В простых реактивных цепях, с минимальным сопротивлением или вообще без него, эффекты от резких изменений импеданса проявляются на резонансной частоте, предсказанной уравнением, которое мы разобрали в предыдущих лекциях. В параллельном (колебательном) LC-контуре это приводит к бесконечно большому сопротивлению при резонансе. В последовательном LC-контуре при резонансе наблюдается нулевой импеданс:
Рис. 1. Уравнение для нахождения резонансной частоты в простом нерезистивном LC-контуре.
Однако, в большинстве LC-цепей значительные уровни сопротивления всё же присутствуют, и там уже такой простой расчёт резонанса некорректен.
В этой лекции мы рассмотрим несколько LC-цепей с добавленным сопротивлением, используя те же значения ёмкости и индуктивности, что и раньше: 10 мкФ и 100 мГн соответственно.
Расчёт резонансной частоты цепи с высоким сопротивлением
Согласно нашему простому уравнению, приведённому выше, резонансная частота должна быть 159,155 Гц (именно это значение мы использовали в главах 2 и 3). Но давайте посмотрим, какой максимум/минимум будет для тока в следующем примере, который мы проанализируем с помощью SPICE:
Рис. 2. В параллельную LC-цепь добавляем значительное сопротивление, последовательное с L. Также для моделирования в SPICE отметим на схеме узловые точки.
resonant circuit v1 1 0 ac 1 sin c1 1 0 10u r1 1 2 100 l1 2 0 100m .ac lin 20 100 200 .plot ac i(v1) .end
Результат работы программы:
Рис. 3. Сопротивление, включенное последовательно с L, даёт минимальный ток при резонансной частоте 136,8 Гц вместо 159,2 Гц, которые получаются из нашей простой формулы.
Минимальный ток наблюдается при 136,8 Гц вместо 159,2 Гц!
Рис. 4. Теперь в нашей параллельный LC-схеме значимое сопротивление добавим последовательно к конденсатору. Для анализа в SPICE отметим на схеме узловые точки и добавим фиктивное минимальное последовательное сопротивление к катушке индуктивности, т.к. SPICE не обрабатывает прямую связь между индуктивным элементом и источником переменного напряжения.
Здесь требуется дополнительный резистор (RФиктивн.), чтобы SPICE не столкнулся с проблемами при анализе. SPICE не может работать с индуктором, подключённым напрямую параллельно любому источнику напряжения или любому другому индуктору, поэтому добавление последовательного резистора необходимо для «разрыва» цепи «источник напряжения/индуктивный элемент», которая в противном случае образовалась бы.
Для этого фиктивного резистора берём мизерное значение, чтобы минимизировать его влияние на поведение схемы.
resonant circuit v1 1 0 ac 1 sin r1 1 2 100 c1 2 0 10u rbogus 1 3 1e-12 l1 3 0 100m .ac lin 20 100 400 .plot ac i(v1) .end
Минимальный ток примерно при 180 Гц вместо расчётных 159,2 Гц!
Nutmeg нарисует вот это:
Рис. 5. Сопротивление, включённое последовательно с C, сдвигает минимальный ток с расчётных 159,2 Гц до примерно 180 Гц.
Последовательные LC-цепи
Мы рассмотрели примеры для параллельных LC-цепей, где сопротивление было последовательно подключено к конденсатору или катушке индуктивности. Теперь посмотрим, что происходит в последовательных LC-цепях, если значимое сопротивление подключить параллельно для L или C. В следующих примерах в реактивную последовательную цепь также будем дополнительно подключать небольшой резистор на 1 Ом (R1) последовательно с катушкой индуктивности и конденсатором, чтобы ограничить общий ток при резонансе.
Тем же сопротивлением, которое будем использовать для влияния на эффекты резонансной частоты, будет обеспечивать резистор R2 на 100 Ом. Результаты показаны на рисунке:
Рис. 6. Последовательный резонансный LC-контур со значимым (100 Ом) сопротивлением, параллельным L. Чтобы избежать ситуации, близкой к короткому замыканию, также последовательно добавим резистор с небольшим (1 Ом) сопротивлением.
resonant circuit v1 1 0 ac 1 sin r1 1 2 1 c1 2 3 10u l1 3 0 100m r2 3 0 100 .ac lin 20 100 400 .plot ac i(v1) .end
Сила тока достигает максимума примерно при 178,9 Гц вместо расчётных 159,2 Гц!
Полученные результаты визуализируем с помощью Nutmeg:
Рис. 7. Последовательный резонансный контур с сопротивлением, параллельным L, сдвигает максимальный ток с 159,2 Гц до примерно 180 Гц.
И, наконец, поглядим последовательный LC-контур со значительным сопротивлением параллельно конденсатору. График со сдвинутым резонанс показан чуть ниже.
