При несоответствии импеданса между линией передачи и нагрузкой будут возникать отражения волн. Если падающий сигнал представляет собой непрерывную волну переменного тока, эти отражения будут смешиваться с большей частью встречной падающей волны, создавая стационарные волны, называемые стоячими волнами.
На следующем рисунке показано, как падающий сигнал треугольной волны превращается в зеркальное отражение при достижении неоконечного конца линии. Линия передачи в этой иллюстративной последовательности для простоты показана как одна толстая линия, а не пара проводов.
Падающая волна движется слева-направо, а отражённая волна – справа-налево:
Рис. 1.1. Падающая волна движется слева-направо, а отражённая волна – справа-налево.Рис. 1.2. Падающая волна отражается от неоконечного конца линии передачи.
Если мы сложим две волны вместе, то обнаружим, что третья, стационарная волна создаётся по длине линии:
Рис. 2.1. По длине линии создаётся стационарный сигнал.Рис. 2.2. Сумма падающей и отражённой волн представляет собой стационарную волну.
Эта третья, «стоячая» волна, по сути – единственное напряжение вдоль линии, репрезентативная сумма падающих и отражённых волн напряжения. Она колеблется с мгновенной величиной, но не распространяется по длине кабеля, как падающие или отражённые волны, её вызывающие.
Обратите внимание на точки вдоль линии, обозначающие «нулевые» точки стоячей волны (где падающая и отражённая волны компенсируют друг друга), и то, что эти точки никогда не меняют положение:
Рис. 3. Стоячая волна не распространяется по линии передачи.
Случаи образования стоячей волны
Стоячие волны довольно распространены в физическом мире. Рассмотрим верёвку. Один конец закреплён на какой-нибудь опоре, держась за другой конец верёвки, встряхнём её (показан только один полупериод движения руки, движение вниз):
Рис. 4. Стоячие волны на встряхнутой веревке.
И узлы (точки с небольшой или нулевой вибрацией), и пучности (точки с максимальной вибрацией) остаются фиксированными по длине струны или верёвки.
Эффект наиболее заметен, когда свободный конец встряхивают с нужной частотой. Порванные струны – демонстрация такого поведения «стоячей волны» с «узлами»/«пучностями» (точками минимальной и максимальной вибрации по их длине.
Основное различие между натянутой струной и встряхиваемой верёвкой, заключается в том, что натянутая струна обеспечивает свою собственную «правильную» частоту вибрации для максимизации эффекта стоячей волны:
Рис. 5. Стоячие волны на натянутой струне.
Ветер, задувающий в трубу с открытым концом, также вызывает стоячие волны; на этот раз волны – это колебания молекул воздуха (звука) внутри трубки, а не колебания твёрдого объекта. Является ли окончание стоячей волны узлом (с минимальной амплитудой) или пучностью (с максимальной амплитудой) зависит от того, закрыт или открыт другой конец трубки:
Рис. 6. Стоячие звуковые волны в трубке с открытым концом.
Закрытый конец трубки окажется волновым узлом, а открытый – пучностью. По аналогии, закреплённый конец колеблющейся струны – узел, а свободный (если он есть) – пучность.
Развитие гармоник резонансных частот
Обратите внимание на то, что существует более одной длины волны, подходящей для создания стоячих волн колеблющегося воздуха внутри трубки, которые точно соответствуют концам трубки.
Это верно для любой системы со стоячими волнами: стоячие волны резонируют с системой на любой частоте (длине волны), соответствующей точкам системы, являющимися узлами или пучностями. Другими словами, существует несколько резонансных частот для любой системы, поддерживающей стоячие волны.
Всё более высокие частоты кратны наименьшей (фундаментальной) частоте системы. Последовательное развитие гармоник от одной резонансной частоты к другой определяет частоты обертона для системы:
Рис. 7. Гармоники (обертоны) в трубах с открытым концом.
Фактические частоты (измеренные в герцах) для любой из этих гармоник или обертонов зависят от физической длины трубки и скорости распространения волн, которая является скоростью звука в воздушной среде.
Моделирование резонанса линии передачи с помощью SPICE
Поскольку линии передачи поддерживают стоячие волны и заставляют эти волны иметь узлы и пучности в соответствии с типом оконечного импеданса на конце нагрузки, они также демонстрируют резонанс на частотах, определяемых физической длиной и скоростью распространения.
Однако резонанс линии передачи немного сложнее, чем резонанс струн или воздуха в трубках, потому что мы должны учитывать как волны напряжения, так и волны тока.
Эту сложность легче понять с помощью компьютерного моделирования. Для начала рассмотрим идеально согласованный источник, линию передачи и нагрузку. Все компоненты имеют полное сопротивление 75 Ом:
Рис. 8. Идеально подобранная линия передачи.
Используя SPICE для моделирования схемы, мы укажем линию передачи (t1) с характеристическим сопротивлением 75 Ом (z0 = 75) и задержкой распространения в 1 микросекунду (td = 1u). Это удобный метод выражения физической длины линии передачи: количество времени, за которое волна распространяется по всей её длине.
Если бы это был настоящий 75-омный кабель – возможно даже, коаксиальный кабель типа «RG-59B/U» (тип, обычно используемый для разводки кабельного телевидения), – с фактором скорости 0,66, он имел бы длину около 198 метров.
Поскольку 1 мкс – это период сигнала 1 МГц, я выберу развёртку частоты источника переменного тока от (почти) нуля до этого значения, чтобы увидеть, как система реагирует на сигналы в диапазоне от постоянного тока до равной длины волны.
Вот список соединений SPICE для схемы, показанной выше:
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 75 .ac lin 101 1m 1meg * Используем программу Nutmeg * для аналитического графика .end
Запустив это моделирование и построив график падения импеданса источника питания (в качестве показателя тока), напряжения источника, напряжения на конце линии и напряжения нагрузки, видим, что напряжение источника питания – показано как кривая vm(1) (величина напряжения между узлом 1 и предполагаемой точкой заземления узла 0) на графике – регистрирует устойчивый 1 вольт, в то время как любое другое напряжение регистрирует устойчивые 0,5 вольт:
Рис. 9. На согласованной линии передачи резонансы отсутствуют.
В системе, в которой все импедансы идеально согласованы, не может быть стоячих волн и, следовательно, резонансных «пиков» или «впадин» на диаграммах Боде.
Теперь изменим импеданс нагрузки на 999 МОм, чтобы смоделировать линию передачи с разомкнутыми концами. Сейчас мы определённо должны увидеть некоторые отражения на линии, поскольку частота изменяется от 1 мГц до 1 МГц:
Рис. 10. Разомкнутая линия передачи.
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 999meg .ac lin 101 1m 1meg * Используем программу Nutmeg * для аналитического графика .end
Рис. 11. Резонансы на разомкнутой линии передачи.
Здесь как напряжение питания vm(1), так и напряжение на конце нагрузки vm(3) линии остаются неизменными на уровне 1 вольт. Остальные напряжения падают и достигают пика на разных частотах в диапазоне от 1 мГц до 1 МГц.
Вдоль горизонтальной оси на аналитическом графике расположены пять интересных точек: 0 Гц, 250 кГц, 500 кГц, 750 кГц и 1 МГц. Мы исследуем каждую на предмет того, каковы напряжение и сила тока в разных точках цепи.
При 0 Гц (на самом деле 1 мГц) сигнал практически постоянный, и схема ведёт себя так же, как при источнике питания, являющейся аккумулятором постоянного тока на 1 вольт.
Ток в цепи отсутствует, на что указывает нулевое падение напряжения на импедансе источника (ZИсточник: vm(1,2)) и на присутствующее полное напряжение источника на конце линии передачи (напряжение измеряется между узлом 2 и узлом 0: vm(2)):
Рис. 12. При f = 0: входные характеристики: V = 1, I = 0; характеристики на концах: V = 1, I = 0.
На частоте 250 кГц мы видим нулевое напряжение и максимальный ток на выходном конце линии передачи, но всё ещё полное напряжение на конце нагрузки:
Рис. 13. При f = 250 кГц: входные характеристики: V = 0, I = 13,33 мА; характеристики на концах: V = 1, I = 0
Вам может быть интересно, как такое вообще может быть? Как можно получить полное напряжение источника питания на открытом конце линии, когда на её входе нулевое напряжение?
Ответ кроется в парадоксе стоячей волны. При частоте источника 250 кГц длина линии точно соответствует ¼ длины волны, чтобы соответствовать от одного конца до другого. При разомкнутом конце нагрузки линии не может быть тока, но будет напряжение.
Следовательно, конец нагрузки разомкнутой линии передачи представляет собой узел тока (нулевая точка) и пучность напряжения (максимальная амплитуда):
Рис. 14. Открытый конец линии передачи показывает узел тока и пучность напряжения на этом конце.
При частоте 500 кГц ровно половина стоячей волны находится на линии передачи, и здесь мы видим ещё одну аналитическую точку, когда ток источника падает до нуля, а напряжение на конце источника линии передачи снова возрастает до полного значения:
Рис. 15. Полная стоячая волна на полуволновой открытой линии передачи.
При частоте 750 кГц график выглядит так же, как при частоте 250 кГц: нулевое напряжение на конце источника (vm(2)) и максимальный ток (vm(1,2)). Это происходит из-за того, что ¾ волны проходит вдоль линии передачи, в результате чего источник «видит» короткое замыкание, когда он подключается к линии передачи, даже если другой конец линии разомкнут:
Рис. 16. 1½ стоячей волны на ¾ волны открытой линии передачи.
Когда частота питания достигает 1 МГц, на линии передачи возникает полная стоячая волна. В этот момент конец линии со стороны источника испытывает те же амплитуды напряжения и тока, что и конец линии со стороны нагрузки: полное напряжение и нулевой ток. По сути, источник «видит» обрыв в том месте, где он подключается к линии передачи:
Рис. 17. Двойные стоячие волны на полноволновой открытой линии передачи.
Аналогичным образом закороченная линия передачи генерирует стоячие волны, хотя предназначения узла и пучности для напряжения и тока меняются местами: на закороченном конце линии будет нулевое напряжение (узел) и максимальный ток (пучность). Далее приведено моделирование SPICE и иллюстрация того, что происходит на всех интересных частотах: 0 Гц, 250 кГц, 500 кГц, 750 кГц и 1 МГц. Перемычка короткого замыкания моделируется импедансом нагрузки 1 мкОм:
Рис. 18. Короткое замыкание в линии передачи.
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 1u .ac lin 101 1m 1meg * Используем программу Nutmeg * для аналитического графика .end
Рис. 19. Резонансы на закороченной линии передачи.Рис. 20. При f = 0 Гц: входные характеристики: V = 0, I = 13,33 мА; характеристики на концах: V = 0, I = 13,33 мА.Рис. 21. Полуволновая картина стоячей волны на закороченной линии передачи ¼ волны.Рис. 22. Полноволновая картина стоячей волны на полуволновой закороченной линии передачи.Рис. 23. 1½ стоячей волны на линии передачи с коротким замыканием на ¾ волны.Рис. 24. Двойные стоячие волны на двухполупериодной (полноволновой) линии передачи с коротким замыканием.
В обоих примерах схемы (и на разомкнутой линии, и на короткозамкнутой линии) отражение энергии является полным: 100% падающей волны, достигающей конца линии, отражается обратно к источнику питания.
Однако, если линия передачи имеет какое-либо сопротивление, отличное от разрыва или короткого замыкания, отражения будут менее интенсивными, как и разница между минимальным и максимальным значениями напряжения и тока вдоль линии.
Предположим, надо было наш пример линии завершить резистором 100 Ом вместо резистора 75 Ом (см. рисунок ниже). Изучите результаты соответствующего анализа SPICE, чтобы увидеть эффекты рассогласования импеданса на разных частотах источника:
Рис. 25. Линия передачи оборвалась из-за рассогласования.
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 100 .ac lin 101 1m 1meg * Используем программу Nutmeg * для аналитического графика .end
Рис. 26. Слабые резонансы на несогласованной линии передачи.
Если мы запустим ещё один анализ SPICE, на этот раз распечатав числовые результаты, а не построив их, мы сможем точно увидеть, что именно происходит на всех интересных частотах:
Transmission line v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 100 .ac lin 5 1m 1meg .print ac v(1,2) v(1) v(2) v(3) .end
freq
v(1,2)
v(1)
v(2)
v(3)
1.000E-03
4.286E-01
1.000E+00
5.714E-01
5.714E-01
2.500E+05
5.714E-01
1.000E+00
4.286E-01
5.714E-01
5.000E+05
4.286E-01
1.000E+00
5.714E-01
5.714E-01
7.500E+05
5.714E-01
1.000E+00
4.286E-01
5.714E-01
1.000E+06
4.286E-01
1.000E+00
5.714E-01
5.714E-01
На всех частотах напряжение источника v(1), как и должно, остаётся постоянным на уровне 1 вольт. Напряжение нагрузки v(3) также остаётся постоянным, но при меньшем напряжении: 0,5714 вольт. Однако как линейное входное напряжение (v(2)), так и напряжение, падающее на импеданс источника 75 Ом (v(1,2) указывает на ток, потребляемый от источника питания), изменяются вместе с частотой.
Рис. 27. При f = 0 Гц: входные характеристики: V = 0,57,14, I = 5,715 мА; характеристики на концах: V = 0,5714, I = 5,715 мА.Рис. 28. При f = 250 кГц: входные характеристики: V = 0,4286, I = 7,619 мА; характеристики на концах: V = 0,5714, I = 7,619 мА.Рис. 29. При f = 500 кГц: входные характеристики: V = 0,5714, I = 5,715 мА; характеристики на концах: V = 5,714, I = 5,715 мА.Рис. 30. При f = 750 кГц: входные характеристики: V = 0,4286, I = 7,619 мА; характеристики на концах: V = 0,5714, I = 7,619 мА.Рис. 31. При f = 1 МГц: входные характеристики: V = 0,5714, I = 5,715 мА; характеристики на концах: V = 0,5714, I = 0,5715 мА.
На нечётных гармониках фундаментальной частоты (250 кГц, рисунок 28 выше и 750 кГц, рисунок 30 выше) мы видим разные уровни напряжения на каждом конце линии передачи, потому что на этих частотах стоячие волны заканчиваются на одном конце, в одном случае являющимся узлом, а в другом – пучностью.
В отличие от примеров с разомкнутой и короткозамкнутой линиями передачи, максимальные и минимальные уровни напряжения вдоль этой линии передачи не достигают одинаковых крайних значений 0% и 100% напряжения источника, но у нас всё ещё есть точки «минимального» и «максимального» напряжения.
(Рисунок 26 выше с графиком) То же самое верно и для тока: если оконечный импеданс линии не соответствует характеристическому импедансу, у нас будут точки минимального и максимального тока в определённых фиксированных местах на линии, соответствующих узлам и пучностям стоячей волны тока.
Коэффициент стоячей волны
Один из способов выражения интенсивности стоячих волн – это отношение максимальной амплитуды (на пучности) к минимальной амплитуде (на узле) для напряжения или тока.
Когда линия заканчивается обрывом или коротким замыканием, этот коэффициент стоячей волны, (КСВ) оценивается как бесконечность, поскольку минимальная амплитуда равна нулю, а любое конечное значение, делённое на ноль, приведёт к бесконечному (фактически «неопределённому») частному.
В этом примере с линией на 75 Ом, оканчивающейся сопротивлением 100 Ом, КСВ будет конечным: 1,333, рассчитанным путем взятия максимального линейного напряжения на частоте 250 кГц или 750 кГц (0,5714 В) и деления на минимальное линейное напряжение (0,4286 вольт).
Коэффициент стоячей волны также можно рассчитать, взяв оконечный импеданс линии и характеристический импеданс линии и разделив большее из этих двух значений на меньшее. В этом примере оконечное сопротивление 100 Ом, разделённое на характеристическое сопротивление 75 Ом, даёт частное, равное 1,333, что очень близко соответствует предыдущему расчёту:
Рис. 32. Вычисление КСВ: оконечное сопротивление 100 Ом, разделённое на характеристическое сопротивление 75 Ом, даёт частное, равное точно 1,333.
