Компьютерный анализ Фурье, прежде всего БПФ-алгоритм, является мощным инструментом, позволяющим глубже понимать волны сигналов и их спектральные составляющие.
Последовательность математических действий для выполнения этого анализа (вызываемые в SPICE с помощью команды .fourier) также запрограммирована в различных электронных тестовых приборах, что позволяет в реальном времени изучать волновые сигналы.
В этом разделе рассмотрим, как использовать подобные инструменты при анализе различных сигналов.
Начнём с простой синусоиды с частотой 523,25 Гц. Это конкретное значение частоты представляет собой высоту ноты «до», исполненной на фортепиано, которая на одну октаву выше, чем «до первой октавы».
По факту, сигнал, измеренный для данной демонстрации, создан с помощью электронной клавиатуры для воспроизведения звука многоствольной флейты, чей инструментальный «голос», очень близок к идеальной синусоидальной волне. График ниже взят с дисплея осциллографа и показывает амплитуду (напряжение) сигнала в зависимости от времени:
Рис. 1. Дисплей осциллографа: напряжение в зависимости от времени.
При просмотре на осциллографе эта синусоида выглядит как волнистая кривая, начерченная на экране вдоль горизонтальной оси. Горизонтальная ось дисплея осциллографа отмечена словом «Время» и стрелкой, указывающей направление изменения времени. Сама кривая, конечно, представляет собой циклическое увеличение и уменьшение напряжения в зависимости от времени.
При более подробном рассмотрении можно заметить, что формы синусоидальной волны не идеальны. Такой, увы, результат использования специального оборудования для анализа формы сигнала. Это так называемые артефакты, возникающие из-за особенностей испытательного оборудования: явления, существующего исключительно из-за особенностей оборудования, используемого для проведения эксперимента.
Если мы посмотрим на то же самое напряжение переменного тока на анализаторе спектра, то увидим совершенно отличную (от рис. 1) картину:
Рис. 2. Дисплей анализатора спектра: напряжение, зависящее от частоты.
Как видите, горизонтальная ось дисплея помечена словом «Частота», обозначающим область измерения. Единственный пик на кривой означает преобладание всего одной частоты в том диапазоне частот, который умещается по ширине данного конкретного дисплея.
Если бы шкала анализатора была размечена, мы бы увидели, что значение пика приходится на 523,25 Гц. Высота пика представляет собой амплитуду сигнала (напряжение).
Если мы смешаем три разных синусоидальных тона вместе на электронной клавиатуре («до-ми-соль», аккорд «до-мажор») и замеряем, то и на дисплее осциллографа, и на дисплей анализатора спектра отразится эта возросшая сложность:
Рис. 3. Дисплей осциллографа: смешение трёх тонов.
Дисплей осциллографа (во временно́й области) показывает форму сигнала с гораздо большим количеством пиков и провалов, чем в предыдущем примере, что является прямым результатом смешения этих трёх частот. Можно заметить, что какие-то пики выше, чем пики исходных однотоновых волн, а какие-то – ниже.
Это результат того, что три различных сигнала попеременно усиливают и нейтрализуют друг друга по мере того, как их соответствующие фазовые сдвиги меняются во времени.
Рис. 4. Дисплей анализатора спектра: три тона – три пика.
Отображение спектра (частотная область) намного проще интерпретировать: каждый тон представлен своим собственным пиком на кривой. Разница в высоте между этими тремя пиками – ещё один артефакт испытательного оборудования: следствие ограничений самого прибора, используемого для генерации и анализа этих сигналов, это необязательно характеристика музыкального аккорда как такового.
Как уже говорилось, устройство, используемое для генерации этих сигналов, представляет собой электронную клавиатуру: музыкальный инструмент, предназначенный для имитации тонов многих различных инструментов.
