Электроника:Переменный ток/Комплексные числа/Введение в комплексные числа

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Введение в комплексные числа

Если бы мне понадобилось выразить простое расстояние между двумя городами, то мой ответ, состоял из одного числа в милях, километрах или какой-либо другой единице измерения.

Однако, если нужно описать как попасть из одного города в другой, то недостаточно указать только расстояние между двумя населёнными пунктами. Также понадобилась бы информация не только о том, сколько нужно проехать, но и в какую сторону.

Информация, выражающая только одно измерение, такое как линейное расстояние, в математике называется скалярной величиной. Скаляры – это «одномерные» числа, которые вы, в основном, использовали до сих пор. Например, постоянное напряжение, производимое батареей, является скалярной величиной. Так же, как и сопротивление отрезка провода (в омах) или сила постоянного тока, проходящего через него (в амперах). Однако, когда анализируем цепи переменного тока, выясняется, что напряжение, сила тока или даже сопротивление (называемое импедансом, когда речь о переменном токе) не являются привычными одномерными величинами, к которым мы привыкли при измерении цепей постоянного тока.

Поскольку эти величины динамические (чередуется направление и амплитуда), то можно сказать, что они обладают дополнительными измерениями, которые необходимо учесть. К таким параметрам, которые теперь присутствуют в анализе, относятся частота и фазовый сдвиг.

Даже в относительно простых цепях переменного тока, где частота одна для всех элементов, нам придётся учитывать фазовый сдвиг, который влияет на сложение амплитуд.

Для успешной работы с цепями переменного тока, нам понадобятся такие математические объекты и методы, которые способны представлять подобные многомерные величины.

Так что здесь нам придётся отказаться от скалярных чисел в пользу чего-то более подходящего: комплексных чисел. Как и в примере, где нужно указать, как добраться из одного города в другой, величины переменного тока в цепи (пока считаем, что частота для всех элементов одинакова) имеют как амплитуду (аналогия: расстояние), так и фазовый сдвиг (аналогия: направление).

Такая математическая величина, как комплексное число, как раз и способна одновременно выражать эти два измерения – амплитуду и фазовый сдвиг.

Графическое представление комплексных чисел

Комплексные числа проще понять, если представить их графически. Если нарисовать линию с определённой длиной (величиной) и углом (направлением), то будет графическое представление комплексного числа, которое обычно известно в физике как вектор:

Рис. 1. Вектор – это отрезок, имеющий не только длину, но и направление.

Чтобы говорить не только о длине, но и о направлении, нужна какая-то общая система координат, чтобы любые углы имели чётко определённое значение. Направление точно вправо считается равным 0°, а углы отсчитываются в положительном направлении против часовой стрелки:

Рис. 2. Векторный компас.

Сама по себя идея изобразить числа графическими методами не нова. Ещё в начальной школе мы знакомимся с «числовой прямой»:

Рис. 3. Числовая прямая.

Мы даже тогда учились складывать и вычитать, на примере того, как складываются отрезки:

Рис. 4. Сложение, показанное на числовой прямой.

Ещё позже мы узнали, что между целыми числами, отмеченными на числовой прямой, тоже есть числовые значения. Так мы познакомились с дробными и десятичными величинами:

Рис. 5. На числовой прямой можно также показывать дробные числа.

Эти множества чисел (целые, натуральные, рациональные, действительные, иррациональные, трансцендентные и т.д.), с которыми мы имели дело ещё со школы, имеют общую черту: все они одномерные. Это наглядно иллюстрирует прямолинейность самой числовой прямой.

Можно перемещаться вперёд-назад вдоль числовой прямой, но такое «движение» возможно только по одной (горизонтальной) оси.

Одномерные скалярные числа идеально подходят, если нужно подсчитать бусинки, что-то взвесить или измерить напряжение батареи постоянного тока. Но они уже не способны представить что-то более сложное, например одновременно выразить и расстояние и направление между двумя городами. Или одновременно выразить и амплитуду и фазу для волны переменного тока.

Чтобы работать с такими величинами, нужны многомерные представления. Другими словами, нам нужна такая числовая прямая, где можно указывать любое направление. И вот тут нам на помощь приходят векторы.

Итог

• В повседневной жизни для математического выражения объектов, обычно используют скалярные числа: например, чтобы указать температуру, длину, вес и т.д.
• Комплексное число является математической величиной, представляющей два измерения (величина и направление).
• Вектор – это графическое представление комплексного числа. Это отрезок, у которого на одном конце начальная точка, на другом – острие стрелки. Отрезок обладает не только определённой длиной, но и определённым направлением. В электротехнике иногда используется термин «фазор», где угол вектора представляет собой фазовый сдвиг между сигналами.