Рис. 8. Последовательный LC-резонансный контур со значимым сопротивлением на 100 Ом, параллельным C.
resonant circuit v1 1 0 ac 1 sin r1 1 2 1 c1 2 3 10u r2 2 3 100 l1 3 0 100m .ac lin 20 100 200 .plot ac i(v1) .end
Максимальный ток возникает при частоте 136,8 Гц вместо расчётной резонансной частоты 159,2 Гц!
Полученные результаты в виде графика:
Рис. 9. Сопротивление параллельно с C в последовательном резонансном контуре смещает максимум тока с расчетных 159,2 Гц примерно до 136,8 Гц.
Антирезонанс в LC-цепях
Способность добавленного сопротивления смещать точку, в которой импеданс LC-цепи достигает максимума или минимума, называется антирезонансом. Самые проницательные из слушателей моих лекций наверняка заметили закономерность между четырьмя приведёнными выше примерами, смоделированными в SPICE, с точки зрения того, как именно в цепи сопротивление влияет на резонансный пик:
Параллельный («колебательный») LC-контур:
R последовательно с L: резонансная частота смещена вниз.
R последовательно с C: резонансная частота смещена вверх.
Последовательная LC-цепь:
R параллельно с L: резонансная частота смещена вверх.
R параллельно с C: резонансная частота смещена вниз.
Опять же, это иллюстрирует взаимодополняющий характер конденсаторов и катушек индуктивности: сопротивление, подключённое последовательно с одним компонентом, создаёт антирезонансный эффект, эквивалентный сопротивлению, подключённому параллельно с другим компонентом. Если вы внимательнее присмотритесь к четырём приведенным примерам SPICE (к полученным графикам), то заметите, что частоты сдвинуты на одинаковую величину и что форма взаимодополняюших графиков является зеркальным отображением друг друга!
Антирезонанс – это эффект, о котором должны знать разработчики резонансных схем. Уравнения для определения «смещения» антирезонанса сложны и не будут рассматриваться в этом кратком уроке. Начинающему электронщику достаточно просто знать, что данный эффект имеет место быть и к чему он может привести.
Скин-эффект
Паразитное сопротивление в LC-цепи – проблема не умозрительная, а вполне себе реальная. Хотя с конденсаторами попроще – их можно производить с незначительным собственным сопротивлением. А вот катушки индуктивности обычно имеют значительное внутреннее сопротивление из-за большой длины проводов, используемых в их конструкции.
Более того, сопротивление провода имеет тенденцию увеличиваться с увеличением частоты из-за необычного явления, известного как скин-эффект, когда переменный ток стремится двигаться по внешним краям проволоки и избегает центра, тем самым уменьшая эффективную площадь поперечного сечения провода. Более подробно явление освещено в главе 3 «Реактанс и импеданс – Индуктивность», в последнем разделе.
Таким образом, у индуктивных элементов собственное сопротивление не обычное, а переменное и частотно-зависимое.
Добавленное сопротивление в цепях
Мало того, что сопротивление проводов в катушке вызывает трудности, так ещё и приходится бороться с потерями, которые привносит железный сердечник, создающий дополнительное сопротивление в цепи.
Поскольку железо является проводником электричества, а также проводником магнитного потока, переменный ток индуцирует вихревые токи в самом сердечнике.
Железный сердечник трансформатора является своего рода вторичной обмоткой, дающей резистивную нагрузку (ибо проводимость железа далеко неидеальна). Этот эффект можно свести к минимуму с помощью ламинированных сердечников, использование высококачественных материалов вкупе с грамотной конструкцией сердечника. Но устранить этот эффект полностью, увы, не удастся.
RLC-цепи
Одним из заметных исключений из правила, согласно которому сопротивление цепи вызывает резонансный сдвиг частоты, является случай, когда в цепи последовательно соединены резистор-индуктор-конденсатор (т.н. RLC-цепи). Если все компоненты соединены последовательно друг с другом, сопротивление не влияет на резонансную частоту цепи. Рассмотрим пример (график к нему чуть ниже):
Рис. 10. Последовательная LC-цепь, в которой также есть значимое последовательное сопротивление.
series rlc circuit v1 1 0 ac 1 sin r1 1 2 100 c1 2 3 10u l1 3 0 100m .ac lin 20 100 200 .plot ac i(v1) .end
Вот это да! На этот раз при максимальном токе частота совпала с расчётными 159,2 Гц!
Визуализируем результаты программы:
Рис. 11. Последовательное сопротивление в последовательном резонансном контуре оставляет максимальный переменный ток, частота которого равна расчётному значению 159,2 Гц.
Обратите внимание, что пик на графике тока такой же, как и для последовательной LC-схемы, разобранной в разделе 3 «Простой последовательный резонанс» (там было сопротивление резистора 1 Ом), хотя сопротивление теперь в 100 раз больше. Единственное, что изменилось, – это «резкость» кривой, в прошлый раз кривая имела «острый» вид, а сейчас пик гораздо «плавнее».
