты]] и пр.), противодействие которых приводит к изменению силы тока и напряжения. Таким образом, мы бы назвали схемы, содержащие подобные компоненты, нелинейными схемами.
== Теорема Тевенена в энергетических системах ==
[[Теорема Тевенена]] особенно полезна при анализе энергосистем и других цепей, в которых один конкретный [[резистор]] в цепи (называемый «нагрузочным» [[резистор]]ом) может быть изменен, и для каждого пробного значения сопротивления нагрузки необходим повторный расчёт схемы, чтобы определить [[напряжение]] на нём и ток через него. Давайте ещё раз посмотрим на нашу примерную схему:
[[File:Посмотрим на знакомой схеме, как применяется теорема Тевенена_1_19122020_1801.jpg|frame|center|'''Рис. 1.''' Посмотрим на знакомой схеме, как применяется теорема Тевенена|alt=Рис. 1. Посмотрим на знакомой схеме, как применяется теорема Тевенена]]
Предположим, что мы решили обозначить R<sub>2</sub> как «нагрузочный» [[резистор]] в этой схеме. В нашем распоряжении уже есть четыре метода анализа (токи ветвей, контурные токи, [[теорема Миллмана]] и [[теорема суперпозиции]]), которые можно использовать для определения напряжения и силы тока для R<sub>2</sub>, но каждый из этих методов требует много времени. Представьте себе, что придётся повторять любой из этих методов снова и снова, чтобы выяснить, что произойдёт, если [[сопротивление]] нагрузки изменится (изменение сопротивления нагрузки очень распространено в энергосистемах, так как несколько нагрузок включаются и выключаются по мере необходимости. Общее [[сопротивление]] их параллельных соединений изменяется в зависимости от того, сколько подключено одновременно). Это потенциально очень много работы!
== Эквивалентная схема Тевенена ==
[[Теорема Тевенена]] упрощает это, временно удаляя сопротивление нагрузки из исходной схемы и уменьшая оставшееся до эквивалентной схемы, состоящей из одного источника напряжения и последовательного сопротивления. Затем сопротивление нагрузки может быть повторно подключено к этой «эквивалентной схеме Тевенена», и вычисления будут выполнены так, как если бы вся сеть была не чем иным, как простой последовательной цепью:
«[[Эквивалентная схема Тевенена]]» – часть первоначальной цепи, в которой мы заменили B<sub>1</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>3</sub> и B<sub>2</sub> на электрический эквивалент оставив без изменений только [[нагрузочный резистор]] R<sub>2</sub>.
[[Эквивалентная схема Тевенена]], если она правильно построена, ведёт себя точно так же, как исходная схема, образованная B<sub>1</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>3</sub> и B<sub>2</sub>. Другими словами, [[напряжение]] и [[сила тока]] [[нагрузочного резистора]] (R<sub>2</sub>) должны быть одинаковыми для одинакового значения сопротивления нагрузки в двух цепях. [[Нагрузочный резистор]] R<sub>2</sub> не может «отличить» между исходной цепью B<sub>1</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>3</sub> и B<sub>2</sub> и эквивалентной схемой Тевенена E<sub>Тевенен</sub> и R<sub>Тевенен</sub> при условии, что значения для E<sub>Тевенен</sub> и R<sub>Тевенен</sub> рассчитаны правильно.
Преимущество «преобразования Тевенена» в более простую схему, конечно же, в том, что значительно упрощает определение напряжения нагрузки и тока нагрузки, чем в исходной сети. Вычислить эквивалентное напряжение источника питания Тевенена и последовательное сопротивление на самом деле довольно просто. Сначала из исходной схемы удаляется выбранный нагрузочный резистор, его заменяем разрывом цепи (теперь вместо R<sub>2</sub> обрыв):
[[File:Заменяем R2 на разрыв цепи_4_19122020_1802.jpg|frame|center|'''Рис. 4.''' Заменяем R<sub>2</sub> на разрыв цепи.|alt=Рис. 4. Заменяем R<sub>2</sub> на разрыв цепи.]]
