Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Теорема Тевенена

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Теорема Тевенена[1]

Теорема Тевенена утверждает, что можно упростить любую линейную схему (какой бы сложной она ни была) до эквивалентной схемы с единственным источником напряжения и последовательным сопротивлением, подключённым к нагрузке. Определение «линейный» идентично тому, что содержится в теореме суперпозиции, где все лежащие в основе уравнения должны быть линейными (без степеней или корней). Если мы имеем дело с пассивными компонентами (такими как резисторы, катушки индуктивности или конденсаторы), то так и есть. Однако бывают и нелинейные элементы (некоторые газоразрядные лампы, полупроводниковые компоненты и пр.), противодействие которых приводит к изменению силы тока и напряжения. Таким образом, мы бы назвали схемы, содержащие подобные компоненты, нелинейными схемами.

Теорема Тевенена в энергетических системах

Теорема Тевенена особенно полезна при анализе энергосистем и других цепей, в которых один конкретный резистор в цепи (называемый «нагрузочным» резистором) может быть изменен, и для каждого пробного значения сопротивления нагрузки необходим повторный расчёт схемы, чтобы определить напряжение на нём и ток через него. Давайте ещё раз посмотрим на нашу примерную схему:

Рис. 1. Посмотрим на знакомой схеме, как применяется теорема Тевенена
Рис. 1. Посмотрим на знакомой схеме, как применяется теорема Тевенена

Предположим, что мы решили обозначить R2 как «нагрузочный» резистор в этой схеме. В нашем распоряжении уже есть четыре метода анализа (токи ветвей, контурные токи, теорема Миллмана и теорема суперпозиции), которые можно использовать для определения напряжения и силы тока для R2, но каждый из этих методов требует много времени. Представьте себе, что придётся повторять любой из этих методов снова и снова, чтобы выяснить, что произойдёт, если сопротивление нагрузки изменится (изменение сопротивления нагрузки очень распространено в энергосистемах, так как несколько нагрузок включаются и выключаются по мере необходимости. Общее сопротивление их параллельных соединений изменяется в зависимости от того, сколько подключено одновременно). Это потенциально очень много работы!

Эквивалентная схема Тевенена

Теорема Тевенена упрощает это, временно удаляя сопротивление нагрузки из исходной схемы и уменьшая оставшееся до эквивалентной схемы, состоящей из одного источника напряжения и последовательного сопротивления. Затем сопротивление нагрузки может быть повторно подключено к этой «эквивалентной схеме Тевенена», и вычисления будут выполнены так, как если бы вся сеть была не чем иным, как простой последовательной цепью:

Рис. 2. Назначим резистор R2 «нагрузочным».
Рис. 2. Назначим резистор R2 «нагрузочным».

… после преобразования Тевенена…

Рис. 3. Эквивалентная электрическая схема Тевенена.
Рис. 3. Эквивалентная электрическая схема Тевенена.

«Эквивалентная схема Тевенена» – часть первоначальной цепи, в которой мы заменили B1, R1, R3 и B2 на электрический эквивалент оставив без изменений только нагрузочный резистор R2.

Эквивалентная схема Тевенена, если она правильно построена, ведёт себя точно так же, как исходная схема, образованная B1, R1, R3 и B2. Другими словами, напряжение и сила тока нагрузочного резистора (R2) должны быть одинаковыми для одинакового значения сопротивления нагрузки в двух цепях. Нагрузочный резистор R2 не может «отличить» между исходной цепью B1, R1, R3 и B2 и эквивалентной схемой Тевенена EТевенен и RТевенен при условии, что значения для EТевенен и RТевенен рассчитаны правильно.

Преимущество «преобразования Тевенена» в более простую схему, конечно же, в том, что значительно упрощает определение напряжения нагрузки и тока нагрузки, чем в исходной сети. Вычислить эквивалентное напряжение источника питания Тевенена и последовательное сопротивление на самом деле довольно просто. Сначала из исходной схемы удаляется выбранный нагрузочный резистор, его заменяем разрывом цепи (теперь вместо R2 обрыв):

Рис. 4. Заменяем R2 на разрыв цепи.
Рис. 4. Заменяем R2 на разрыв цепи.