Очевидно, что эта схема не резонирует настолько сильно, как схема с меньшим последовательным сопротивлением (она в данном случае называется «менее избирательной»), но, по крайней мере, резонансная частота такая же, как и вычисленная по простой формуле, приведённой в начале этой лекции!
Демпфирующий эффект антирезонанса
Примечательно, что антирезонанс «гасит» колебания автономных LC-контуров, колебательных контуров в том числе. В первом разделе данной главы мы увидели, как конденсатор и катушка индуктивности, соединенные напрямую вместе, действуют подобно маятнику, обмениваясь пиками напряжения и тока, точно так же, как в маятнике энергия переходит из кинетической формы в потенциальную и обратно.
В идеальном (т.е. без сопротивления) колебательном контуре колебания будут продолжаться вечно, так же как маятник без трения будет до наступления смерти Вселенной раскачиваться на своей резонансной частоте. Но механизмы без трения затруднительно найти в реальном мире, равно как и колебательные контуры без резистивных потерь.
Энергия, потерянная из-за сопротивления (или из-за вихревых токов в сердечнике или из-за излучения электромагнитных волн или ещё из-за чего-нибудь) в колебательном контуре, будет вызывать затухание амплитуды колебаний до тех пор, пока колебания не прекратятся полностью. Если в колебательном контуре количество подобных потерь энергии слишком велико, он вообще не сможет резонировать.
Эффект демпфирования антирезонанса мы рассматриваем не просто из праздного любопытства: его можно довольно эффективно использовать для устранения нежелательных колебаний в схемах, содержащих паразитные индуктивности и/или ёмкости (что, кстати, встречается почти во всех мало-мальски сложных схемах). Давайте поглядим такую L/R-схему c задержкой времени:
Рис. 12. L/R-схема с задержкой времени.
Идея проста: при замкнутом переключателе катушка индуктивности будет «заряжаться». Скорость зарядки зависит от соотношения L/R, которое представляет собой постоянную времени цепи в секундах. (Про постоянную времени можно почитать в томе 1 «Постоянный ток» глава 16 «Постоянные времени в RC и LR цепях»).
Однако, если вы соберёте подобную схему, то, скорее всего, обнаружите неожиданные колебания (переменный ток) напряжения на катушке индуктивности, даже тогда, когда переключатель замкнут (см. следующий рисунок). Почему так происходит? В цепи есть индуктивный элемент, однако нет конденсатора, так почему возникают резонансные колебания с помощью только катушки индуктивности, резистора и батареи?
Рис. 13. Даже если в цепи нет конденсатора, колебания возникают из-за резонанса с паразитной ёмкостью.
Любая катушка индуктивности содержит определённую паразитную ёмкость из-за изоляционных промежутков между витками и другими частями конструкции катушки, а также промежутков между самими витками. Кроме того, размещение проводников на схемной плате также может создавать паразитную ёмкость. Хотя грамотная компоновка схемы важна для устранения большей части этой паразитной ёмкости, избавиться от неё полностью невозможно.
Если это вызывает резонансные проблемы (нежелательные колебания переменного тока), дополнительное сопротивление может быть способом эти проблемы нивелировать. Если резистор R даёт сопротивление, достаточно большое, чтобы вызвать состояние антирезонанса, тогда рассеивается достаточное количество энергии, чтобы индуктивность и паразитная ёмкость не могли поддерживать колебания в течение длительного времени.
Интересно, что принцип использования сопротивления для устранения нежелательного резонанса часто используется при проектировании механических систем, где любой движущийся массивный объект является потенциальным резонатором.
Очень распространенное применение – использование амортизаторов в автомобилях. Без амортизаторов автомобили будут сильно подпрыгивать на своей резонансной частоте после столкновения с малейшей неровностью на дороге. Работа амортизатора заключается в создании сильного антирезонансного эффекта за счет гидравлического рассеивания энергии (так же, как резистор рассеивает энергию электрически).
Итог
Дополнительное сопротивление LC-цепи может вызвать состояние, известное как антирезонанс, когда эффекты пикового импеданса возникают на частотах, отличных от тех, которые дают равные ёмкостные и индуктивные реактивные сопротивления.
Сопротивление, присущее реальным катушкам индуктивности, может в значительной степени способствовать возникновению антирезонанса. Одним из источников такого сопротивления является скин-эффект, вызванный тем, что переменный тока не идёт по центру сечения проводника. Другой источник антирезонанса – потери в железных сердечниках катушек индуктивности из-за вихревых токов, возникающих в результате магнитной индукции.
В простой последовательной LC-цепи, содержащей последовательное сопротивление (т.н. RLC-цепь), сопротивление не вызывает антирезонанса. Резонанс в этом случае все ещё наблюдается, если ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
