В математике тождество – это утверждение, истинное для всех возможных значений переменной(-ных).
В математике тождество – это утверждение, истинное для всех возможных значений переменной(-ных).
Например, алгебраическое тождество <nobr>x + 0 = x</nobr> говорит нам, что добавление нуля к любому «что-нибудь» (x), равно исходному «что-нибудь», независимо от того, какое значение данное «что-нибудь» (x) может иметь.
Например, алгебраическое тождество x + 0 = x говорит нам, что добавление нуля к любому «что-нибудь» (x), равно исходному «что-нибудь», независимо от того, какое значение данное «что-нибудь» (x) может иметь.
Как и обычная алгебра, булева алгебра имеет свои собственные уникальные тождества, основанные на бивалентных состояниях булевых переменных.
Как и обычная алгебра, булева алгебра имеет свои собственные уникальные тождества, основанные на бивалентных состояниях булевых переменных.
Строка 21:
Строка 21:
[[File:IV-7_3_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 1.''' Добавление нуля в булевой алгебре работает так же, как и в «нормальной» алгебре.|alt=Рис. 1. Добавление нуля в булевой алгебре работает так же, как и в «нормальной» алгебре.]]
[[File:IV-7_3_1.png|400px|center|thumb|'''Рис. 1.''' Добавление нуля в булевой алгебре работает так же, как и в «нормальной» алгебре.|alt=Рис. 1. Добавление нуля в булевой алгебре работает так же, как и в «нормальной» алгебре.]]
Независимо от того, какое значение имеет A, выход всегда будет равен A же: когда <nobr>A = 1</nobr>, выход также будет 1; когда <nobr>A = 0</nobr>, на выходе также будет 0.
Независимо от того, какое значение имеет A, выход всегда будет равен A же: когда A = 1, выход также будет 1; когда A = 0, на выходе также будет 0.
=== Добавление к произвольной логической величине единицы ===
=== Добавление к произвольной логической величине единицы ===
Строка 41:
Строка 41:
[[File:IV-7_3_3.png|400px|center|thumb|Рис. 3. Аддитивное тождество для добавления самого себя в булевой алгебре.|alt=Рис. 3. Аддитивное тождество для добавления самого себя в булевой алгебре.]]
[[File:IV-7_3_3.png|400px|center|thumb|Рис. 3. Аддитивное тождество для добавления самого себя в булевой алгебре.|alt=Рис. 3. Аддитивное тождество для добавления самого себя в булевой алгебре.]]
В алгебре действительных чисел сумма двух идентичных переменных в два раза превышает значение исходной переменной <nobr>(«x + x = 2 × x»)</nobr>, но вы помните, что в мире булевой арифметики нет понятия «2», есть только 1 и 0, поэтому мы не можем сказать, что <nobr>«A + A = 2 × A»</nobr>.
В алгебре действительных чисел сумма двух идентичных переменных в два раза превышает значение исходной переменной («x + x = 2 × x»), но вы помните, что в мире булевой арифметики нет понятия «2», есть только 1 и 0, поэтому мы не можем сказать, что «A + A = 2 × A».
Таким образом, когда мы добавляем саму к себе логическую величину, сумма будет равна исходной величине: <nobr>«0 + 0 = 0»</nobr> и <nobr>«1 + 1 = 1»</nobr>.
Таким образом, когда мы добавляем саму к себе логическую величину, сумма будет равна исходной величине: «0 + 0 = 0» и «1 + 1 = 1».
=== Добавление к произвольной величине своего дополнения ===
=== Добавление к произвольной величине своего дополнения ===
Строка 55:
Строка 55:
== Мультипликативные тождества ==
== Мультипликативные тождества ==
Подобно тому, как существует четыре булевых аддитивных тождества <nobr>(A + 0, A + 1, A + A и A + A')</nobr>, существует также четыре булевых мультипликативных тождества: <nobr>A × 0, A × 1, A × A и A × A'</nobr>. Из них первые два не отличаются от своих эквивалентных выражений в «нормальной» алгебре:
Подобно тому, как существует четыре булевых аддитивных тождества (A + 0, A + 1, A + A и A + A'), существует также четыре булевых мультипликативных тождества: A × 0, A × 1, A × A и A × A'. Из них первые два не отличаются от своих эквивалентных выражений в «нормальной» алгебре:
=== Умножение произвольной величины на 0 или 1 ===
=== Умножение произвольной величины на 0 или 1 ===
Строка 68:
Строка 68:
Третье мультипликативное тождество выражает результат умножения логической величины на себя.
Третье мультипликативное тождество выражает результат умножения логической величины на себя.
В «нормальной» алгебре произведение переменной и самой себя даст в итоге квадрат этой переменной <nobr>(3 x 3 = 32 = 9)</nobr>.
В «нормальной» алгебре произведение переменной и самой себя даст в итоге квадрат этой переменной (3 x 3 = 32 = 9).
Однако понятие квадрата подразумевает оперирование двойкой, что не имеет смысла в булевой алгебре, поэтому мы не можем сказать, что <nobr>A x A = A<sup>2</sup></nobr>.