Определяем напряжение Тевенена

Затем определяется напряжение между двумя точками, к которым был подключён нагрузочный резистор. Используйте для этого любые методы анализа, какие знаете. В этом случае исходная схема с удалённым нагрузочным резистором представляет собой не что иное, как простую последовательную схему с противоположными батареями, и поэтому мы можем определить напряжение на открытых клеммах нагрузки, применяя правила последовательных цепей, закон Ома и напряжение Кирхгофа:

Рис. 5. Сначала с помощью правила напряжения Кирхгофа находим общее напряжение (учитывая противоположные полярности батарей, значения их напряжений имеют противоположные знаки). Затем, используя принципы последовательных цепей и закон Ома, определяем напряжение и силу тока для R1 и R3.
Рис. 5. Сначала с помощью правила напряжения Кирхгофа находим общее напряжение (учитывая противоположные полярности батарей, значения их напряжений имеют противоположные знаки). Затем, используя принципы последовательных цепей и закон Ома, определяем напряжение и силу тока для R1 и R3.
Рис. 6. С учётом рассчитанных электрических характеристик для эквивалентной цепи Тевенена, получаем напряжение между точками обрыва.
Рис. 6. С учётом рассчитанных электрических характеристик для эквивалентной цепи Тевенена, получаем напряжение между точками обрыва.

Напряжение между двумя точками подключения нагрузки можно рассчитать по одному из напряжений батареи и падению напряжения на одном из резисторов. Оно составляет 11,2 вольт. Это наше «напряжение Тевенена» (EТевенен) в эквивалентной схеме:

Рис. 7. Эквивалентная схема Тевенена.
Рис. 7. Эквивалентная схема Тевенена.

Определите последовательное сопротивление Тевенена

Чтобы найти последовательное сопротивление Тевенена для нашей эквивалентной схемы, нужно взять исходную схему (с удалённым резистором нагрузки), удалить источники питания (поступаем в духе теоремы суперпозиции: источники напряжения заменяем проводами, источники тока – разрывами), и рассчитать сопротивление от одного вывода нагрузки к другому:

Рис. 8. Удалив источники питания, определяем последовательное сопротивление Тевенена.
Рис. 8. Удалив источники питания, определяем последовательное сопротивление Тевенена.

После удаления двух батарей полное сопротивление, измеренное в этом месте, равно сумме сопротивлений R1 и R3, включенных параллельно: 0,8 Ом. Это наше «сопротивление Тевенена» (RТевенен) для эквивалентной схемы:

Рис. 9. Отметим на эквивалентной электрической схеме сопротивление Тевенена.
Рис. 9. Отметим на эквивалентной электрической схеме сопротивление Тевенена.

Определяем напряжение на нагрузочном резисторе

Подключив нагрузочный резистор (2 Ом) между точками подключения, мы можем определить напряжение на нём и ток через него, как если бы вся цепь была простой последовательной схемой:

Рис. 10. Табличным методом (как если бы это была просто последовательная цепь) считаем напряжение на нагрузочном резисторе.
Рис. 10. Табличным методом (как если бы это была просто последовательная цепь) считаем напряжение на нагрузочном резисторе.

Обратите внимание, что значения напряжения и тока для R2 (8 В, 4 А) идентичны значениям, полученным с помощью других методов анализа. Также обратите внимание, что общие значения напряжения и силы тока для последовательного сопротивления Тевенена и источника питания Тевенена не применимы к какому-либо компоненту в исходной сложной цепи. Теорема Тевенена полезна только для определения того, что происходит с единственным резистором в сети: нагрузкой.

Преимущество, конечно же, в том, что вы можете быстро определить, что случилось бы с этим единственным резистором, если бы его сопротивление отличалось от 2 Ом, без необходимости повторного полного анализа. Просто вставьте другое значение нагрузочного резистора в эквивалентную схему Тевенена, и небольшой расчёт последовательной цепи даст вам результат.

Итог

  • Теорема Тевенена – это способ свести сеть к эквивалентной схеме, состоящей из одного источника напряжения, последовательного сопротивления и последовательной нагрузки.
  • Шаги, которые необходимо выполнить для анализа цепи с помощью теоремы Тевенена:

См.также

Внешние ссылки