Стоячие волны в точках резонансной частоты разомкнутой или короткозамкнутой линии передачи создают необычные эффекты. Когда частота сигнала такова, что ровно ½ волны или некоторое кратное ей соответствует длине линии, источник воспринимает импеданс нагрузки таким, какой он есть.
На следующей паре иллюстраций показана линия с разомкнутой цепью, работающая на частотах, равных ½ и 1 от длины волны:
Рис. 1. Источник питания воспринимает конец линии как обрыв (что и на самом деле), поскольку конец линии приходится на половину длины волны.Рис. 2. Источник питания воспринимает конец линии как обрыв (что и на самом деле), так как конец приходится на полную длину волны (линия из 2-x половин длины волны).
В любом случае линия имеет на обоих концах пучности напряжения и узлы тока. То есть на любом конце линии есть максимальное напряжение и минимальный ток, что соответствует состоянию разомкнутой цепи.
Тот факт, что это условие выполняется на обоих концах линии, говорит о том, что линия точно воспроизводит свой оконечный импеданс на конце источника, так что источник «видит» разомкнутую цепь, где он подключается к линии передачи, как если бы он был действительно разомкнутый.
То же самое верно, если линия передачи заканчивается коротким замыканием: при частотах сигнала, соответствующих ½ длины волны или некоторому кратному ей, источник «видит» короткое замыкание с минимальным напряжением и максимальным током, присутствующим в точках соединения между источником и линией передачи:
Рис. 3. Источник питания воспринимает линию как закороченную (каковой она и является), так как конец линии приходится на половину волны.Рис. 4. Источник питания воспринимает линию как закороченную (каковой она и является), поскольку конец линии отнесён на полную длину волны (или на 2 половины длины волны).
Однако, если частота сигнала такова, что линия резонирует на ¼ длины волны или кратной длине волны, источник «увидит» полную противоположность оконечному сопротивлению.
То есть, если линия разомкнута, источник «увидит» короткое замыкание в точке, где он подключается к линии; и если линия закорочена, источник «увидит» обрыв цепи:
Линия разомкнута; источник «видит» короткое замыкание: на линии с четвертью длины волны; на линии с тремя четвертями длины волны:
Рис. 5. Источник питания «видит» короткое замыкание, поскольку в линии, длиной в четверть длины волны, отражается от обрыва на конце.Рис. 6. Источник питания «видит» короткое замыкание, поскольку в линии, длиной в три четверти волны, отразилось от обрыва на конце.
Короткое замыкание линии; источник «видит» разомкнутую цепь: на линии с четвертью длины волны; на линии с тремя четвертями длины волны:
Рис. 7. Источник питания «видит» обрыв, отражённый от короткого замыкания в конце четвертьволновой линии.Рис. 8. Источник питания «видит» обрыв, отражённый от короткого замыкания на конце линии длиной три четверти длины волны.
На этих частотах линия передачи фактически функционирует как трансформатор импеданса, преобразуя бесконечный импеданс в нулевой импеданс или наоборот.
Конечно, это происходит только в резонансных точках, в результате чего возникает стоячая волна ¼ цикла (фундаментальная, резонансная частота линии) или нечётное кратное (3/4, 5/4, 7/4, 9/4 и т.д.), однако если частота сигнала известна и не меняется, это явление можно использовать для согласования друг с другом несогласованных импедансов.
Возьмём, к примеру, схему из предыдущего раздела, где источник 75 Ом подключается к линии передачи 75 Ом, оканчиваясь полным сопротивлением нагрузки 100 Ом.
Из числовых значений, полученных с помощью SPICE, давайте определим, какой импеданс источник «видит» на своем конце линии передачи на резонансных частотах линии: четверть длины волны, половина длины волны, три четверти длины волны и полная длина волны.
Рис. 9. Источник видит 56,25 Ом, отражённое от нагрузки 100 Ом в конце линии, длиной в четверть волны.Рис. 10. Источник видит 100 Ом, отражённое от нагрузки 100 Ом на конце линии длиной в половину длины волны.Рис. 11. Источник видит 56,25 Ом, отражённое от нагрузки 100 Ом на конце линии в три четверти длины волны (то же, что и четверть длины волны).Рис. 12. Источник видит 100 Ом, отражённое от нагрузки 100 Ом в конце полноволновой линии (то же, что и на половине длины волны).
Как связаны линейный, нагрузочный и входной импедансы?
Простое уравнение связывает полное сопротивление линии (Z0), полное сопротивление нагрузки (ZНагрузка) и входное сопротивление (ZВход) для несогласованной линии передачи, работающей на нечётной гармонике своей основной частоты:
Рис. 13. Уравнение основной частоты
В качестве примера практического применения этого принципа согласуем нагрузку 300 Ом с источником сигнала 75 Ом на частоте 50 МГц. Все, что нам нужно сделать, это рассчитать надлежащий импеданс линии передачи (Z0) и длину, чтобы ровно ¼ волны «стояла» на линии при частоте 50 МГц.
