Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Теорема Тевенена

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Теорема Тевенена

Теорема Тевенена утверждает, что можно упростить любую линейную схему (какой бы сложной она ни была) до эквивалентной схемы с единственным источником напряжения и последовательным сопротивлением, подключённым к нагрузке. Определение «линейный» идентично тому, что содержится в теореме суперпозиции, где все лежащие в основе уравнения должны быть линейными (без степеней или корней). Если мы имеем дело с пассивными компонентами (такими как резисторы, катушки индуктивности или конденсаторы), то так и есть. Однако бывают и нелинейные элементы (некоторые газоразрядные лампы, полупроводниковые компоненты и пр.), противодействие которых приводит к изменению силы тока и напряжения. Таким образом, мы бы назвали схемы, содержащие подобные компоненты, нелинейными схемами.

Теорема Тевенена в энергетических системах

Теорема Тевенена особенно полезна при анализе энергосистем и других цепей, в которых один конкретный резистор в цепи (называемый «нагрузочным» резистором) может быть изменен, и для каждого пробного значения сопротивления нагрузки необходим повторный расчёт схемы, чтобы определить напряжение на нём и ток через него. Давайте ещё раз посмотрим на нашу примерную схему:

Рис. 1. Посмотрим на знакомой схеме, как применяется теорема Тевенена

Предположим, что мы решили обозначить R₂ как «нагрузочный» резистор в этой схеме. В нашем распоряжении уже есть четыре метода анализа (токи ветвей, контурные токи, теорема Миллмана и теорема суперпозиции), которые можно использовать для определения напряжения и силы тока для R₂, но каждый из этих методов требует много времени. Представьте себе, что придётся повторять любой из этих методов снова и снова, чтобы выяснить, что произойдёт, если сопротивление нагрузки изменится (изменение сопротивления нагрузки очень распространено в энергосистемах, так как несколько нагрузок включаются и выключаются по мере необходимости. Общее сопротивление их параллельных соединений изменяется в зависимости от того, сколько подключено одновременно). Это потенциально очень много работы!

Эквивалентная схема Тевенена

Теорема Тевенена упрощает это, временно удаляя сопротивление нагрузки из исходной схемы и уменьшая оставшееся до эквивалентной схемы, состоящей из одного источника напряжения и последовательного сопротивления. Затем сопротивление нагрузки может быть повторно подключено к этой «эквивалентной схеме Тевенена», и вычисления будут выполнены так, как если бы вся сеть была не чем иным, как простой последовательной цепью:

Рис. 2. Назначим резистор R₂ «нагрузочным».

… после преобразования Тевенена…

Рис. 3. Эквивалентная электрическая схема Тевенена.

«Эквивалентная схема Тевенена» – часть первоначальной цепи, в которой мы заменили B₁, R₁, R₃ и B₂ на электрический эквивалент оставив без изменений только нагрузочный резистор R₂.

Эквивалентная схема Тевенена, если она правильно построена, ведёт себя точно так же, как исходная схема, образованная B₁, R₁, R₃ и B₂. Другими словами, напряжение и сила тока нагрузочного резистора (R₂) должны быть одинаковыми для одинакового значения сопротивления нагрузки в двух цепях. Нагрузочный резистор R₂ не может «отличить» между исходной цепью B₁, R₁, R₃ и B₂ и эквивалентной схемой Тевенена E_{Тевенен} и R_{Тевенен} при условии, что значения для E_{Тевенен} и R_{Тевенен} рассчитаны правильно.

Преимущество «преобразования Тевенена» в более простую схему, конечно же, в том, что значительно упрощает определение напряжения нагрузки и тока нагрузки, чем в исходной сети. Вычислить эквивалентное напряжение источника питания Тевенена и последовательное сопротивление на самом деле довольно просто. Сначала из исходной схемы удаляется выбранный нагрузочный резистор, его заменяем разрывом цепи (теперь вместо R₂ обрыв):

Рис. 4. Заменяем R₂ на разрыв цепи.

