Электроника:Переменный ток/Реактанс и импеданс – R/L/C-цепи/Последовательно-параллельные R/L/C-цепи

Поддержать проект

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Последовательно-параллельные R/L/C-цепи

Теперь, когда мы увидели, что анализ последовательной и параллельной цепей для переменного тока принципиально не отличается от анализа для постоянного тока, немудрено, что анализ последовательно-параллельный цепи будет аналогичным, просто для напряжения, тока и сопротивления (импеданса) вместо скалярных величин используются комплексные. Рассмотрим это на примере такой последовательно-параллельной схемы с резистором, катушкой индуктивности и двумя конденсаторами:

Рис. 1. Пример последовательно-параллельной схемы с R, L и C компонентами.

Первым делом, как водится, определяем значения импеданса (Z) для всех компонентов на основе частоты источника питания переменного тока. Для этого сначала выясняем значения реактивного сопротивления (X) для всех катушек индуктивности и конденсаторов, а затем преобразовываем значения реактивного сопротивления (X) и обычного сопротивления (R) в надлежащую форму импеданса (Z):

Рис. 2. Определяем сопротивление для резистора, а также реактансы для реактивных компонентов.

Рис. 3. Собственные импедансы элементов в алгебраической и полярной форме.

Теперь в нашу таблицу можно ввести начальные данные:

Рис.4. Начальные значения в таблице – импедансы компонентов и общее напряжение.

Поскольку это комбинированная последовательно-параллельная схема, за один шаг свести к полному сопротивлению не получится (а в данном случае таких шагов будет три). Первым шагом объединяем L и C2 как последовательную комбинацию импедансов, сложив их вместе.

На втором шаге этот объединённый импеданс объединяем с импедансом параллельного резистора, чтобы получить более общую комбинацию импедансов, включающую компоненты L, C2 и R. На заключительном третьем шаге, к этой величине добавляем импеданс C1, и тогда получаем самый общий импеданс.

Чтобы это выполнить в таблице, в ней требуются дополнительные столбцы для каждого шага.

Добавление дополнительных колонок непрактично из соображений форматирования, поэтому просто вынесем эти расчёты объединённых импедансов в отдельную таблицу, где каждый столбец соответствует комбинации объединяемых компонентов на каждом шаге:

Рис. 5. Объединение импедансов элементов проведём в три шага и оформим в отдельной таблице.

Расчёт этих новых (комбинированных) импедансов потребует непростого сложения для последовательных комбинаций элементов и «обратной» формулы для нахождения импеданса параллельных комбинаций элементов. Увы и ах, от использования «обратной» формулы не отвертеться: требуемые цифры другим путём не получить!

Рис. 6. Вычисляем объединённые импедансы, сначала в первой колонке, потом во второй, потом в третьей. На втором шаге будет особенно несладко, так как там «обратная» формула!

Поскольку наша вторая таблица содержит столбец «Всего» (он соответствует столбцу для третьей самой объединительной комбинации всех элементов), то для упрощения мы можем спокойно исключить столбец «Всего» из первой таблицы (если бы не исключали, то столбцы «Всего» в обеих таблицах были бы идентичны). В результате у нас первая таблица имеет четыре столбца (было сначала пять, но на одном мы, получается, сэкономили) и вторая таблица имеет три столбца.

Ну что ж, мы знаем общий импеданс (818,34 Ом ∠ -58,371°) и полное напряжение (120 В ∠ ±0°). Применяем закон Ома (I = E/Z) по вертикали в столбце «Всего», чтобы получить общую силу тока:

Рис. 7. По закону Ома находим общую силу тока, зная общее напряжение и общий импеданс.

Здесь задаёмся вопросом: существуют ли какие-либо компоненты или комбинации компонентов, которые делят либо общее напряжение, либо общий ток? В данном случае и C1, и параллельная этому элементу комбинация R//(L–C2) имеют одинаковый (общий) ток, поскольку полный импеданс состоит из двух последовательно соединенных наборов импедансов.

Таким образом, мы вправе перенести показатель полного тока в соответствующие два столбца в обеих таблицах:

Рис. 8. В столбец для C1 в первой таблице переносим значение общей силы тока из второй таблицы.

Рис. 9. Во второй таблице для комбинации R//(L–C2) дублируем значение общей силы тока.

Теперь в первой таблице можно рассчитать падение напряжения на C1 и то же самое сделать во второй таблице для последовательно-параллельной комбинации R//(L–C2), используя закон Ома (E = IZ) по вертикали в соответствующих столбцах:

Рис. 10. По закону Ома находим силу тока для C1 в первой таблице.

Рис. 11. По закону Ома находим силу тока для R//(L–C2) во второй таблице.

На этом этапе можно быстро перепроверить, действительно ли падение напряжения на C1 и последовательно-параллельной комбинации R//(L–C2) складываются в общую сумму, которая будет общим напряжением. Ведь согласно правилу Кирхгофа для напряжения, так и должно быть!

Рис. 12. Проверяем промежуточные результаты с помощью правила Кирхгофа для напряжения.

Это было просто мерой предосторожности. В подобных задачах с таким количеством шагов много возможностей допустить ошибку. Периодические перекрестные проверки, вроде этой, экономят много работы и избавляют от ненужных разочарований, вскрывая проблемы до того, как они испортят окончательный результат.

