Электроника:Цифровая электроника/Булева алгебра/Булевы алгебраические тождества

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Булевы алгебраические тождества

В математике тождество – это утверждение, истинное для всех возможных значений переменной(-ных).

Например, алгебраическое тождество x + 0 = x говорит нам, что добавление нуля к любому «что-нибудь» (x), равно исходному «что-нибудь», независимо от того, какое значение данное «что-нибудь» (x) может иметь.

Как и обычная алгебра, булева алгебра имеет свои собственные уникальные тождества, основанные на бивалентных состояниях булевых переменных.

Аддитивные тождества

Добавление к произвольной логической величине нуля

Первое логическое тождество состоит в том, что сумма «что угодно» и нуля совпадает с исходным «что угодно».

Это тождество не отличается от своего алгебраического эквивалента для действительных чисел:

Рис. 1. Добавление нуля в булевой алгебре работает так же, как и в «нормальной» алгебре.

Независимо от того, какое значение имеет A, выход всегда будет равен A же: когда «A = 1», выход также будет 1; когда «A = 0», на выходе также будет 0.

Добавление к произвольной логической величине единицы

Следующее тождество определённо отличается от любого, что можно увидеть в «нормальной» алгебре.

Здесь мы обнаруживаем, что сумма «чего угодно» и единицы равна… единице:

Рис. 2. Аддитивное тождество для добавления единицы в булевой алгебре.

Независимо от того, каково значение A, сумма A и 1 всегда будет равна 1.

В некотором смысле сигнал «1» отменяет влияние A на логическую схему, оставляя выход зафиксированным на логическом уровне 1.

Добавление к произвольной логической величине самой себя

Затем мы исследуем эффект сложения A и A вместе, который аналогичен соединению обоих входов логического элемента ИЛИ друг с другом и активации их одним и тем же сигналом:

Рис. 3. Аддитивное тождество для добавления самого себя в булевой алгебре.

В алгебре действительных чисел сумма двух идентичных переменных в два раза превышает значение исходной переменной («x + x = 2 × x»), но вы помните, что в мире булевой арифметики нет понятия «2», есть только 1 и 0, поэтому мы не можем сказать, что «A + A = 2 × A».

Таким образом, когда мы добавляем саму к себе логическую величину, сумма будет равна исходной величине: «0 + 0 = 0» и «1 + 1 = 1».

Добавление к произвольной величине своего дополнения

Вводя уникальную логическую концепцию дополнения в аддитивное тождество, обнаруживаем любопытный эффект.

Поскольку в паре величин, состоящей из любой переменной и её дополнения, всегда окажется одно значение «1», и поскольку сумма любой логической величины и единицы равна 1, сумма переменной и её дополнения обязательно будет равна 1:

Рис. 4. Аддитивное тождество для добавления к себе своего дополнения в булевой алгебре.

Мультипликативные тождества

Подобно тому, как существует четыре булевых аддитивных тождества («A + 0», «A + 1», «A + A» и «A + A'»), существует также четыре булевых мультипликативных тождества: «A × 0», «A × 1», «A × A» и «A × A'». Из них первые два не отличаются от своих эквивалентных выражений в «нормальной» алгебре:

Умножение произвольной величины на 0 или 1

Рис. 5.1. Как и в алгебре для действительных чисел, умножение на ноль всегда даёт в результате ноль.

Рис. 5.2. Как и в алгебре для действительных чисел, умножение величины на единицу всегда даёт в результате исходную величину.

Умножение произвольной величины на саму себя

Третье мультипликативное тождество выражает результат умножения логической величины на себя.

В «нормальной» алгебре произведение переменной и самой себя даст в итоге квадрат этой переменной («3 x 3 = 3² = 9»).

Однако понятие квадрата подразумевает оперирование двойкой, что не имеет смысла в булевой алгебре, поэтому мы не можем сказать, что «A x A = A²».

Вместо этого мы обнаружили, что произведение логической величины на саму себя равно исходной величине, поскольку «0 × 0 = 0» и «1 × 1 = 1»:

Рис. 6. В булевой алгебре умножение любой величины на саму себя в результате даст эту же величину.

Умножение произвольной величины на своё дополнение

Четвёртое мультипликативное тождество не имеет эквивалента в обычной алгебре, потому что оно использует дополнение к переменной – концепцию, уникальную для булевой математики.

Поскольку в паре величин, состоящей из любой переменной и её дополнения, всегда окажется одно значение «0», и поскольку произведение любой логической величины на ноль равно 0 , произведение переменной и её дополнения обязательно будет равно 0:

Рис. 7. Мультипликативное тождество для умножения произвольной величины на своё дополнение.

Подводя итог, у нас есть четыре основных логических тождества для сложения и четыре для умножения:

Рис. 8. Основные (и аддитивные и мультипликативные) булевы алгебраические тождества.

Двойное дополнение

Ещё одно тожество, имеющая отношение к дополнению, – это двойное дополнение: для дважды инвертированной произвольной логической величины.

Двойное дополнение переменной (или любое чётное количество дополнений – четвертное дополнение, шестерное дополнение и т.д.) даёт исходное логическое значение. Это аналогично отрицанию (умножению на -1) в алгебре действительных чисел: чётное количество отрицаний отменяет эти операции отрицания, в результате чего остаётся только исходное значение:

Рис. 9. Булево алгебраическое тождество для двойного дополнения произвольной величины.