Определяем напряжение Тевенена

Затем определяется напряжение между двумя точками, к которым был подключён нагрузочный резистор. Используйте для этого любые методы анализа, какие знаете. В этом случае исходная схема с удалённым нагрузочным резистором представляет собой не что иное, как простую последовательную схему с противоположными батареями, и поэтому мы можем определить напряжение на открытых клеммах нагрузки, применяя правила последовательных цепей, закон Ома и напряжение Кирхгофа:

Рис. 5. Сначала с помощью правила напряжения Кирхгофа находим общее напряжение (учитывая противоположные полярности батарей, значения их напряжений имеют противоположные знаки). Затем, используя принципы последовательных цепей и закон Ома, определяем напряжение и силу тока для R₁ и R₃.

Рис. 6. С учётом рассчитанных электрических характеристик для эквивалентной цепи Тевенена, получаем напряжение между точками обрыва.

Напряжение между двумя точками подключения нагрузки можно рассчитать по одному из напряжений батареи и падению напряжения на одном из резисторов. Оно составляет 11,2 вольт. Это наше «напряжение Тевенена» (E_{Тевенен}) в эквивалентной схеме:

Рис. 7. Эквивалентная схема Тевенена.

Определите последовательное сопротивление Тевенена

Чтобы найти последовательное сопротивление Тевенена для нашей эквивалентной схемы, нужно взять исходную схему (с удалённым резистором нагрузки), удалить источники питания (поступаем в духе теоремы суперпозиции: источники напряжения заменяем проводами, источники тока – разрывами), и рассчитать сопротивление от одного вывода нагрузки к другому:

Рис. 8. Удалив источники питания, определяем последовательное сопротивление Тевенена.

После удаления двух батарей полное сопротивление, измеренное в этом месте, равно сумме сопротивлений R₁ и R₃, включенных параллельно: 0,8 Ом. Это наше «сопротивление Тевенена» (R_{Тевенен}) для эквивалентной схемы:

Рис. 9. Отметим на эквивалентной электрической схеме сопротивление Тевенена.

Определяем напряжение на нагрузочном резисторе

Подключив нагрузочный резистор (2 Ом) между точками подключения, мы можем определить напряжение на нём и ток через него, как если бы вся цепь была простой последовательной схемой:

Рис. 10. Табличным методом (как если бы это была просто последовательная цепь) считаем напряжение на нагрузочном резисторе.

Обратите внимание, что значения напряжения и тока для R₂ (8 В, 4 А) идентичны значениям, полученным с помощью других методов анализа. Также обратите внимание, что общие значения напряжения и силы тока для последовательного сопротивления Тевенена и источника питания Тевенена не применимы к какому-либо компоненту в исходной сложной цепи. Теорема Тевенена полезна только для определения того, что происходит с единственным резистором в сети: нагрузкой.

Преимущество, конечно же, в том, что вы можете быстро определить, что случилось бы с этим единственным резистором, если бы его сопротивление отличалось от 2 Ом, без необходимости повторного полного анализа. Просто вставьте другое значение нагрузочного резистора в эквивалентную схему Тевенена, и небольшой расчёт последовательной цепи даст вам результат.

Итог

• Теорема Тевенена – это способ свести сеть к эквивалентной схеме, состоящей из одного источника напряжения, последовательного сопротивления и последовательной нагрузки.
• Шаги, которые необходимо выполнить для анализа цепи с помощью теоремы Тевенена:
  • Найдите напряжение источника Тевенена, удалив нагрузочный резистор из исходной схемы и вычислив напряжение в открытых точках соединения, где раньше был нагрузочный резистор.
  • Найдите сопротивление Тевенена, отключив все источники питания в исходной цепи (источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты) и рассчитав общее сопротивление между открытыми точками соединения.
  • Нарисуйте эквивалентную схему Тевенена с источником напряжения Тевенена последовательно с сопротивлением Тевенена. Нагрузочный резистор снова подключается между двумя открытыми точками эквивалентной схемы.
  • Рассчитайте напряжение и силу тока нагрузочного резистора в соответствии с правилами для последовательных цепей.