[[File:IV-8_2_1.png|500px|center|thumb|'''Рис. 1.''' Три примера диаграмм Венна.|alt=Рис. 1. Три примера диаграмм Венна.]]
[[File:IV-8_2_1.png|500px|center|thumb|'''Рис. 1.''' Три примера диаграмм Венна.|alt=Рис. 1. Три примера диаграмм Венна.]]
На рисунке 1 выше на диаграмме Венна слева показано множество A (в виде круга) которое находится внутри универсального множества U (прямоугольная область). Если всё внутри круга – это А, то всё, что находится за пределами круга, не является А (т.е., это НЕ-А). Тогда вместо U мы можем пометить прямоугольную область за пределами круга А как НЕ-A (см. среднюю диаграмму на рисунке 1). В аналогичных ситуациях для какого-нибудь другого множества вместо A показываем, к примеру, B и НЕ-B подобным образом (крайняя справа диаграмма).
На рисунке 1 выше на диаграмме Венна слева показано множество '''A''' (в виде круга) которое находится внутри ''универсального множества'' '''U''' (прямоугольная область). Если всё внутри круга – это '''А''', то всё, что находится за пределами круга, не является '''А''' (т.е., это '''НЕ-А'''). Тогда вместо '''U''' мы можем пометить прямоугольную область за пределами круга '''А''' как '''НЕ-A''' (см. среднюю диаграмму на рисунке 1). В аналогичных ситуациях для какого-нибудь другого множества вместо '''A''' показываем, к примеру, '''B''' и '''НЕ-B''' подобным образом (крайняя справа диаграмма).
Что произойдёт, если и A, и B в паре рассмотреть как множества внутри универсального множества? Есть четыре принципиально различающиеся возможности:
Что произойдёт, если и '''A''', и '''B''' в паре рассмотреть как множества внутри универсального множества? Есть четыре принципиально различающиеся возможности:
[[File:IV-8_2_2.png|600px|center|thumb|'''Рис. 2.''' Четыре принципиально разных случая диаграмм Венна для множеств A и B.|alt=Рис. 2. Четыре принципиально разных случая диаграмм Венна для множеств A и B.]]
[[File:IV-8_2_2.png|600px|center|thumb|'''Рис. 2.''' Четыре принципиально разных случая диаграмм Венна для множеств '''A''' и '''B'''.|alt=Рис. 2. Четыре принципиально разных случая диаграмм Венна для множеств A и B.]]
Давайте подробнее рассмотрим каждый вариант по отдельности.
Давайте подробнее рассмотрим каждый вариант по отдельности.
[[File:IV-8_2_3.png|400px|center|thumb|'''Рис. 3.''' Случай первый: диаграмма без перекрытия для множеств A и B.|alt=Рис. 3. Случай первый: диаграмма без перекрытия для множеств A и B.]]
[[File:IV-8_2_3.png|400px|center|thumb|'''Рис. 3.''' Случай первый: диаграмма без перекрытия для множеств '''A''' и '''B'''.|alt=Рис. 3. Случай первый: диаграмма без перекрытия для множеств A и B.]]
Согласно первый диаграмме Венна, множество A и множество B не имеют ничего общего. Между областями A и B, заштрихованными кругами, нет перекрытия. Например, предположим, что множества A и B содержат следующие элементы:
Согласно первый диаграмме Венна, множество '''A''' и множество '''B''' не имеют ничего общего. Между областями '''A''' и '''B''', заштрихованными кругами, нет перекрытия. Например, предположим, что множества '''A''' и '''B''' содержат следующие элементы:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Строка 34:
Строка 34:
|}
|}
Ни один из элементов множества A не содержится в множестве B, ни один из элементов B не содержится в A. Таким образом, круги не пересекаются.
Ни один из элементов множества '''A''' не содержится в множестве '''B''', ни один из элементов '''B''' не содержится в '''A'''. Таким образом, круги не пересекаются.
[[File:IV-8_2_4.png|400px|center|thumb|'''Рис. 4.''' Случая второй: диаграмма Венна, в которой одно множество полностью содержит другое.|alt=Рис. 4. Случая второй: диаграмма Венна, в которой одно множество полностью содержит другое.]]
[[File:IV-8_2_4.png|400px|center|thumb|'''Рис. 4.''' Случая второй: диаграмма Венна, в которой одно множество полностью содержит другое.|alt=Рис. 4. Случая второй: диаграмма Венна, в которой одно множество полностью содержит другое.]]
