Электроника:Цифровая электроника/Карты Карно/Диаграммы Венна и множества

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Диаграммы Венна и множества

В математике диаграммы Венна используются, чтобы показать логические отношения множеств (совокупностей объектов) относительно друг друга. Наверное, вы уже имели дело с диаграммами Венна при изучении алгебры или в других математических изысканиях. Если да, то наверняка помните всякие взаимно перекрывающиеся круги да разнообразные объединения и пересечения множеств.

Мы сейчас рассмотрим перекрывающиеся круговые диаграммы Венна. При этом будем использовать термины, используемые в цифровой электронике – ИЛИ и И – вместо «объединения» и «пересечения».

Диаграмма Венна является точкой соприкосновения булевой алгебры из предыдущей главы с картами Ка́рно. Мы свяжем то, что вы уже знаете о булевой алгебре, с диаграммами Венна, а затем перейдём к картам Ка́рно.

Итак. Множество – это совокупность любых реальных объектов, как показано ниже. Элементы множеств – это объекты, из которых эти множества состоят. У элементов, объединённых в множество обычно есть что-то общее; хотя это не является обязательным требованием.

В мире действительных чисел, например, совокупность всех положительных целых чисел {1, 2, 3, …} является множеством. Совокупность {3, 4, 5} является примером меньшего множества или подмножества множества всех положительных целых чисел. Ещё пример - совокупность всех мужчин среди студентов колледжа. Вы можете придумать ещё примеры?

Рис. 1. Три примера диаграмм Венна.

На рисунке 1 выше на диаграмме Венна слева показано множество A (в виде круга) которое находится внутри универсального множества U (прямоугольная область). Если всё внутри круга – это А, то всё, что находится за пределами круга, не является А (т.е., это НЕ-А). Тогда вместо U мы можем пометить прямоугольную область за пределами круга А как НЕ-A (см. среднюю диаграмму на рисунке 1). В аналогичных ситуациях для какого-нибудь другого множества вместо A показываем, к примеру, B и НЕ-B подобным образом (крайняя справа диаграмма).

Что произойдёт, если и A, и B в паре рассмотреть как множества внутри универсального множества? Есть четыре принципиально различающиеся возможности:

Рис. 2. Четыре принципиально разных случая диаграмм Венна для множеств A и B.

Давайте подробнее рассмотрим каждый вариант по отдельности.

Рис. 3. Случай первый: диаграмма без перекрытия для множеств A и B.

Согласно первый диаграмме Венна, множество A и множество B не имеют ничего общего. Между областями A и B, заштрихованными кругами, нет перекрытия. Например, предположим, что множества A и B содержат следующие элементы:

Set A = {1, 2, 3, 4} Set B = {5, 6, 7, 8}

Ни один из элементов множества A не содержится в множестве B, ни один из элементов B не содержится в A. Таким образом, круги не пересекаются.

Рис. 4. Случая второй: диаграмма Венна, в которой одно множество полностью содержит другое.

Во втором примере на приведённой выше диаграмме Венна множество A полностью содержится в множестве B. Как мы можем пояснить эту ситуацию? Предположим, что множества A и B содержат следующие элементы:

Set A = {1, 2} Set B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Все элементы множества A также являются элементами множества B. Следовательно, множество A является подмножеством множества B. Поскольку все элементы множества A являются элементами множества B, круг для множества A полностью отрисовывается в границах круга множества B.

Есть пятый случай, который не показан наряду с этими четырьмя примерами. Подсказка: аналогично последнему (четвёртому) примеру. Нарисуйте диаграмму Венна для пятого случая.

Рис. 5. Случай третий: диаграмма Венна, где оба множества полностью перекрывают друг друга.

Третий пример выше показывает полное взаимное перекрытие между множеством A и множеством B. Похоже, что оба множества содержат одинаковые идентичные элементы. Предположим, что множества A и B включают в себя следующее:

Set A = {1, 2, 3, 4} Set B = {1, 2, 3, 4}

Следовательно,

Set A = Set B

Множества A и B одинаковы, равны, потому что они оба содержат идентичные элементы. Области A и B на соответствующей диаграмме Венна на рисунке 5 выше полностью перекрываются. Если есть какие-либо сомнения относительно того, что представляют собой вышеперечисленные шаблоны, обратитесь к любому рисунку выше или ниже, чтобы быть уверенным в том, как выглядели круглые области до того, как они были перекрыты.

Рис. 6. Случай третий: диаграмма Венна, где два множества частично перекрывают друг друга.

Четвёртый пример на рисунке 6 выше показывает, что есть что-то общее между множеством A и множеством B, поскольку есть область перекрытия. Например, можно взять следующие множества, чтобы проиллюстрировать:

Set A = {1, 2, 3, 4} Set B = {3, 4, 5, 6}

Оба множества A и B имеют общие элементы 3 и 4. Эти элементы являются причиной перекрытия центра, общего для A и B. Изучим четвёртый случай более подробно.