«Голос» многоствольной флейты выбран для первых демонстраций, потому что он больше всего напоминал чистую синусоидальную волну (что давало единственную частоту на дисплее анализатора спектра). Однако «голоса» других музыкальных инструментов уже не так просты. Фактически, уникальный тон, воспроизводимый любым инструментом, зависит от его формы волны (или спектра частот).
Например, рассмотрим сигнал для звука трубы:
Рис. 5. Дисплей осциллографа: волновая форма звука трубы.
Основная частота этого тона такая же, как и в первом примере для многоствольной флейты: 523,25 Гц, на октаву выше, чем «до первой октавы».
Сама форма волны – отнюдь не чистая и простая синусоида. Зная, что любая периодическая несинусоидальная волна эквивалентна последовательности синусоидальных сигналов с разными амплитудами и частотами, мы ожидаем увидеть несколько пиков на дисплее анализатора спектра:
Рис. 6. Дисплей анализатора спектра: тон трубы.
И это действительно так! Компонент основной частоты 523,25 Гц представлен крайним левым пиком, при этом каждая последующая гармоника представлена в виде собственного пика (показаны только те гармоники, которые помещаются на экране анализатора в соответствии с его шириной).
Вторая гармоника в два раза превышает частоту фундаментальной гармоники (1046,5 Гц), третья гармоника в три раза превышает частоту фундаментальной гармоники (1569,75 Гц) и так далее. На этом дисплее отображаются только первые шесть гармоник, но есть ещё множество других, составляющих этот сложный тон.
Попробовав другой инструментальный «голос» (на этот раз аккордеон) на электронной клавиатуре, получим аналогичный сложный график на дисплее осциллографа (во временно́й области) и дисплее анализатора спектра (в частотной области):
Рис. 7. Дисплей осциллографа: волновая форма для тона аккордеона.Рис. 8. Дисплей анализатора спектра: тон аккордеона.
Обратите внимание на различия для трубы и аккордеона в относительных амплитудах гармоник (высоте пиков) на дисплее анализатора спектра. Оба тембра инструмента содержат гармоники от 1-й (основной) до 6-й (есть и гармоники выше, но дисплей показывает только первые шесть), но пропорции не совпадают.
Каждый инструмент имеет уникальную гармоническую «сигнатуру» для своего тембра. Причём не стоит забывать, что вся эта сложность относится ко всего одной ноте, сыгранной двумя инструментами с разными «голосами». А если на аккордеоне исполнить несколько нот, то будет гораздо более сложный набор частот, чем тот, что мы сейчас разобрали.
Аналитические возможности осциллографа и анализатора спектра на этих реальных примерах позволяют вывести общие правила о формах сигналов и их гармонических спектрах. Мы уже знаем, что любое отклонение от чистой синусоидальной волны приводит к эквивалентной смеси из нескольких синусоидальных сигналов с разными амплитудами и частотами.
Однако если ещё внимательнее присмотреться, то увидим больше конкретики. Обратите внимание, например, на графики в частотной и временно́й области для волновой формы, аппроксимирующей прямоугольную волну:
Рис. 9. Дисплей осциллографа: прямоугольная волна во временно́й области.Рис. 10. Дисплей анализатора спектра: прямоугольная волна в частотной области.
Как показал наш спектральный анализ, этот сигнал не содержит ни одной чётной гармоники, только нечётные. Хотя на дисплее не отображаются частоты после шестой гармоники, последовательность нечётных гармоник с убывающей амплитудой будет бесконечной.
Это не должно вызывать удивления, ибо мы уже видели в SPICE, что прямоугольная волна состоит из бесконечного множества нечётных гармоник. Однако звуки трубы и аккордеона содержали как чётные, так и нечётные гармоники.
На эту разницу в гармоническом содержании стоит обратить особое внимание. Давайте проанализируем треугольную волну:
Рис. 11. Дисплей осциллографа: треугольная волна во временно́й области.Рис. 12. Дисплей анализатора спектра: треугольная волна в частотной области.
В этом сигнале практически нет чётных гармоник: единственные значимые частотные пики на дисплее анализатора спектра принадлежат нечётным, кратным основной частоте.