Определив падение напряжения для C1 и комбинации R//(L–C2), снова зададимся вопросом: какие другие компоненты или комбинации компонентов делят общее напряжение или общий ток?

В нашем случае резистор (R) и комбинация катушки индуктивности и второго конденсатора (L–C2) имеют одинаковое напряжение, потому что эти наборы импедансов параллельны друг другу. Следовательно, мы можем перенести только что вычисленное значение напряжения в столбцы для R и L–C2:

Рис. 13. В первую таблицу в столбец для R переносим значение для напряжения из столбца для R//(L–C2) из второй таблицы.

Рис. 14. Во второй таблице в столбце для L–C2 дублируем значение из столбца для R//(L–C2).

Теперь всё готово для расчёта силы тока, проходящего через резистор R и последовательную комбинацию L–C2. Всё, что нужно сделать, это применить закон Ома (I = E/Z) по вертикали в соответствующих столбцах:

Рис. 15. В первой таблице для резистора R по закону Ома вычисляем силу тока.

Рис. 16. Во второй таблице для комбинации L–C2 по закону Ома вычисляем силу тока.

На этом этапе тоже можно сделать быструю перепроверку – надо посмотреть, складываются ли текущие значения для L–C2 и R в общий ток, согласно правилу Кирхгофа для силы тока:

Рис. 17. Проверяем промежуточные результаты с помощью правила Кирхгофа для силы тока.

Поскольку L и C2 соединены последовательно, и поскольку известна сила тока, проходящего через их последовательное комбинированное сопротивление, можно данное значение силы тока распределить по столбцам для L и C2, следуя правилу для последовательных цепей, согласно которому последовательные компоненты имеют одинаковый ток:

Рис. 18. В первой таблице для L и C2 берём силу тока из столбца L–C2 из второй таблицы.

Что ж, остался последний шаг (фактически, два вычисления) для окончательного заполнения нашей аналитической таблицы. Имея значения импеданса и силы тока для L и C2, всё, что нужно сделать, это применить закон Ома (E = IZ) по вертикали в этих двух столбцах для расчёта падений напряжения.

Рис. 19. И последнее – по закону Ома вычисляем напряжение в столбцах для L и C2.

Теперь обратимся к программе SPICE для компьютерной проверки проделанного труда:

Рис. 20. Для проверки последовательно-параллельная R/L/C-цепи в программе SPICE перенумеруем участки. А также введём фиктивные источники напряжения (каждый на 0 вольт), они нужны для SPICE в качестве точек измерения тока в ответвлениях.

ac series-parallel r-l-c circuit 
v1 1 0 ac 120 sin 
vit 1 2 ac 0 
vilc 3 4 ac 0 
vir 3 6 ac 0 
c1 2 3 4.7u 
l 4 5 650m 
c2 5 0 1.5u 
r 6 0 470 
.ac lin 1 60 60 
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) 
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) 
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc) 
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir) 
.end

Результаты работы программы:

freq                v(2,3)            vp(2,3)          i(vit)             ip(vit)           C1  
6.000E+01     8.276E+01  -3.163E+01   1.466E-01   5.837E+01

freq                 v(4,5)           vp(4,5)           i(vilc)           ip(vilc)          L
6.000E+01     1.059E+01  -1.388E+02   4.323E-02   1.312E+02

freq                 v(5)               vp(5)             i(vilc)           ip(vilc)         C2
6.000E+01     7.645E+01   4.122E+01   4.323E-02   1.312E+02

freq                 v(6)               vp(6)              i(vir)            ip(vir)          R
6.000E+01     6.586E+01   4.122E+01   1.401E-01   4.122E+01

Каждая строка выходного списка SPICE даёт напряжение, фазовый угол напряжения, силу тока и фазовый угол тока для C1, L, C2 и R в указанном порядке. Как видите, эти цифры совпадают с рассчитанными вручную цифрами в таблице анализа цепей.

Каким бы сложным ни казался анализ последовательно-параллельных цепей переменного тока, следует подчеркнуть, что здесь нет ничего принципиально нового, кроме использования комплексных чисел. Закон Ома (в его новой форме E = IZ) всё ещё остаётся в силе, как и правила Кирхгофа для напряжения и силы тока.

И хотя остаётся немалая вероятность человеческой ошибки при выполнении необходимых вычислений для комплексных чисел, тем не менее фундаментальные принципы и методы сокращения последовательно-параллельных цепей действуют и здесь.

Итог

• Анализ последовательно-параллельных цепей переменного тока во многом аналогичен анализу последовательно-параллельных цепей постоянного тока. Единственное существенное отличие состоит в том, что все цифры и расчёты выполнены в комплексной (не скалярной) форме.
• Важно помнить, что перед тем, как начать последовательно-параллельное уменьшение (поэтапное упрощение схемы, чтобы свести её к общему эквивалентному сопротивлению), необходимо определить полный импеданс (Z) для каждого элемента, будь то резистор, катушка индуктивности или конденсатор. Таким образом, все значения компонентов будут выражаться в общих терминах (Z) вместо несовместимого сочетания сопротивления (R), индуктивности (L) и ёмкости (C).