Во втором примере на приведённой выше диаграмме Венна множество A полностью содержится в множестве B. Как мы можем пояснить эту ситуацию? Предположим, что множества A и B содержат следующие элементы:
Во втором примере на приведённой выше диаграмме Венна множество '''A''' полностью содержится в множестве '''B'''. Как мы можем пояснить эту ситуацию? Предположим, что множества '''A''' и '''B''' содержат следующие элементы:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Строка 45:
Строка 45:
|}
|}
Все элементы множества A также являются элементами множества B. Следовательно, множество A является подмножеством множества B. Поскольку все элементы множества A являются элементами множества B, круг для множества A полностью отрисовывается в границах круга множества B.
Все элементы множества '''A''' также являются элементами множества '''B'''. Следовательно, множество '''A''' является подмножеством множества '''B'''. Поскольку все элементы множества '''A''' являются элементами множества '''B''', круг для множества '''A''' полностью отрисовывается в границах круга множества '''B'''.
Есть пятый случай, который не показан наряду с этими четырьмя примерами. Подсказка: аналогично последнему (четвёртому) примеру. Нарисуйте диаграмму Венна для пятого случая.
Есть пятый случай, который не показан наряду с этими четырьмя примерами. Подсказка: аналогично последнему (четвёртому) примеру. Нарисуйте диаграмму Венна для пятого случая.
Строка 51:
Строка 51:
[[File:IV-8_2_5.png|400px|center|thumb|'''Рис. 5.''' Случай третий: диаграмма Венна, где оба множества полностью перекрывают друг друга.|alt=Рис. 5. Случай третий: диаграмма Венна, где оба множества полностью перекрывают друг друга.]]
[[File:IV-8_2_5.png|400px|center|thumb|'''Рис. 5.''' Случай третий: диаграмма Венна, где оба множества полностью перекрывают друг друга.|alt=Рис. 5. Случай третий: диаграмма Венна, где оба множества полностью перекрывают друг друга.]]
Третий пример выше показывает полное взаимное перекрытие между множеством A и множеством B. Похоже, что оба множества содержат одинаковые идентичные элементы. Предположим, что множества A и B включают в себя следующее:
Третий пример выше показывает полное взаимное перекрытие между множеством '''A''' и множеством '''B'''. Похоже, что оба множества содержат одинаковые идентичные элементы. Предположим, что множества '''A''' и '''B''' включают в себя следующее:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Строка 65:
Строка 65:
|}
|}
Множества A и B одинаковы, равны, потому что они оба содержат идентичные элементы. Области A и B на соответствующей диаграмме Венна на рисунке 5 выше полностью перекрываются. Если есть какие-либо сомнения относительно того, что представляют собой вышеперечисленные шаблоны, обратитесь к любому рисунку выше или ниже, чтобы быть уверенным в том, как выглядели круглые области до того, как они были перекрыты.
Множества '''A''' и '''B''' одинаковы, равны, потому что они оба содержат идентичные элементы. Области '''A''' и '''B''' на соответствующей диаграмме Венна на рисунке 5 выше полностью перекрываются. Если есть какие-либо сомнения относительно того, что представляют собой вышеперечисленные шаблоны, обратитесь к любому рисунку выше или ниже, чтобы быть уверенным в том, как выглядели круглые области до того, как они были перекрыты.
[[File:IV-8_2_6.png|400px|center|thumb|'''Рис. 6.''' Случай третий: диаграмма Венна, где два множества частично перекрывают друг друга.|alt=Рис. 6. Случай третий: диаграмма Венна, где два множества частично перекрывают друг друга.]]
[[File:IV-8_2_6.png|400px|center|thumb|'''Рис. 6.''' Случай третий: диаграмма Венна, где два множества частично перекрывают друг друга.|alt=Рис. 6. Случай третий: диаграмма Венна, где два множества частично перекрывают друг друга.]]
Строка 76:
Строка 76:
|}
|}
Оба множества A и B имеют общие элементы 3 и 4. Эти элементы являются причиной перекрытия центра, общего для A и B. Изучим четвёртый случай более подробно.
Оба множества '''A''' и '''B''' имеют общие элементы 3 и 4. Эти элементы являются причиной перекрытия центра, общего для '''A''' и '''B'''. Изучим четвёртый случай более подробно.
В математике диаграммы Венна используются, чтобы показать логические отношения множеств (совокупностей объектов) относительно друг друга. Наверное, вы уже имели дело с диаграммами Венна при изучении алгебры или в других математических изысканиях. Если да, то наверняка помните всякие взаимно перекрывающиеся круги да разнообразные объединения и пересечения множеств.
Мы сейчас рассмотрим перекрывающиеся круговые диаграммы Венна. При этом будем использовать термины, используемые в цифровой электронике – ИЛИ и И – вместо «объединения» и «пересечения».
Диаграмма Венна является точкой соприкосновения булевой алгебры из предыдущей главы с картами Ка́рно. Мы свяжем то, что вы уже знаете о булевой алгебре, с диаграммами Венна, а затем перейдём к картам Ка́рно.
Итак. Множество – это совокупность любых реальных объектов, как показано ниже. Элементы множеств – это объекты, из которых эти множества состоят. У элементов, объединённых в множество обычно есть что-то общее; хотя это не является обязательным требованием.
В мире действительных чисел, например, совокупность всех положительных целых чисел {1, 2, 3, …} является множеством. Совокупность {3, 4, 5} является примером меньшего множества или подмножества множества всех положительных целых чисел. Ещё пример - совокупность всех мужчин среди студентов колледжа. Вы можете придумать ещё примеры?
Рис. 1. Три примера диаграмм Венна.
На рисунке 1 выше на диаграмме Венна слева показано множество A (в виде круга) которое находится внутри универсального множестваU (прямоугольная область). Если всё внутри круга – это А, то всё, что находится за пределами круга, не является А (т.е., это НЕ-А). Тогда вместо U мы можем пометить прямоугольную область за пределами круга А как НЕ-A (см. среднюю диаграмму на рисунке 1). В аналогичных ситуациях для какого-нибудь другого множества вместо A показываем, к примеру, B и НЕ-B подобным образом (крайняя справа диаграмма).
Что произойдёт, если и A, и B в паре рассмотреть как множества внутри универсального множества? Есть четыре принципиально различающиеся возможности:
Рис. 2. Четыре принципиально разных случая диаграмм Венна для множеств A и B.
Давайте подробнее рассмотрим каждый вариант по отдельности.
Рис. 3. Случай первый: диаграмма без перекрытия для множеств A и B.
Согласно первый диаграмме Венна, множество A и множество B не имеют ничего общего. Между областями A и B, заштрихованными кругами, нет перекрытия. Например, предположим, что множества A и B содержат следующие элементы:
Set A = {1, 2, 3, 4} Set B = {5, 6, 7, 8}
Ни один из элементов множества A не содержится в множестве B, ни один из элементов B не содержится в A. Таким образом, круги не пересекаются.
Рис. 4. Случая второй: диаграмма Венна, в которой одно множество полностью содержит другое.
Во втором примере на приведённой выше диаграмме Венна множество A полностью содержится в множестве B. Как мы можем пояснить эту ситуацию? Предположим, что множества A и B содержат следующие элементы:
Set A = {1, 2} Set B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Все элементы множества A также являются элементами множества B. Следовательно, множество A является подмножеством множества B. Поскольку все элементы множества A являются элементами множества B, круг для множества A полностью отрисовывается в границах круга множества B.
Есть пятый случай, который не показан наряду с этими четырьмя примерами. Подсказка: аналогично последнему (четвёртому) примеру. Нарисуйте диаграмму Венна для пятого случая.
Рис. 5. Случай третий: диаграмма Венна, где оба множества полностью перекрывают друг друга.
Третий пример выше показывает полное взаимное перекрытие между множеством A и множеством B. Похоже, что оба множества содержат одинаковые идентичные элементы. Предположим, что множества A и B включают в себя следующее:
Set A = {1, 2, 3, 4} Set B = {1, 2, 3, 4}
Следовательно,
Set A = Set B
Множества A и B одинаковы, равны, потому что они оба содержат идентичные элементы. Области A и B на соответствующей диаграмме Венна на рисунке 5 выше полностью перекрываются. Если есть какие-либо сомнения относительно того, что представляют собой вышеперечисленные шаблоны, обратитесь к любому рисунку выше или ниже, чтобы быть уверенным в том, как выглядели круглые области до того, как они были перекрыты.
Рис. 6. Случай третий: диаграмма Венна, где два множества частично перекрывают друг друга.
Четвёртый пример на рисунке 6 выше показывает, что есть что-то общее между множеством A и множеством B, поскольку есть область перекрытия. Например, можно взять следующие множества, чтобы проиллюстрировать:
Set A = {1, 2, 3, 4} Set B = {3, 4, 5, 6}
Оба множества A и B имеют общие элементы 3 и 4. Эти элементы являются причиной перекрытия центра, общего для A и B. Изучим четвёртый случай более подробно.