Сначала вычисляем полное сопротивление линии: взяв 75 Ом, которые мы хотим, чтобы источник «видел» на конце линии передачи, и умножив на сопротивление нагрузки 300 Ом, мы получим цифру 22 500. Извлечение квадратного корня из 22 500 дает 150 Ом для характеристического импеданса линии.
Теперь, чтобы рассчитать необходимую длину линии: если предположить, что наш кабель имеет коэффициент скорости 0,85, и используя показатель скорости света почти 300 тысяч километров в секунду, скорость распространения будет 254 400 километров в секунду.
Если взять эту скорость и разделить на частоту сигнала, мы получим длину волны 0,0051 км или чуть более 5 метров. Поскольку нам нужна только четверть этой длины, чтобы кабель поддерживал четвертьволновые волны, необходимая длина кабеля составляет 1,25 метра.
Вот схематическая диаграмма для схемы, показывающей номера узлов для моделирования SPICE, которое мы собираемся запустить:
Рис. 14. Четвертьволновый участок линии передачи 150 Ом соответствует источнику 75 Ом и нагрузке 300 Ом.
Мы можем указать длину кабеля в SPICE с точки зрения задержки от начала до конца. Поскольку частота равна 50 МГц, период сигнала будет обратным ей, т.е. 20 наносекунд (20 нс). Четверть этого времени (5 нс) будет временно́й задержкой линии передачи длиной в четверть длины волны:
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=150 td=5n rload 3 0 300 .ac lin 1 50meg 50meg .print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3) .end
freq
v(1,2)
v(1)
v(2)
v(3)
5.000E+07
5.000E-01
1.000E+00
5.000E-01
1.000E+00
На частоте 50 МГц наш 1-вольтовый источник сигнала понижает половину своего напряжения на последовательном сопротивлении 75 Ом (v(1,2)), а другую половину своего напряжения на входных клеммах линии передачи (v(2)).
Это означает, что источник питания «думает», будто бы он питает нагрузку 75 Ом.
Однако фактический импеданс нагрузки составляет 1 вольт, как показано цифрой 1.000 в v(3). При падении 0,5 В на 75 Ом источник рассеивает 3,333 мВт мощности: столько же, сколько рассеивается на 1 В при нагрузке 300 Ом, что указывает на идеальное соответствие импеданса согласно теореме о максимальной передаче мощности.
Сегмент линии передачи длиной в ¼ длины волны и сопротивлением 150 Ом успешно согласовал нагрузку 300 Ом с источником 75 Ом.
Имейте в виду, конечно, что это работает только для 50 МГц и его нечётных гармоник. Для любой другой частоты сигнала, чтобы получить такой же преимущественный согласованный импеданс, линию 150 Ом необходимо соответственно удлинить или укоротить, чтобы она была ровно ¼ длины волны.
Как ни странно, одна и та же линия может соответствовать нагрузке 75 Ом и источнику 300 Ом, демонстрируя принципиальное отличие этого явления преобразования импеданса от явления обычного двухобмоточного трансформатора:
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 300 t1 2 0 3 0 z0=150 td=5n rload 3 0 75 .ac lin 1 50meg 50meg .print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3) .end
freq
v(1,2)
v(1)
v(2)
v(3)
5.000E+07
5.000E-01
1.000E+00
5.000E-01
2.500E-01
Здесь мы видим, что напряжение источника 1 В поровну разделено между импедансом источника 300 Ом (v(1,2)) и входом линии (v(2)), что указывает на то, что нагрузка «выглядит» как импеданс 300 Ом воспринимаемый источником питания, где он соединяется с линией электропередачи.
Это падение 0,5 В на внутреннем импедансе источника в 300 Ом даёт показатель мощности 833,33 мкВт, такой же, как 0,25 В на нагрузке 75 Ом, как показано на рисунке для напряжения v(3). Еще раз: значения импеданса источника и нагрузки согласованы сегментом линии передачи.
Этот метод согласования импеданса часто используется для согласования различных значений импеданса линии передачи и антенны в системах радиопередатчиков, поскольку частота передатчика обычно хорошо известна и неизменна.
Использование «преобразователя» импеданса, длина которого составляет ¼ длины волны, обеспечивает согласование импеданса с использованием минимально возможной длины проводника:
Рис. 15. Участок линии передачи длиной в четверть волны для 150 Ом соответствует линии 75 Ом и антенне 300 Ом.
Итог
Линия передачи со стоячими волнами может использоваться для согласования различных значений импеданса, если она работает на правильной частоте(-ах).
При работе на частоте, соответствующей стоячей волне с длиной волны, составляющей ¼ длины линии передачи, характеристический импеданс линии, необходимый для преобразования импеданса, должен быть равен квадратному корню из произведения импеданса источника и импеданса нагрузки.