Однако понятие квадрата подразумевает оперирование двойкой, что не имеет смысла в булевой алгебре, поэтому мы не можем сказать, что A x A = A<sup>2</sup>.
Вместо этого мы обнаружили, что произведение логической величины на саму себя равно исходной величине, поскольку <nobr>0 × 0 = 0</nobr> и <nobr>1 × 1 = 1</nobr>:
Вместо этого мы обнаружили, что произведение логической величины на саму себя равно исходной величине, поскольку 0 × 0 = 0 и 1 × 1 = 1:
[[File:IV-7_3_6.png|400px|center|thumb|'''Рис. 6.''' В булевой алгебре умножение любой величины на саму себя в результате даст эту же величину.|alt=Рис. 6. В булевой алгебре умножение любой величины на саму себя в результате даст эту же величину.]]
[[File:IV-7_3_6.png|400px|center|thumb|'''Рис. 6.''' В булевой алгебре умножение любой величины на саму себя в результате даст эту же величину.|alt=Рис. 6. В булевой алгебре умножение любой величины на саму себя в результате даст эту же величину.]]
В математике тождество – это утверждение, истинное для всех возможных значений переменной(-ных).
Например, алгебраическое тождество x + 0 = x говорит нам, что добавление нуля к любому «что-нибудь» (x), равно исходному «что-нибудь», независимо от того, какое значение данное «что-нибудь» (x) может иметь.
Как и обычная алгебра, булева алгебра имеет свои собственные уникальные тождества, основанные на бивалентных состояниях булевых переменных.
Аддитивные тождества
Добавление к произвольной логической величине нуля
Первое логическое тождество состоит в том, что сумма «что угодно» и нуля совпадает с исходным «что угодно».
Это тождество не отличается от своего алгебраического эквивалента для действительных чисел:
Независимо от того, какое значение имеет A, выход всегда будет равен A же: когда A = 1, выход также будет 1; когда A = 0, на выходе также будет 0.
Добавление к произвольной логической величине единицы
Следующее тождество определённо отличается от любого, что можно увидеть в «нормальной» алгебре.
Здесь мы обнаруживаем, что сумма «чего угодно» и единицы равна… единице:
Независимо от того, каково значение A, сумма A и 1 всегда будет равна 1.
В некотором смысле сигнал «1» отменяет влияние A на логическую схему, оставляя выход зафиксированным на логическом уровне 1.
Добавление к произвольной логической величине самой себя
Затем мы исследуем эффект сложения A и A вместе, который аналогичен соединению обоих входов логического элемента ИЛИ друг с другом и активации их одним и тем же сигналом:
В алгебре действительных чисел сумма двух идентичных переменных в два раза превышает значение исходной переменной («x + x = 2 × x»), но вы помните, что в мире булевой арифметики нет понятия «2», есть только 1 и 0, поэтому мы не можем сказать, что «A + A = 2 × A».
Таким образом, когда мы добавляем саму к себе логическую величину, сумма будет равна исходной величине: «0 + 0 = 0» и «1 + 1 = 1».
Добавление к произвольной величине своего дополнения
Поскольку в паре величин, состоящей из любой переменной и её дополнения, всегда окажется одно значение «1», и поскольку сумма любой логической величины и единицы равна 1, сумма переменной и её дополнения обязательно будет равна 1:
Мультипликативные тождества
Подобно тому, как существует четыре булевых аддитивных тождества (A + 0, A + 1, A + A и A + A'), существует также четыре булевых мультипликативных тождества: A × 0, A × 1, A × A и A × A'. Из них первые два не отличаются от своих эквивалентных выражений в «нормальной» алгебре:
Умножение произвольной величины на 0 или 1
Умножение произвольной величины на саму себя
Третье мультипликативное тождество выражает результат умножения логической величины на себя.
В «нормальной» алгебре произведение переменной и самой себя даст в итоге квадрат этой переменной (3 x 3 = 32 = 9).
Однако понятие квадрата подразумевает оперирование двойкой, что не имеет смысла в булевой алгебре, поэтому мы не можем сказать, что A x A = A2.
Вместо этого мы обнаружили, что произведение логической величины на саму себя равно исходной величине, поскольку 0 × 0 = 0 и 1 × 1 = 1:
Умножение произвольной величины на своё дополнение
Четвёртое мультипликативное тождество не имеет эквивалента в обычной алгебре, потому что оно использует дополнение к переменной – концепцию, уникальную для булевой математики.
Поскольку в паре величин, состоящей из любой переменной и её дополнения, всегда окажется одно значение «0», и поскольку произведение любой логической величины на ноль равно 0 , произведение переменной и её дополнения обязательно будет равно 0:
Подводя итог, у нас есть четыре основных логических тождества для сложения и четыре для умножения:
Двойное дополнение
Ещё одно тожество, имеющая отношение к дополнению, – это двойное дополнение: для дважды инвертированной произвольной логической величины.
Двойное дополнение переменной (или любое чётное количество дополнений – четвертное дополнение, шестерное дополнение и т.д.) даёт исходное логическое значение.
Это аналогично отрицанию (умножению на -1) в алгебре действительных чисел: чётное количество отрицаний отменяет эти операции отрицания, в результате чего остаётся только исходное значение: