Электроника:Переменный ток/Многофазные цепи переменного тока/Гармоники в многофазных энергосистемах

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Гармоники в многофазных энергосистемах[1]

В главе 7 «Сигналы переменного тока смешанной частоты», мы исследовали концепцию гармоник в системах переменного тока: это частоты, которые являются целыми кратными основной (фундаментальной) частоте источника питания.

В системах питания переменного тока, в которых волна напряжения источника, поступающего от генератора переменного тока (альтернатор), должна быть одночастотной синусоидальной волной, неискажённой, без гармонических составляющих… идеальной, в общем.

Нелинейные компоненты в системах переменного тока

Это было бы так, если бы не нелинейные компоненты. Нелинейные компоненты потребляют ток непропорционально напряжению источника, вызывая несинусоидальные волны тока. Примеры нелинейных компонентов: газоразрядные лампы, полупроводниковые устройства управления мощностью (диоды, транзисторы, тиристоры, симисторы), трансформаторы (ток намагничивания первичной обмотки обычно не является синусоидальным из-за B/H-кривой насыщения сердечника) и электродвигатели (опять же, когда магнитные поля в сердечнике двигателя приближаются к уровню насыщения).

Даже лампы накаливания генерируют слегка несинусоидальные токи, поскольку сопротивление нити накала изменяется в течение всего цикла из-за быстрых колебаний температуры. Как мы узнали из главы, посвященной смешанным частотам, любое искажение синусоидальной формы волны означает наличие гармонических частот.

Когда в рассматриваемой несинусоидальной волне её части, находящиеся выше и ниже средней центральной линии, являются симметричными, то частоты гармоник будут только нечётными целыми числами, кратными основной частоте источника питания, чётные целые кратных будут отсутствовать.

Большинство нелинейных нагрузок генерируют именно такие волны тока, поэтому чётные гармоники (2-я, 4-я, 6-я, 8-я, 10-я, 12-я и т.д.) отсутствуют (или присутствуют минимально) в большинстве систем переменного тока.

Рис. 1. Примеры симметричных сигналов – у таких будут только нечётные гармоники.

Примеры несимметричных сигналов (когда части волны, находящихся выше средней линии не являются зеркальным отображением частей, находящихся ниже средней линии) с присутствующими чётными гармониками:

Рис. 2. Примеры несимметричных сигналов – у таких помимо нечётных также будут и выраженные чётные гармоники.

Несмотря на то, что половина возможных частот гармоник обычно нейтрализуется симметричным искажением нелинейных нагрузок, нечётные гармоники все же могут вызывать проблемы. Некоторые из этих проблем являются общими для всех энергосистем, хоть однофазных хоть многофазных.

Например, перегрев трансформатора из-за потерь на вихревые токи может произойти в любой энергосистеме переменного тока, в которой присутствует значительное количество гармоник.

Однако есть некоторые проблемы, вызванные гармоническими токами, которые характерны именно для многофазных систем питания, и как раз этим проблемам специально посвящён этот раздел.

SPICE-моделирование гармонических эффектов

Полезно иметь возможность моделировать нелинейные нагрузки в SPICE, чтобы не перегружать себя матаном и выработать интуитивное понимание гармонических эффектов.

Моделирование линейной системы переменного тока

Во-первых, начнём наше моделирование с очень простой цепи переменного тока: одиночный источник синусоидального напряжения с чисто линейной нагрузкой и всеми соответствующими сопротивлениями:

Рис. 3. Схема для SPICE с одним источником синусоидального сигнала.

Сопротивления RИсточник и RЛинейное в этой цепи – нечто большее, чем простая имитация реального мира: они также обеспечивают удобные сопротивления шунта для измерения токов в моделировании SPICE: путём считывания напряжения на сопротивлении 1 Ом, получаем прямое указание сколько тока здесь проходит, ибо E = IR (фактически сводится к E = I, т.к. R = 1 Ом).

Моделирование этой схемы в SPICE с анализом Фурье для напряжения, измеренного для RЛинейное, должно показать нам содержание гармоник в линейном токе этой схемы. С учётом данной схемы ток будет полностью линейным по своей природе, так что не ожидается никаких гармоник, кроме 1-й (фундаментальной) для частоты 60 Гц, если предположить, что частота источника равна 60 Гц.

linear load simulation
vsource 1 0 sin(0 120 60 0 0)
rsource 1 2 1
rline 2 3 1
rload 3 0 1k
.options itl5=0
.tran 0.5m 30m 0 1u
.plot tran v(2,3)
.four 60 v(2,3)
.end

Fourier components of transient response v(2,3) dc component = 4.028E-12

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 -72.000 0.000
2 1.200E+02 5.793E-12 0.000000 51.122 123.122
3 1.800E+02 7.407E-12 0.000000 -34.624 37.376
4 2.400E+02 9.056E-12 0.000000 4.267 76.267
5 3.000E+02 1.651E-11 0.000000 -83.461 -11.461
6 3.600E+02 3.931E-11 0.000000 36.399 108.399
7 4.200E+02 2.338E-11 0.000000 -41.343 30.657
8 4.800E+02 4.716E-11 0.000000 53.324 125.324
9 5.400E+02 3.453E-11 0.000000 21.691 93.691

total harmonic distortion = 0.000000 percent

Рис. 4. График в частотной области одночастотного компонента.

Команда .plot обычно приводит к выводу синусоидального графика. В этом случае, однако, для краткости я намеренно опустил отображение формы сигнала – команда .plot нужна просто для того, чтобы удовлетворить специфическим требованиям программы SPICE при вызове функции для преобразования Фурье.

Никакое дискретное преобразование Фурье не является идеальным, и поэтому мы видим очень маленькие гармонические токи (находящиеся в диапазоне пико-ампер!) для всех частот вплоть до 9-й гармоники (это видно в результирующей таблице), что соответствует возможностям SPICE при выполнении анализа Фурье.

Мы показываем 0,1198 ампер (1.198E-01) для «составляющей Фурье» 1-й гармоники или основной частоты, которая является нашим ожидаемым током нагрузки: около 120 мА, при напряжении источника 120 В и сопротивлении нагрузки 1 кОм.

Простое моделирование нелинейной однофазной системы переменного тока

Попробуем теперь смоделировать нелинейную нагрузку, чтобы сгенерировать гармонические токи. Это можно сделать двумя принципиально разными способами. Один способ – спроектировать нагрузку с использованием нелинейных компонентов, таких как диоды или другие полупроводниковые устройства, с помощью SPICE они легко моделируются. Другой способ – добавить несколько источников переменного тока параллельно нагрузочному резистору.

Инженеры часто предпочитают второй метод для моделирования гармоник, поскольку источники тока известного значения лучше подходят для математического анализа сети, чем компоненты с очень сложными характеристиками отклика.

Поскольку мы перекладываем на SPICE всю математическую работу, сложность полупроводникового компонента не вызовет для нас проблем, но, поскольку источники тока можно точно настроить для получения любой произвольной величины тока (функция для этого весьма удобна), мы пойдём по второму пути:

Рис. 5. Схема для SPICE: источник питания на 60 Гц, что приводит к возникновению 3-й гармоники.
Nonlinear load simulation
vsource 1 0 sin(0 120 60 0 0)
rsource 1 2 1
rline 2 3 1
rload 3 0 1k
i3har 3 0 sin(0 50m 180 0 0)
.options itl5=0
.tran 0.5m 30m 0 1u
.plot tran v(2,3)
.four 60 v(2,3)
.end

В этой схеме у нас есть источник тока величиной 50 мА и частотой 180 Гц, что в три раза превышает частоту источника 60 Гц. При подключении параллельно нагрузочному резистору 1 кОм его ток складывается с током резистора, создавая несинусоидальный общий линейный ток.

Приведу график волны напряжения, чтобы вы могли увидеть влияние тока третьей гармоники на общий ток, который обычно представляет собой простую синусоидальную волну.

Рис. 6. График SPICE во временно́й области, показывающий сложение частот 60 Гц источника питания и 180 Гц 3-й гармоники.

Fourier components of transient response v(2,3) dc component = 1.349E-11

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 -72.000 0.000
2 1.200E+02 1.609E-11 0.000000 67.570 139.570
3 1.800E+02 4.990E-02 0.416667 144.000 216.000
4 2.400E+02 1.074E-10 0.000000 -169.546 -97.546
5 3.000E+02 3.871E-11 0.000000 169.582 241.582
6 3.600E+02 5.736E-11 0.000000 140.845 212.845
7 4.200E+02 8.407E-11 0.000000 177.071 249.071
8 4.800E+02 1.329E-10 0.000000 156.772 228.772
9 5.400E+02 2.619E-10 0.000000 160.498 232.498

total harmonic distortion = 41.666663 percent

Рис. 7. График Фурье от SPICE, показывающий источник 60 Гц и 3-ю гармонику 180 Гц.

В этом анализе Фурье смешанные частоты представлены отдельно.

Здесь мы видим те же 0,1198 ампер тока 60 Гц (основная гармоника), что и в первом моделировании, но для 3-й гармоники мы видим 49,9 мА: при этом наш источник тока на 50 мА, 180 Гц. Почему только 49,9 а не все 50 мА?

Поскольку этот источник тока подключён к нагрузочному резистору 1 кОм, некоторые из его токов шунтируются (идут в обход) через нагрузку и не проходят обратно к источнику через линейный провод. Это неизбежное следствие моделирования такого типа, когда одна часть нагрузки является «нормальной» (резистор), а другая часть имитируется источником тока.

Моделирование нелинейной однофазной системы переменного тока с несколькими источниками тока

Если добавить больше источников тока к «нагрузке», то увидим дальнейшее искажение волны линейного тока, которая будет всё меньше напоминать идеальную синусоиду, и каждый из этих гармонических токов ломал бы анализ Фурье.

Рис. 8. Нелинейная нагрузка: присутствуют 1-я, 3-я, 5-я, 7-я и 9-я гармоники.
Nonlinear load simulation
vsource 1 0 sin(0 120 60 0 0)
rsource 1 2 1
rline 2 3 1
rload 3 0 1k
i3har 3 0 sin(0 50m 180 0 0)
i5har 3 0 sin(0 50m 300 0 0)
i7har 3 0 sin(0 50m 420 0 0)
i9har 3 0 sin(0 50m 540 0 0)
.options itl5=0
.tran 0.5m 30m 0 1u
.plot tran v(2,3)
.four 60 v(2,3)
.end

Fourier components of transient response v(2,3) dc component = 6.299E-11

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 -72.000 0.000
2 1.200E+02 1.900E-09 0.000000 -93.908 -21.908
3 1.800E+02 4.990E-02 0.416667 144.000 216.000
4 2.400E+02 5.469E-09 0.000000 -116.873 -44.873
5 3.000E+02 4.990E-02 0.416667 0.000 72.000
6 3.600E+02 6.271E-09 0.000000 85.062 157.062
7 4.200E+02 4.990E-02 0.416666 -144.000 -72.000
8 4.800E+02 2.742E-09 0.000000 -38.781 33.219
9 5.400E+02 4.990E-02 0.416666 72.000 144.000

total harmonic distortion = 83.333296 percent

Рис. 9. Как видно из анализа Фурье, каждый источник гармонического тока одинаково представлен в линейном токе, по 49,9 мА каждый. Пока это просто моделирование однофазной энергосистемы.

Моделирование трёхфазной системы переменного тока

Все становится интереснее в трёхфазном моделировании. Будут выполнены два анализа Фурье: один для напряжения на линейном резисторе, а второй – для напряжения на нейтральном резисторе.

Как и прежде, считывание напряжений на фиксированных сопротивлениях в 1 Ом каждое даёт прямые показания тока, протекающего через эти резисторы (из-за того, что соответствующие R = 1 Ом).

Рис. 10. Схема для SPICE: анализ «линейного тока» и «нейтрального тока», 4-проводная YY-система (и система источников питания и нагрузка с гармониками соединены в Y-конфигурации).
Y-Y source/load 4-wire system with harmonics
*
* фаза 1 напряжение и сопротивление источника питания (120 В /_ 0 градусов)
vsource1 1 0 sin(0 120 60 0 0)
rsource1 1 2 1
*
* фаза 2 напряжение и сопротивление источника питания (120 В /_ 120 градусов)
vsource2 3 0 sin(0 120 60 5.55555m 0)
rsource2 3 4 1
*
* фаза 3 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 240 градусов)
vsource3 5 0 sin(0 120 60 11.1111m 0)
rsource3 5 6 1
*
* сопротивления линейных и нейтрального проводов
rline1 2 8 1
rline2 4 9 1
rline3 6 10 1
rneutral 0 7 1
*
* фаза 1 нагрузки
rload1 8 7 1k
i3har1 8 7 sin(0 50m 180 0 0)
i5har1 8 7 sin(0 50m 300 0 0)
i7har1 8 7 sin(0 50m 420 0 0)
i9har1 8 7 sin(0 50m 540 0 0)
*
* фаза 2 нагрузки
rload2 9 7 1k
i3har2 9 7 sin(0 50m 180 5.55555m 0)
i5har2 9 7 sin(0 50m 300 5.55555m 0)
i7har2 9 7 sin(0 50m 420 5.55555m 0)
i9har2 9 7 sin(0 50m 540 5.55555m 0)
*
* фаза 3 нагрузки
rload3 10 7 1k
i3har3 10 7 sin(0 50m 180 11.1111m 0)
i5har3 10 7 sin(0 50m 300 11.1111m 0)
i7har3 10 7 sin(0 50m 420 11.1111m 0)
i9har3 10 7 sin(0 50m 540 11.1111m 0)
*
* Результаты анализа
.options itl5=0
.tran 0.5m 100m 12m 1u
.plot tran v(2,8)
.four 60 v(2,8)
.plot tran v(0,7)
.four 60 v(0,7)
.end

Анализ Фурье линейного тока:

Fourier components of transient response v(2,8) dc component = -6.404E-12

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 0.000 0.000
2 1.200E+02 2.218E-10 0.000000 172.985 172.985
3 1.800E+02 4.975E-02 0.415423 0.000 0.000
4 2.400E+02 4.236E-10 0.000000 166.990 166.990
5 3.000E+02 4.990E-02 0.416667 0.000 0.000
6 3.600E+02 1.877E-10 0.000000 -147.146 -147.146
7 4.200E+02 4.990E-02 0.416666 0.000 0.000
8 4.800E+02 2.784E-10 0.000000 -148.811 -148.811
9 5.400E+02 4.975E-02 0.415422 0.000 0.000

total harmonic distortion = 83.209009 percent

Рис. 11. Анализ Фурье линейного тока в сбалансированной YY-системе.

Анализ Фурье нейтрального тока:

Fourier components of transient response v(0,7) dc component = 1.819E-10

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 4.337E-07 1.000000 60.018 0.000
2 1.200E+02 1.869E-10 0.000431 91.206 31.188
3 1.800E+02 1.493E-01 344147.7638 -180.000 -240.018
4 2.400E+02 1.257E-09 0.002898 -21.103 -81.121
5 3.000E+02 9.023E-07 2.080596 119.981 59.963
6 3.600E+02 3.396E-10 0.000783 15.882 -44.136
7 4.200E+02 1.264E-06 2.913955 59.993 -0.025
8 4.800E+02 5.975E-10 0.001378 35.584 -24.434
9 5.400E+02 1.493E-01 344147.4889 -179.999 -240.017
Рис. 12. Анализ Фурье нейтрального тока не показывает никаких гармоник! Сравните с анализом Фурье линейного тока из предыдущего примера.

Это сбалансированная система питания YY, каждая фаза которой идентична однофазной системе переменного тока, смоделированной ранее. Следовательно, неудивительно, что анализ Фурье для линейного тока в одной фазе трёхфазной системы почти идентичен анализу Фурье для линейного тока в однофазной системе, где основной (60 Гц) линейный ток 0,1198 ампер и токи нечётных гармоник примерно 50 мА каждый.

Что здесь удивительно, так это анализ тока нейтрального проводника, который определяется падением напряжения на RНейтральный между узлами 0 и 7 в схеме для SPICE. В сбалансированной трёхфазной нагрузке Y-схемы мы ожидаем нулевой ток в нейтральном проводе. Все фазные токи – которые сами по себе проходят через нейтральный провод обратно к фазе питания на источнике Y – должны нейтрализовать друг друга по отношению к нейтральному проводнику, потому что все они одинаковой величины и все смещены на 120° относительно друг друга.

В системе без гармонических токов именно так и происходит: нулевой ток через нейтральный провод.

Эффекты гармонических токов в системе

Однако нельзя сказать то же самое, если в той же системе будут присутствовать гармонические токи.

Обратите внимание, что ток основной частоты (60 Гц или 1-я гармоника) практически отсутствует в нейтральном проводе. Наш анализ Фурье показывает только 0,4337 мкА первой гармоники при считывании напряжения на RНейтральный. То же самое можно сказать о 5-й и 7-й гармониках, причём оба этих тока имеют незначительную величину.

Напротив, 3-я и 9-я гармоники сильно представлены в нейтральном проводе, по 149,3 мА (1,493E-01 вольт на 1 Ом) каждая! Это почти 150 мА, или в три раза больше значений источников тока по отдельности.

С тремя источниками на каждую гармоническую частоту в нагрузке, кажется, что наши токи 3-й и 9-й гармоник в каждой фазе складываются, образуя ток в нейтральном проводе.

Анализ графиков во временно́й области

Это именно то, что происходит, хотя, возможно, это кому-то покажется неочевидным.

Ключ к пониманию явствует из графика фазовых токов во временно́й области. Взгляните на этот график сбалансированных фазных токов во времени с последовательностью фаз 1-2-3:

Рис. 13. Последовательность фаз 1-2-3-1-2-3-1-2-3 равноотстоящих друг от друга волн.

На примере этих трёх основных волн, одинаково смещённых по временно́й оси графика, легко увидеть, как они компенсируют друг друга, давая результирующий нулевой ток в нейтральном проводнике. Однако давайте рассмотрим, как будет выглядеть волна 3-й гармоники для фазы 1, наложенной на график:

Рис. 14. Волна 3-й гармоники для фазы 1 наложена на волны трёхфазной основной частоты.

Обратите внимание на то, что эта гармоническая волна имеет такое же фазовое соотношение со 2-й и 3-ей основными волнами, как и с 1-й: в каждом положительном полупериоде любой из основных волн вы найдёте ровно два положительных полупериода и одну отрицательную половину – таков цикл гармонической волны.

Это означает, что волны 3-й гармоники всех трёх сигналов основной частоты с фазовым сдвигом на 120° фактически находятся в фазе и друг с другом. Значение фазового сдвига 120°, обычно принимаемое в трёхфазных системах переменного тока, применяется только к основным частотам, а не к их гармоническим кратным!

Если бы мы для трёх основных волн изобразили все их три третьи гармоники на одном графике, то увидели, что они точно накладываются друг на друга и выглядели бы как единая унифицированная волна (на графике выделена жирной чёрной линией):

Рис. 15. Третьи гармоники для фаз 1, 2, 3 все совпадают при наложении на основные формы трёхфазных сигналов.

Математический анализ графика во временно́й области

Для тех, кто предпочитает язык математики этот принцип можно выразить символически. Предположим, что A представляет один сигнал, а B – другой, оба имеют одинаковую частоту, но сдвинуты по фазе на 120° относительно друг от друга. Назовем 3-ю гармонику каждого сигнала A' и B' соответственно.

Фазовый сдвиг между A' и B' не равен 120° (то есть не равен сдвигу фаз между А и В). Однако, чтобы выяснить эти фазовые сдвиги, нужно в 3 раза увеличить фазовые сдвиги соответствующих родительских волн. На графике видно, что волны A' и B' в три раза быстрее, чем A и B. Сдвиг между волнами точно выражается в терминах фазового угла только в том случае, если предполагается одинаковая угловая скорость.

При связывании сигналов с разной частотой наиболее точный способ представления фазового сдвига – это время; а временно́й сдвиг между A' и B' эквивалентен 120° при частоте в три раза меньшей или 360° при частоте A' и B'. Фазовый сдвиг на 360° совпадает с фазовым сдвигом на 0°, то есть без фазового сдвига вообще.

Таким образом, A' и B' должны находиться в фазе друг с другом:

Рис. 16. Последовательность фаз A, B и C.

Эта характеристика 3-й гармоники в трёхфазной системе также справедлива для любых целых кратных 3-й гармоники.

Таким образом, не только все третьи гармоники всех основных волн находятся в фазе друг с другом, но также это касается всех шестых гармоник всех основных волн (потому что 6 кратно трём), всех девятых гармоник всех основных волн (потому что 9 кратно трём), всех 12-х гармоник, всех 15-х гармоник, всех 18-х гармоник, всех 21-х гармоник и так далее.

Поскольку только нечётные гармоники появляются в системах, в которых искажение волны симметрично относительно центральной средней оси, а большинство нелинейных нагрузок создают симметричное искажение, чётные кратные 3-й гармоники (гармоники 6-я, 12-я, 18-я и прочие кратные трём) вносят значительный вклад в ток нейтрального провода.

В многофазных энергосистемах с другим количеством фаз, отличным от трёх, этот эффект возникает с гармониками того же кратного числа. При этом фазовый сдвиг вычисляется как 360° делённое на количество фаз. Например, гармонические токи, которые добавляются в нейтральный провод 4-фазной «звездообразной» системы, имеют фазовый сдвиг между основными формами волны 90° (= 360°/4), и имеют порядковые гармонические номера 4, 8, 12, 16, 20 и т. д. (потому что все эти числа кратны четырём).

Тройные гармоники

Из-за распространённости и значимости в трёхфазных энергосистемах 3-я гармоника и её кратные имеют собственное особое название: тройные гармоники.

Все тройные гармоники складываются друг с другом в нейтральном проводе 4-проводной нагрузки с Y-соединением. В энергосистемах со значительной нелинейной нагрузкой тройные гармонические токи могут быть достаточно большими, чтобы вызвать перегрев нейтральных проводников.

Это большая проблема, поскольку по другим соображениям безопасности нейтральным проводникам нельзя иметь максимальную токовую защиту, и поэтому нет никаких условий для автоматического отключения системы в случае возникновения сверхтоков в нейтральном проводнике.

Анализ влияния тройных гармоник в цепи YY

На следующем рисунке показано, как тройные гармонические токи, создаваемые нагрузкой, складываются в нейтральном проводнике. Символ «ω» используется для обозначения угловой скорости и математически эквивалентен 2πf. Таким образом, «ω» представляет основную частоту, «3ω» представляет 3-ю гармонику, «5ω» представляет 5-ю гармонику и так далее:

Рис. 17. «YY»: гармонические токи складываются в нейтральном проводе.

Из-за этих нежелательных дополнительных тройных (т.е. создаваемых тройными гармониками) токов возникает соблазн вообще отказаться от нейтрального провода. Если нет нейтрального провода, в котором могут протекать тройные токи, то тогда и тройных токов не будет, ведь так?

К сожалению, это вызывает другую проблему: центральная точка нагрузки Y-конфигурации больше не будет иметь тот же потенциал, что и источник питания, а это означает, что каждая фаза нагрузки будет получать напряжение, отличное от того, которое вырабатывается источником питания.

Давайте повторно запустим предыдущую симуляцию SPICE, только без RНейтральный = 1 Ом и посмотрим, что произойдёт:

Y-Y source/load (no neutral) with harmonics
*
* фаза 1 напряжение и сопротивление источника питания (120 v / 0 градусов)
vsource1 1 0 sin(0 120 60 0 0)
rsource1 1 2 1
*
* фаза 2 напряжение и сопротивление источника питания (120 v / 120 градусов)
vsource2 3 0 sin(0 120 60 5.55555m 0)
rsource2 3 4 1
*
* фаза 3 напряжение и сопротивление источника питания (120 v / 240 градусов)
vsource3 5 0 sin(0 120 60 11.1111m 0)
rsource3 5 6 1
*
* сопротивления линейных проводов
rline1 2 8 1
rline2 4 9 1
rline3 6 10 1
*
* фаза 1 нагрузки
rload1 8 7 1k
i3har1 8 7 sin(0 50m 180 0 0)
i5har1 8 7 sin(0 50m 300 0 0)
i7har1 8 7 sin(0 50m 420 0 0)
i9har1 8 7 sin(0 50m 540 0 0)
*
* фаза 2 нагрузки
rload2 9 7 1k
i3har2 9 7 sin(0 50m 180 5.55555m 0)
i5har2 9 7 sin(0 50m 300 5.55555m 0)
i7har2 9 7 sin(0 50m 420 5.55555m 0)
i9har2 9 7 sin(0 50m 540 5.55555m 0)
*
* фаза 3 нагрузки
rload3 10 7 1k
i3har3 10 7 sin(0 50m 180 11.1111m 0)
i5har3 10 7 sin(0 50m 300 11.1111m 0)
i7har3 10 7 sin(0 50m 420 11.1111m 0)
i9har3 10 7 sin(0 50m 540 11.1111m 0)
*
* результаты анализа
.options itl5=0
.tran 0.5m 100m 12m 1u
.plot tran v(2,8)
.four 60 v(2,8)
.plot tran v(0,7)
.four 60 v(0,7)
.plot tran v(8,7)
.four 60 v(8,7)
.end

Анализ Фурье линейного тока:

Fourier components of transient response v(2,8) dc component = 5.423E-11

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 0.000 0.000
2 1.200E+02 2.388E-10 0.000000 158.016 158.016
3 1.800E+02 3.136E-07 0.000003 -90.009 -90.009
4 2.400E+02 5.963E-11 0.000000 -111.510 -111.510
5 3.000E+02 4.990E-02 0.416665 0.000 0.000
6 3.600E+02 8.606E-11 0.000000 -124.565 -124.565
7 4.200E+02 4.990E-02 0.416668 0.000 0.000
8 4.800E+02 8.126E-11 0.000000 -159.638 -159.638
9 5.400E+02 9.406E-07 0.000008 -90.005 -90.005

total harmonic distortion = 58.925539 percent

Анализ Фурье для напряжения между двумя центральными точками «Y»:

Fourier components of transient response v(0,7) dc component = 6.093E-08

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.453E-04 1.000000 60.018 0.000
2 1.200E+02 6.263E-08 0.000431 91.206 31.188
3 1.800E+02 5.000E+01 344147.7879 -180.000 -240.018
4 2.400E+02 4.210E-07 0.002898 -21.103 -81.121
5 3.000E+02 3.023E-04 2.080596 119.981 59.963
6 3.600E+02 1.138E-07 0.000783 15.882 -44.136
7 4.200E+02 4.234E-04 2.913955 59.993 -0.025
8 4.800E+02 2.001E-07 0.001378 35.584 -24.434
9 5.400E+02 5.000E+01 344147.4728 -179.999 -240.017

total harmonic distortion = ************ percent

Анализ Фурье для напряжения фазы нагрузки:

Fourier components of transient response v(8,7) dc component = 6.070E-08

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E+02 1.000000 0.000 0.000
2 1.200E+02 6.231E-08 0.000000 90.473 90.473
3 1.800E+02 5.000E+01 0.417500 -180.000 -180.000
4 2.400E+02 4.278E-07 0.000000 -19.747 -19.747
5 3.000E+02 9.995E-02 0.000835 179.850 179.850
6 3.600E+02 1.023E-07 0.000000 13.485 13.485
7 4.200E+02 9.959E-02 0.000832 179.790 179.789
8 4.800E+02 1.991E-07 0.000000 35.462 35.462
9 5.400E+02 5.000E+01 0.417499 -179.999 -179.999

total harmonic distortion = 59.043467 percent

Действительно, происходят что-то странное.

Во-первых, мы видим, что тройные гармонические токи (3-я и 9-я) почти исчезают в линейных проводах, соединяющих нагрузку с соответствующим источником. Токи 5-й и 7-й гармоник присутствуют на своих нормальных уровнях (приблизительно 50 мА), но токи 3-й и 9-й гармоник имеют незначительную величину.

Во-вторых, мы видим, что существует значительная гармоническая составляющая напряжения между двумя центральными точками Y-конфигурации, между которыми используется нейтральный проводник. Согласно SPICE, между этими двумя точками 50 вольт частоты как 3-й, так и 9-й гармоник, что определённо ненормально для линейной (без гармоник) сбалансированной Y-системы.

Наконец, напряжение, измеренное на одной из фаз нагрузки (между узлами 8 и 7 в схеме для анализа SPICE), также показывает сильные тройные гармонические напряжения по 50 вольт каждая.

На рисунке ниже графически представлены вышеупомянутые эффекты.

Рис. 18. Трёхпроводная система «YY» (без нейтрального провода): между центрами Y-конфигурации появляются тройные (гармонические) напряжения. На фазах нагрузки появляются тройные (гармонические) напряжения. А вот в линейных проводниках тройные (гармонические) токи не возникают.

Таким образом, удаление нейтрального провода приводит к «горячей» центральной точке нагрузки Y-конфигурации, а также к гармоническим фазовым напряжениям нагрузки равной величины, состоящим из тройных (гармонических) частот.

В предыдущем моделировании, где у нас была 4-проводная система с Y-соединением, нежелательным эффектом от гармоник был чрезмерный ток в нейтральном проводе, но по крайней мере каждая фаза нагрузки получала напряжение, почти не содержащее гармоник.

Анализ влияния тройных гармоник в схеме Δ-Y

Поскольку удаление нейтрального провода, похоже, не устранило проблемы, вызванные гармониками, возможно, переключение на конфигурацию Δ сработает? Давайте попробуем для источника схему Δ вместо Y, сохраняя нагрузку в её нынешней Y-конфигурации, и посмотрим, что произойдёт.

Измеряемыми параметрами будут линейный ток (напряжение на RЛинейный, узлы 0 и 8), напряжение фазы нагрузки (узлы 8 и 7) и ток фазы источника (напряжение на RИсточник, узлы 1 и 2).

Рис. 19. Источник/нагрузка в системе «дельта-звезда» с гармониками.
Delta-Y source/load with harmonics
*
* фаза 1 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 0 градусов)
vsource1 1 0 sin(0 207.846 60 0 0)
rsource1 1 2 1
*
* фаза 2 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 120 градусов)
vsource2 3 2 sin(0 207.846 60 5.55555m 0)
rsource2 3 4 1
*
* фаза 3 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 240 градусов)
vsource3 5 4 sin(0 207.846 60 11.1111m 0)
rsource3 5 0 1
*
* сопротивления линейных проводов
rline1 0 8 1
rline2 2 9 1
rline3 4 10 1
*
* фаза 1 нагрузки
rload1 8 7 1k
i3har1 8 7 sin(0 50m 180 9.72222m 0)
i5har1 8 7 sin(0 50m 300 9.72222m 0)
i7har1 8 7 sin(0 50m 420 9.72222m 0)
i9har1 8 7 sin(0 50m 540 9.72222m 0)
*
* фаза 2 нагрузки
rload2 9 7 1k
i3har2 9 7 sin(0 50m 180 15.2777m 0)
i5har2 9 7 sin(0 50m 300 15.2777m 0)
i7har2 9 7 sin(0 50m 420 15.2777m 0)
i9har2 9 7 sin(0 50m 540 15.2777m 0)
*
* фаза 3 нагрузки
rload3 10 7 1k
i3har3 10 7 sin(0 50m 180 4.16666m 0)
i5har3 10 7 sin(0 50m 300 4.16666m 0)
i7har3 10 7 sin(0 50m 420 4.16666m 0)
i9har3 10 7 sin(0 50m 540 4.16666m 0)
*
* результаты анализа
.options itl5=0
.tran 0.5m 100m 16m 1u
.plot tran v(0,8) v(8,7) v(1,2)
.four 60 v(0,8) v(8,7) v(1,2)
.end

20px-OOjs UI icon lightbulb-yellow.svg.pngПримечание: следующий абзац предназначен для тех любопытствующих, что отслеживают все детали в листингах моих программ для SPICE. Если вы просто хотите узнать, что же происходит в цепи, то несколько абзацев пояснительного текста к программе можете смело пропустить!

Если в моделируемой цепи есть источники питания переменного тока разной частоты и разной фазы, единственный способ задать это в программе SPICE – настроить источники питания с временем задержки или сдвигом фазы, указанным в секундах. Таким образом, источник 0° имеет пять определяющих цифр: «(0 207,846 60 0 0)», что означает «смещение 0 вольт постоянного тока, пиковая амплитуда 207,846 вольт (120 умноженное на квадратный корень из трёх, чтобы гарантировать, что напряжения фазы нагрузки остаются на уровне 120 В каждый), 60 Гц, 0 задержки времени и 0 коэффициента демпфирования.

Источник с фазовым сдвигом на 120° имеет следующие значения: «(0 207,846 60 5,55555m 0)», всё то же самое, что и для первого, за исключением фактора временно́й задержки 5,55555 миллисекунд, или 1/3 от полного периода 16,6667 миллисекунд для волны с частотой 60 Гц.

Источник 240° должен иметь временну́ю задержку вдвое больше, что эквивалентно доле 240/360 от 16,6667 миллисекунд, что составляет 11,1111 миллисекунд.

Это для источника, с Δ-схемой соединения. С другой стороны, нагрузка, соединённая по схеме Y, требует другого набора значений задержки времени для источников гармонического тока, поскольку фазные напряжения в нагрузке Y не совпадают по фазе с фазными напряжениями источника Δ.

Если напряжения источника Δ VAC, VBA и VCB относятся к 0°, 120° и 240°, соответственно, то напряжения нагрузки «Y» VA, VB и VC будут иметь фазовые углы -30°, 90° и 210° соответственно.

Это универсальное свойство всех схем Δ-Y, а не прихоть программы SPICE. Поэтому, когда я указал время задержки для источников гармоник, мне пришлось установить их на 15,2777 миллисекунды (-30° или + 330°), 4,16666 миллисекунды (90°) и 9,72222 миллисекунды (210°).

И последнее замечание: при задержке источников переменного тока в SPICE они не «включаются», пока не истечёт время их задержки, что означает, что любой математический анализ до этого момента времени будет ошибочным. С учётом этого, я настроил в строке анализа переходных процессов .tran таким образом, чтобы анализ совершался с задержкой до 16 миллисекунд после запуска, что даёт всем источникам в списке соединений время для включения до того, как будет произведён какой-либо анализ.

Результат этого анализа почти так же неутешителен, как и предыдущий (см. рисунок ниже). Линейные токи остаются неизменными (единственной существенной составляющей гармоник являются 5-я и 7-я гармоники), и напряжения фазы нагрузки также остаются неизменными, с полными 50 вольтами тройных гармоник (3-я и 9-я) частот на каждом компоненте нагрузки.

Фазовый ток источника является частью линейного тока, что неудивительно. Здесь представлены как 5-я, так и 7-я гармоники, с незначительными тройными гармониками:

Анализ Фурье линейного тока:

Fourier components of transient response v(0,8) dc component = -6.850E-11

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 150.000 0.000
2 1.200E+02 2.491E-11 0.000000 159.723 9.722
3 1.800E+02 1.506E-06 0.000013 0.005 -149.996
4 2.400E+02 2.033E-11 0.000000 52.772 -97.228
5 3.000E+02 4.994E-02 0.416682 30.002 -119.998
6 3.600E+02 1.234E-11 0.000000 57.802 -92.198
7 4.200E+02 4.993E-02 0.416644 -29.998 -179.998
8 4.800E+02 8.024E-11 0.000000 -174.200 -324.200
9 5.400E+02 4.518E-06 0.000038 -179.995 -329.995

total harmonic distortion = 58.925038 percent

Анализ Фурье напряжения фазы нагрузки:

Fourier components of transient response v(8,7) dc component = 1.259E-08

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.198E+02 1.000000 150.000 0.000
2 1.200E+02 1.941E-07 0.000000 49.693 -100.307
3 1.800E+02 5.000E+01 0.417222 -89.998 -239.998
4 2.400E+02 1.519E-07 0.000000 66.397 -83.603
5 3.000E+02 6.466E-02 0.000540 -151.112 -301.112
6 3.600E+02 2.433E-07 0.000000 68.162 -81.838
7 4.200E+02 6.931E-02 0.000578 148.548 -1.453
8 4.800E+02 2.398E-07 0.000000 -174.897 -324.897
9 5.400E+02 5.000E+01 0.417221 90.006 -59.995

total harmonic distortion = 59.004109 percent

Анализ Фурье фазного тока источника: Fourier components of transient response v(1,2) dc component = 3.564E-11

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 6.906E-02 1.000000 -0.181 0.000
2 1.200E+02 1.525E-11 0.000000 -156.674 -156.493
3 1.800E+02 1.422E-06 0.000021 -179.996 -179.815
4 2.400E+02 2.949E-11 0.000000 -110.570 -110.390
5 3.000E+02 2.883E-02 0.417440 -179.996 -179.815
6 3.600E+02 2.324E-11 0.000000 -91.926 -91.745
7 4.200E+02 2.883E-02 0.417398 -179.994 -179.813
8 4.800E+02 4.140E-11 0.000000 -39.875 -39.694
9 5.400E+02 4.267E-06 0.000062 0.006 0.186

total harmonic distortion = 59.031969 percent

Рис. 20. Источник/нагрузка в системе «Δ-Y»: в фазах нагрузки появляются тройные (гармонические) напряжения. В линейных проводниках и в фазных обмотках источника тройные (гармонические) токи не возникают.

На самом деле, единственное преимущество конфигурации Δ-Y с точки зрения гармоник состоит в том, что больше нет центральной точки на нагрузке, представляющей опасность поражения электрическим током. В противном случае компоненты нагрузки получают такие же богатые гармониками напряжения, а линии имеют те же токи, что и в трёхпроводной Y-системе.

Анализ влияния тройных гармоник в схеме Δ-Δ

Если переконфигурировать систему в схему Δ-Δ (как на рисунке ниже), это гарантирует, что каждый компонент нагрузки получает негармоническое напряжение, поскольку каждая фаза нагрузки напрямую подключена параллельно каждой фазе источника.

Полное отсутствие каких-либо нейтральных проводов или «центральных точек» в системе Δ-Δ предотвращает возникновение странных напряжений или дополнительных токов. Казалось бы, вот оно – идеальное решение. Давайте смоделируем и понаблюдаем, анализируя линейный ток, напряжение фазы нагрузки и ток фазы источника:

Рис. 21. Источник/нагрузка по схеме Δ-Δ с гармониками.
Delta-Delta source/load with harmonics
*
* фаза 1 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 0 градусов)
vsource1 1 0 sin(0 120 60 0 0)
rsource1 1 2 1
*
* фаза 2 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 120 градусов)
vsource2 3 2 sin(0 120 60 5.55555m 0)
rsource2 3 4 1
*
* фаза 3 напряжение и сопротивление источника питания (120 v /_ 240 градусов)
vsource3 5 4 sin(0 120 60 11.1111m 0)
rsource3 5 0 1
*
* сопротивления линейных проводов
rline1 0 6 1
rline2 2 7 1
rline3 4 8 1
*
* фаза 1 нагрузки
rload1 7 6 1k
i3har1 7 6 sin(0 50m 180 0 0)
i5har1 7 6 sin(0 50m 300 0 0)
i7har1 7 6 sin(0 50m 420 0 0)
i9har1 7 6 sin(0 50m 540 0 0)
*
* фаза 2 нагрузки
rload2 8 7 1k
i3har2 8 7 sin(0 50m 180 5.55555m 0)
i5har2 8 7 sin(0 50m 300 5.55555m 0)
i7har2 8 7 sin(0 50m 420 5.55555m 0)
i9har2 8 7 sin(0 50m 540 5.55555m 0)
*
* фаза 3 нагрузки
rload3 6 8 1k
i3har3 6 8 sin(0 50m 180 11.1111m 0)
i5har3 6 8 sin(0 50m 300 11.1111m 0)
i7har3 6 8 sin(0 50m 420 11.1111m 0)
i9har3 6 8 sin(0 50m 540 11.1111m 0)
*
* результаты анализа
.options itl5=0
.tran 0.5m 100m 16m 1u
.plot tran v(0,6) v(7,6) v(2,1) i(3har1)
.four 60 v(0,6) v(7,6) v(2,1)
.end

Анализ Фурье линейного тока:

Fourier components of transient response v(0,6) dc component = -6.007E-11

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 2.070E-01 1.000000 150.000 0.000
2 1.200E+02 5.480E-11 0.000000 156.666 6.666
3 1.800E+02 6.257E-07 0.000003 89.990 -60.010
4 2.400E+02 4.911E-11 0.000000 8.187 -141.813
5 3.000E+02 8.626E-02 0.416664 -149.999 -300.000
6 3.600E+02 1.089E-10 0.000000 -31.997 -181.997
7 4.200E+02 8.626E-02 0.416669 150.001 0.001
8 4.800E+02 1.578E-10 0.000000 -63.940 -213.940
9 5.400E+02 1.877E-06 0.000009 89.987 -60.013

total harmonic distortion = 58.925538 percent

Анализ Фурье напряжения фазы нагрузки:

Fourier components of transient response v(7,6) dc component = -5.680E-10

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.195E+02 1.000000 0.000 0.000
2 1.200E+02 1.039E-09 0.000000 144.749 144.749
3 1.800E+02 1.251E-06 0.000000 89.974 89.974
4 2.400E+02 4.215E-10 0.000000 36.127 36.127
5 3.000E+02 1.992E-01 0.001667 -180.000 -180.000
6 3.600E+02 2.499E-09 0.000000 -4.760 -4.760
7 4.200E+02 1.992E-01 0.001667 -180.000 -180.000
8 4.800E+02 2.951E-09 0.000000 -151.385 -151.385
9 5.400E+02 3.752E-06 0.000000 89.905 89.905

total harmonic distortion = 0.235702 percent

Анализ Фурье фазного тока источника:

Fourier components of transient response v(2,1) dc component = -1.923E-12

harmonic
no
frequency
(hz)
Fourier
component
normalized
component
phase
(deg)
normalized
phase (deg)
1 6.000E+01 1.194E-01 1.000000 179.940 0.000
2 1.200E+02 2.569E-11 0.000000 133.491 -46.449
3 1.800E+02 3.129E-07 0.000003 89.985 -89.955
4 2.400E+02 2.657E-11 0.000000 23.368 -156.571
5 3.000E+02 4.980E-02 0.416918 -180.000 -359.939
6 3.600E+02 4.595E-11 0.000000 -22.475 -202.415
7 4.200E+02 4.980E-02 0.416921 -180.000 -359.939
8 4.800E+02 7.385E-11 0.000000 -63.759 -243.699
9 5.400E+02 9.385E-07 0.000008 89.991 -89.949

total harmonic distortion = 58.961298 percent

Как предсказывалось ранее, напряжение фазы нагрузки представляет собой почти чистую синусоиду с незначительным содержанием гармоник благодаря прямому соединению с фазами источника в системе Δ-Δ.

Но что случилось с тройными гармониками? Часто́ты 3-й и 9-й гармоник не проявляются в значительном количестве ни в линейном токе, ни в фазном напряжении нагрузки, ни в фазном токе источника! Мы знаем, что тройные (гармонические) токи должны быть, потому что источники тока 3-й и 9-й гармоник намеренно размещены в фазах нагрузки, но куда эти токи ушли?

Анализ влияния тройных гармоник в схеме Δ-Δ

Помните, что тройные гармоники основных частот, сдвинутых по фазе на 120°, находятся в фазе друг с другом.

Обратите внимание на направления, в которых указывают стрелки источников тока в фазах нагрузки, и подумайте, что произошло бы, если бы источники 3-й и 9-й гармоник были источниками постоянного тока.

То, что у нас было бы, сейчас циркулирует в контуре, образованном Δ-соединёнными фазами. Вот туда и ушли тройные гармонические токи: они остаются в пределах Δ-нагрузки, никогда не доходя до линейных проводников или обмоток источника.

Это можно изобразить графически:

Рис. 22. Источник/нагрузка в Δ-Δ-схеме: фазы нагрузки получают неискаженные синусоидальные напряжения. Тройные гармонические токи циркулируют только в фазах нагрузки. Возникающие в линейных проводниках и в обмотках фаз источника питания токи не являются тройными гармоническими.

Это главное преимущество конфигурации системы Δ-Δ: тройные гармонические токи остаются ограниченными в любом наборе компонентов, которые их создают, и не «распространяются» на другие части системы.

Итог

  • Нелинейные компоненты – это те, у которых несинусоидальная волна тока при возбуждении синусоидальным напряжением. Поскольку любое искажение изначально чистой синусоидальной волны составляет гармонические частоты, можно утверждать, что нелинейные компоненты генерируют гармонические токи.
  • Когда синусоидальные искажения симметричны выше и ниже относительно средней центральной линии волны, гармоники будут иметь только нечётные, а не чётные номера.
  • Третья гармоника и ее целые кратные (6-я, 9-я, 12-я, 15-я) известны как тройные гармоники. Они находятся в фазе друг с другом, несмотря на то, что их соответствующие основные сигналы сдвинуты по фазе на 120° друг с другом.
  • В 4-проводной YY-системе в нейтральном проводе возникают тройные гармонические токи.
  • Тройные гармонические токи в Δ-связном наборе компонентов циркулируют в контуре, образованном Δ.

См.также

Внешние ссылки