== Определяем напряжение Тевенена ==
Затем определяется напряжение между двумя точками, к которым был подключён [[нагрузочный резистор]]. Используйте для этого любые методы анализа, какие знаете. В этом случае исходная схема с удалённым [[нагрузочным резистором]] представляет собой не что иное, как простую последовательную схему с противоположными батареями, и поэтому мы можем определить напряжение на открытых клеммах нагрузки, применяя правила последовательных цепей, [[закон Ома]] и напряжение Кирхгофа:
[[File:Сначала с помощью правила напряжения Кирхгофа находим общее напряжение_5_19122020_1803.jpg|frame|center|'''Рис. 5.''' Сначала с помощью правила напряжения Кирхгофа находим общее напряжение (учитывая противоположные полярности батарей, значения их напряжений имеют противоположные знаки). Затем, используя принципы последовательных цепей и закон Ома, определяем напряжение и силу тока для R<sub>1</sub> и R<sub>3</sub>.
|alt=Рис. 5. Сначала с помощью правила напряжения Кирхгофа находим общее напряжение (учитывая противоположные полярности батарей, значения их напряжений имеют противоположные знаки). Затем, используя принципы последовательных цепей и закон Ома, определяем напряжение и силу тока для R1 и R3.
]]
[[File:С учётом рассчитанных электрических характеристик для эквивалентной цепи Тевенена_6_1912020_1803.jpg|frame|center|'''Рис. 6.''' С учётом рассчитанных электрических характеристик для эквивалентной цепи Тевенена, получаем напряжение между точками обрыва.|alt=Рис. 6. С учётом рассчитанных электрических характеристик для эквивалентной цепи Тевенена, получаем напряжение между точками обрыва.]]
[[Напряжение]] между двумя точками подключения нагрузки можно рассчитать по одному из напряжений батареи и падению напряжения на одном из резисторов. Оно составляет 11,2 вольт. Это наше «напряжение Тевенена» (E<sub>Тевенен</sub>) в эквивалентной схеме:
== Определите последовательное сопротивление Тевенена ==
Чтобы найти последовательное [[сопротивление Тевенена]] для нашей эквивалентной схемы, нужно взять исходную схему (с удалённым резистором нагрузки), удалить источники питания (поступаем в духе теоремы суперпозиции: источники напряжения заменяем проводами, источники тока – разрывами), и рассчитать сопротивление от одного вывода нагрузки к другому:
[[File:Удалив источники питания, определяем последовательное сопротивление Тевенена_8_19122020_1804.jpg|frame|center|'''Рис. 8.''' Удалив источники питания, определяем последовательное сопротивление Тевенена.|alt=Рис. 8. Удалив источники питания, определяем последовательное сопротивление Тевенена.]]
После удаления двух батарей полное [[сопротивление]], измеренное в этом месте, равно сумме сопротивлений R<sub>1</sub> и R<sub>3</sub>, включенных параллельно: 0,8 Ом. Это наше «сопротивление Тевенена» (R<sub>Тевенен</sub>) для эквивалентной схемы:
[[File:Отметим на эквивалентной электрической схеме сопротивление Тевенена_9_19122020_1804.jpg|frame|center|'''Рис. 9.''' Отметим на эквивалентной электрической схеме сопротивление Тевенена.|alt=Рис. 9. Отметим на эквивалентной электрической схеме сопротивление Тевенена.]]
== Определяем напряжение на нагрузочном резисторе ==
Подключив [[нагрузочный резистор]] (2 Ом) между точками подключения, мы можем определить напряжение на нём и ток через него, как если бы вся цепь была простой последовательной схемой:
[[File:Табличным методом (как если бы это была просто последовательная цепь) считаем напряжение на нагрузочном резисторе_10_19122020_1804.jpg|frame|center|'''Рис. 10.''' Табличным методом (как если бы это была просто последовательная цепь) считаем напряжение на [[нагрузочном резисторе]].|alt=Рис. 10. Табличным методом (как если бы это была просто последовательная цепь) считаем напряжение на нагрузочном резисторе.]]