Линия передачи с идеальной оконечной нагрузкой будет иметь КСВ, равное 1, поскольку напряжение в любом месте по длине линии будет одинаковым, это верно и для тока.
Опять же, это обычно считается идеальным не только потому, что отражённые волны представляют собой энергию, не передаваемую нагрузке, но и потому, что высокие значения напряжения и тока, создаваемые пучностями стоячих волн, могут вызвать чрезмерную нагрузку на изоляцию линии передачи (высокое напряжение) и проводники (сильные токи) соответственно.
Кроме того, линия передачи с высоким КСВ имеет тенденцию действовать как антенна, излучая электромагнитную энергию вовне, а не направляя её всю на нагрузку. Обычно это нежелательно, поскольку излучаемая энергия может «соединяться» с соседними проводниками, создавая помехи для сигнала.
Интересное примечание к этому моменту состоит в том, что антенные конструкции, которые обычно напоминают линии передачи с разомкнутыми или короткозамкнутыми линиями, часто предназначены для работы при высоких коэффициентах стоячей волны именно по той причине, что максимизируют излучение и приём сигнала.
На следующей фотографии показан набор линий передачи в точке соединения в системе радиопередатчика. Большие медные трубки с керамическими изоляционными крышками на концах представляют собой жёсткие коаксиальные линии передачи с волновым сопротивлением 50 Ом.
Эти линии передают РЧ-мощность от схемы радиопередатчика к небольшому деревянному покрытию у основания антенной конструкции, а от этого покрытия – к другим покрытиям с другими антенными конструкциями:
Рис. 33. Гибкие коаксиальные кабели подключаются к жёстким линиям передачи.
Гибкий коаксиальный кабель, подключённый к жёстким линиям передачи (также с характеристическим сопротивлением 50 Ом), передаёт РЧ-мощность в ёмкостные и индуктивные «фазирующие» сети внутри деревянного покрытия. Белая пластиковая трубка, соединяющая две жёсткие линии вместе, переносит «наполняющий» газ от одной герметичной линии к другой.
Линии заполнены газом, что позволяет избежать скопления конденсата внутри них, что было бы определённой проблемой для коаксиальной линии передачи. Обратите внимание на плоские медные «перемычки», используемые для соединения проводов гибких коаксиальных кабелей с проводниками жёстких линий.
Почему ту плоские ленты из меди, а не округлые провода? Из-за скин-эффекта, который делает бо́льшую часть поперечного сечения круглого проводника бесполезным на радиочастотах.
Как и многие линии передачи, они работают в условиях низкого КСВ. Однако, как мы увидим в следующем разделе, явление стоячих волн в линиях передачи не всегда нежелательно, поскольку может использоваться для выполнения полезной функции: преобразования импеданса.
Итог
Стоячие волны – это волны напряжения и тока, которые не распространяются (т.е. они стационарны), но являются результатом интерференции между падающими и отражёнными волнами вдоль линии передачи.
Узел является точкой минимальной амплитуды на стоячей волне.
Пучность – это точка максимальной амплитуды на стоячей волне.
Стоячие волны могут существовать в линии передачи только в том случае, если оконечное сопротивление не соответствует характеристическому сопротивлению линии. В идеально завершённой линии нет отражённых волн и, следовательно, вообще нет стоячих волн.
На определённых частотах узлы и пучности стоячих волн будут коррелировать с концами линии передачи, что приведет к резонансу.
Самая низкочастотная резонансная точка на линии передачи находится там, где длина линии составляет четверть длины волны. Резонансные точки существуют на каждой гармонической (целочисленной) частоте фундаментальной волны (четверть длины волны).
Коэффициент стоячей волны или КСВ – это отношение максимальной амплитуды стоячей волны к минимальной амплитуде стоячей волны. Его также можно рассчитать путём деления полного сопротивления оконечной нагрузки на характеристическое сопротивление (или наоборот), что всегда даёт наибольшее частное. Линия без стоячих волн (идеально согласованная: ZНагрузка = Z0) имеет КСВ, равное 1.
Линии передачи могут быть повреждены из-за высоких максимальных амплитуд стоячих волн. Пучности напряжения могут нарушить изоляцию между проводниками, а пучности тока могут привести к перегреву проводников.
