Электроника:Переменный ток/Резонанс/Добротность и полоса пропускания резонансной цепи

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Добротность и полоса пропускания резонансной цепи

Коэффициент добротности является мерой «качественности» резонансного контура. Чем выше этот показатель – тем будет более узкой полоса пропускания, что желательно в большинстве случаев. Формально говоря, Q – это отношение мощности, накопленной в реактивном сопротивлении цепи, к мощности, рассеиваемой из-за общего сопротивлении цепи:

Q = PНакопленная/PРассеиваемая = I2X / I2R Q = X/R Где: X = ёмкостное или индуктивное реактивное сопротивление при резонансе R = последовательное сопротивление

Добротность впервые мы упомянули в главе 3 «Реактанс и импеданс - Индуктивность» в разделе 5 «Особенности катушек индуктивности».

Эта формула применима к последовательным резонансным цепям, а также к параллельным резонансным цепям, если сопротивление включено последовательно с катушкой индуктивности. На практике нас часто интересует сопротивление катушек индуктивности, которое ограничивает их добротность, так что данная формула может пригодиться.

Примечание: В некоторых пособиях по электротехнике в формуле для «Q» X и R могут меняться местами, если речь идёт о параллельном резонансном контуре. Это верно для большого значения R, которое параллельно к C и L. Формула, приведённая в этой лекции, верна для небольшого R, которое последовательно по отношению к L.

Практическое применение Q заключается в том, что напряжение на L или C в последовательном резонансном контуре в Q раз больше общего приложенного напряжения. В параллельном резонансном контуре сила тока, проходящего через L или C, в Q раз больше общего приложенного тока.

Последовательные резонансные схемы

Последовательный резонансный контур, это, по сути, сопротивление на резонансной частоте. Поскольку по определению резонанса X_L = X_C, реактивные компоненты нейтрализуются, оставляя только обычное сопротивление, которое и формирует импеданс.

Импеданс минимален в резонансе. Если частота последовательного резонансного контура ниже резонансной частоты, то ёмкостная составляющая в контуре преобладает, поскольку импеданс конденсатора увеличивается до значения, превышающего уменьшающееся индуктивное реактивное сопротивление, оставляя чистое ёмкостное значение.

Если частота последовательного резонансного контура выше резонансной частоты, индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, ёмкостное реактивное сопротивление уменьшается, делая контур всё более индуктивным.

Рис. 1. В зависимости от того, ниже или выше частота по сравнению с резонансной частотой, в контуре преобладает либо ёмкостная, либо индуктивная составляющая.

Примечание. В резонансе последовательный резонансный контур выглядит как сугубо резистивный. Ниже резонанса он ведёт себя скорее, как ёмкостный. Выше резонанса – скорее как индуктивный. Ток максимален при резонансе, импеданс в этом случае минимален. Сила тока определяется величиной сопротивления. Когда частота цепи выше или ниже резонанса – импеданс увеличивается.

Рис. 2. Импеданс минимален при резонансе в последовательном резонансном контуре.

Пик резонансного тока можно изменить, если взять последовательный резистор с другим значением, что в свою очередь изменит добротность. Это также влияет на ширину полосы пропускания. Схема с низким сопротивлением и высокой добротностью имеет узкую полосу пропускания по сравнению с схемой с высоким сопротивлением и низкой добротностью. Полоса пропускания рассчитывается, исходя из добротности и резонансной частоты:

BW = fc/Q Где: fc = резонансная частота Q = добротность

Рис. 3. Резонансный контур с высокой добротностью имеет узкую полосу пропускания по сравнению с контуром с низкой добротностью.

Полоса пропускания обычно равна расстоянию между крайними точками амплитуды тока, умноженному на 0,707. Точке тока на уровне 0,707 соответствует половинная мощность, поскольку P = I²R, (0,707)² ≈ (0,5).

Рис. 4. Для последовательного резонансного контура полоса пропускания Δf измеряется между крайними точками амплитуды на уровне 70,7%.

BW = Δf = fh -fl = fc/Q Где: fh = верхняя (high) граница полосы пропускания fl = нижняя (low) граница полосы пропускания fl = fc - Δf/2 fh = fc + Δf/2 Где: fc = центральная частота (резонансная частота)

На рисунке выше 100%-й пик тока составляет 50 мА. Уровень 70,7% составляет 0,707×(50 мА) = 35,4 мА. Верхний и нижний края полосы, считываемые с кривой, составляют 291 Гц для f_l и 355 Гц для f_h. Полосы пропускания составляет 64 Гц, а точки половинной мощности составляют ±32 Гц от центральной резонансной частоты:

BW = Δf = fh - fl = 355 - 291 = 64 fl = fc - Δf/2 = 323 - 32 = 291 fh = fc + Δf/2 = 323 + 32 = 355 Поскольку BW = fc/Q, то: Q = fc/BW = (323 Гц)/(64 Гц) = 5

Параллельные резонансные схемы

Полное сопротивление параллельного резонансного контура максимально на резонансной частоте. Если частота ниже резонансной частоты параллельный резонансный контур действует скорее, как индуктивная цепь, поскольку импеданс катушки индуктивности ниже, и на неё приходится бо́льшая часть тока.

Если частота выше резонансной, ёмкостное реактивное сопротивление уменьшается, потребляя больший ток, таким образом, в контуре преобладает ёмкостная составляющая.

Рис. 5. Параллельный резонансный контур является чисто резистивным при резонансе, более индуктивным ниже резонанса, более ёмкостным выше резонанса.

Импеданс максимален при резонансе в параллельном резонансном контуре, но уменьшается, если выше или ниже резонанса. Напряжение достигает пика при резонансе, поскольку напряжение пропорционально импедансу (E = IZ).

Рис. 6. Пики импеданса при резонансе в параллельном резонансном контуре.

В параллельном резонансном контуре низкая добротность из-за высокого сопротивления, включенного последовательно с катушкой индуктивности, даёт низкий пик с широкой полосой пропускания. Высокая добротность обусловлена низким сопротивлением, подключённым последовательно к катушке индуктивности. Это даёт более высокий пик с более узкой полосой пропускания. Высокая добротность достигается за счёт использования в катушке индуктивности проводов с бо́льшим диаметром (меньшего сечения) провода с меньшим сопротивлением.

Рис. 7. Полоса пропускания в параллельном резонансном контуре зависит от Q.

Ширина полосы пропускания кривой параллельного резонанса измеряется между точками половинной мощности. Это соответствует точкам, где от напряжения берётся 70,7%, поскольку мощность пропорциональна E², а (0,707)² ≈ 0,50. Поскольку напряжение пропорционально импедансу, мы можем взять кривую импеданса:

Рис. 8. Полоса пропускания Δf измеряется как расстояние между точками при 70,7% от полного сопротивления параллельного резонансного контура.

На рисунке выше точка 100% импеданса составляет 500 Ом. Уровень 70,7% составляет 0707×(500) = 354 Ом. Верхний и нижний края полосы, считываемые с кривой, составляют 281 Гц для f_l и 343 Гц для f_h. Полоса пропускания составляет 62 Гц, а точки половинной мощности составляют ±31 Гц от центральной резонансной частоты:

BW = Δf = fh -fl = 343 - 281 = 62 fl = fc - Δf/2 = 312 - 31 = 281 fh = fc + Δf/2 = 312 + 31 = 343 Q = fc/BW = (312 Гц)/(62 Гц) = 5