Обратите внимание, что значения напряжения и тока для R<sub>2</sub> (8 В, 4 А) идентичны значениям, полученным с помощью других методов анализа. Также обратите внимание, что общие значения напряжения и силы тока для последовательного сопротивления Тевенена и источника питания Тевенена не применимы к какому-либо компоненту в исходной сложной цепи. Теорема Тевенена полезна только для определения того, что происходит с единственным резистором в сети: нагрузкой.
Преимущество, конечно же, в том, что вы можете быстро определить, что случилось бы с этим единственным резистором, если бы его сопротивление отличалось от 2 Ом, без необходимости повторного полного анализа. Просто вставьте другое значение нагрузочного резистора в эквивалентную схему Тевенена, и небольшой расчёт последовательной цепи даст вам результат.
== Итог ==
* [[Теорема Тевенена]] – это способ свести сеть к эквивалентной схеме, состоящей из одного источника напряжения, последовательного сопротивления и последовательной нагрузки.
* Шаги, которые необходимо выполнить для анализа цепи с помощью [[теоремы Тевенена]]:
** Найдите напряжение источника Тевенена, удалив [[нагрузочный резистор]] из исходной схемы и вычислив [[напряжение]] в открытых точках соединения, где раньше был нагрузочный резистор.
** Найдите [[сопротивление Тевенена]], отключив все источники питания в исходной цепи (источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты) и рассчитав общее сопротивление между открытыми точками соединения.
** Нарисуйте эквивалентную схему Тевенена с источником напряжения Тевенена последовательно с [[сопротивлением Тевенена]]. [[Нагрузочный резистор]] снова подключается между двумя открытыми точками эквивалентной схемы.
** Рассчитайте [[напряжение]] и [[силу тока]] [[нагрузочного резистора]] в соответствии с правилами для последовательных цепей.
Теорема Тевенена утверждает, что можно упростить любую линейную схему (какой бы сложной она ни была) до эквивалентной схемы с единственным источником напряжения и последовательным сопротивлением, подключённым к нагрузке. Определение «линейный» идентично тому, что содержится в теореме суперпозиции, где все лежащие в основе уравнения должны быть линейными (без степеней или корней). Если мы имеем дело с пассивными компонентами (такими как резисторы, катушки индуктивности или конденсаторы), то так и есть. Однако бывают и нелинейные элементы (некоторые газоразрядные лампы, полупроводниковые компоненты и пр.), противодействие которых приводит к изменению силы тока и напряжения. Таким образом, мы бы назвали схемы, содержащие подобные компоненты, нелинейными схемами.
Теорема Тевенена в энергетических системах
Теорема Тевенена особенно полезна при анализе энергосистем и других цепей, в которых один конкретный резистор в цепи (называемый «нагрузочным» резистором) может быть изменен, и для каждого пробного значения сопротивления нагрузки необходим повторный расчёт схемы, чтобы определить напряжение на нём и ток через него. Давайте ещё раз посмотрим на нашу примерную схему:
Предположим, что мы решили обозначить R2 как «нагрузочный» резистор в этой схеме. В нашем распоряжении уже есть четыре метода анализа (токи ветвей, контурные токи, теорема Миллмана и теорема суперпозиции), которые можно использовать для определения напряжения и силы тока для R2, но каждый из этих методов требует много времени. Представьте себе, что придётся повторять любой из этих методов снова и снова, чтобы выяснить, что произойдёт, если сопротивление нагрузки изменится (изменение сопротивления нагрузки очень распространено в энергосистемах, так как несколько нагрузок включаются и выключаются по мере необходимости. Общее сопротивление их параллельных соединений изменяется в зависимости от того, сколько подключено одновременно). Это потенциально очень много работы!
Эквивалентная схема Тевенена
Теорема Тевенена упрощает это, временно удаляя сопротивление нагрузки из исходной схемы и уменьшая оставшееся до эквивалентной схемы, состоящей из одного источника напряжения и последовательного сопротивления. Затем сопротивление нагрузки может быть повторно подключено к этой «эквивалентной схеме Тевенена», и вычисления будут выполнены так, как если бы вся сеть была не чем иным, как простой последовательной цепью:
Эквивалентная схема Тевенена, если она правильно построена, ведёт себя точно так же, как исходная схема, образованная B1, R1, R3 и B2. Другими словами, напряжение и сила токанагрузочного резистора (R2) должны быть одинаковыми для одинакового значения сопротивления нагрузки в двух цепях. Нагрузочный резистор R2 не может «отличить» между исходной цепью B1, R1, R3 и B2 и эквивалентной схемой Тевенена EТевенен и RТевенен при условии, что значения для EТевенен и RТевенен рассчитаны правильно.
Преимущество «преобразования Тевенена» в более простую схему, конечно же, в том, что значительно упрощает определение напряжения нагрузки и тока нагрузки, чем в исходной сети. Вычислить эквивалентное напряжение источника питания Тевенена и последовательное сопротивление на самом деле довольно просто. Сначала из исходной схемы удаляется выбранный нагрузочный резистор, его заменяем разрывом цепи (теперь вместо R2 обрыв):
Определяем напряжение Тевенена
Затем определяется напряжение между двумя точками, к которым был подключён нагрузочный резистор. Используйте для этого любые методы анализа, какие знаете. В этом случае исходная схема с удалённым нагрузочным резистором представляет собой не что иное, как простую последовательную схему с противоположными батареями, и поэтому мы можем определить напряжение на открытых клеммах нагрузки, применяя правила последовательных цепей, закон Ома и напряжение Кирхгофа:
Напряжение между двумя точками подключения нагрузки можно рассчитать по одному из напряжений батареи и падению напряжения на одном из резисторов. Оно составляет 11,2 вольт. Это наше «напряжение Тевенена» (EТевенен) в эквивалентной схеме:
Определите последовательное сопротивление Тевенена
Чтобы найти последовательное сопротивление Тевенена для нашей эквивалентной схемы, нужно взять исходную схему (с удалённым резистором нагрузки), удалить источники питания (поступаем в духе теоремы суперпозиции: источники напряжения заменяем проводами, источники тока – разрывами), и рассчитать сопротивление от одного вывода нагрузки к другому:
После удаления двух батарей полное сопротивление, измеренное в этом месте, равно сумме сопротивлений R1 и R3, включенных параллельно: 0,8 Ом. Это наше «сопротивление Тевенена» (RТевенен) для эквивалентной схемы:
Определяем напряжение на нагрузочном резисторе
Подключив нагрузочный резистор (2 Ом) между точками подключения, мы можем определить напряжение на нём и ток через него, как если бы вся цепь была простой последовательной схемой:
Обратите внимание, что значения напряжения и тока для R2 (8 В, 4 А) идентичны значениям, полученным с помощью других методов анализа. Также обратите внимание, что общие значения напряжения и силы тока для последовательного сопротивления Тевенена и источника питания Тевенена не применимы к какому-либо компоненту в исходной сложной цепи. Теорема Тевенена полезна только для определения того, что происходит с единственным резистором в сети: нагрузкой.
Преимущество, конечно же, в том, что вы можете быстро определить, что случилось бы с этим единственным резистором, если бы его сопротивление отличалось от 2 Ом, без необходимости повторного полного анализа. Просто вставьте другое значение нагрузочного резистора в эквивалентную схему Тевенена, и небольшой расчёт последовательной цепи даст вам результат.
Итог
Теорема Тевенена – это способ свести сеть к эквивалентной схеме, состоящей из одного источника напряжения, последовательного сопротивления и последовательной нагрузки.
Шаги, которые необходимо выполнить для анализа цепи с помощью теоремы Тевенена:
Найдите напряжение источника Тевенена, удалив нагрузочный резистор из исходной схемы и вычислив напряжение в открытых точках соединения, где раньше был нагрузочный резистор.
Найдите сопротивление Тевенена, отключив все источники питания в исходной цепи (источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты) и рассчитав общее сопротивление между открытыми точками соединения.
Нарисуйте эквивалентную схему Тевенена с источником напряжения Тевенена последовательно с сопротивлением Тевенена. Нагрузочный резистор снова подключается между двумя открытыми точками эквивалентной схемы.