Для второй, четвёртой и шестой гармоник пики какие-то совсем крошечные, но это связано с несовершенством треугольной волны конкретного сигнала (опять же, возникают артефакты испытательного оборудования, использованного в этом анализе).
Идеально треугольная волна вообще не даёт чётных гармоник, равно как и идеальная прямоугольная волна. При даже беглом просмотре очевидно, что спектр гармоник треугольной волны не идентичен спектру прямоугольной волны: соответствующие гармонические пики имеют разную высоту. Тем не менее, эти две разные формы сигналов объединяет отсутствие чётных гармоник.
Давайте рассмотрим другую форму волны, которая очень похожа на треугольную, за исключением того, что в ней скорость подъёма не совпадает со скоростью спада. На дисплее осциллографа выводится график, по которому видно, что пилообразная волна соответствует своему названию:
Рис. 13. Дисплей осциллографа: пилообразная волна во временно́й области.
Однако, как показал наш спектральный анализ, на этот раз чётные гармоники (вторая и четвёртая) явно выражены, что сильно отличается от случая с треугольной волной:
Рис. 14. Дисплей анализатора спектра: пилообразная волна в частотной области.
Отличие волн с чётными гармониками от волн, где чётные гармоники отсутствуют, заключается в принципиальном моменте, который отличает треугольную волну от пилообразной.
Эта разница заключается в симметрии выше и ниже горизонтальной средней линии волны. Если часть волны сигнала, находящаяся выше средней линии, является симметричным отображением части волны, находящейся ниже средней (то есть, если эти половинки как бы отзеркаливают друг друга) – то такой сигнал будет содержать только нечётные гармоники.
Рис. 15. Волновые формы сигналов, симметричные относительно центральной линии оси x, содержат только нечётные гармоники.
Прямоугольные волны, треугольные волны и чистые синусоидальные волны демонстрируют эту симметрию, и во всех них отсутствуют чётные гармоники. А вот для волн, характерных для тона трубы или аккордеона, а также для пилообразной волны, наблюдается несимметричность относительно своих центральных линий и, следовательно, чётные гармоники присутствуют в разложении.
Рис. 16. Асимметричные (относительно своей средней оси) сигналы содержат чётные гармоники.
Эту симметрию относительно центральной линии не следует путать с симметрией относительно нулевой линии. В показанных примерах горизонтальная осевая линия сигнала оказывается равной нулю вольт на графике во временно́й области, но это не имеет ничего общего с гармоническим разложением.
Это правило наличия/отсутствия чётных гармоник (даже гармоник только с несимметричными формами сигналов) применяется независимо от того, смещена ли форма сигнала выше или ниже нуля вольт с учётом составляющей постоянного тока «dc component», знакомая нам из предыдущих разделов этой главы. Чтобы это пояснить, покажу те же наборы сигналов, сдвинутых из-за напряжения постоянного тока, и отмечу, что их гармоническое содержание осталось неизменным.
Рис. 17. Эти сигналы состоят исключительно из нечётных гармоник. То, что из-за ненулевого значения «dc component» они смещены выше/ниже нулевой линии, не означает что разложение этих волн на гармоники будет каким-то иным. Для этих волн можно провести такую среднюю линию, относительно которой будет наблюдаться вышеупомянутая симметрия.
Повторюсь, величина постоянного напряжения «dc component», присутствующего в форме волны, не имеет ничего общего с разложением на гармоники данной волны.
Рис. 18. Эти сигналы содержат только чётные гармоники. Они смещены относительно нулевой линии, но к разложению на гармоники этот факт отношения не имеет.
Почему важно знать это гармоническое эмпирическое правило? Это помогает понять взаимосвязь между гармониками в цепях переменного тока и конкретными компонентами цепи.
Поскольку большинство источников синусоидальных искажений в цепях переменного тока имеют тенденцию быть симметричными, чётные гармоники редко встречаются в этих случаях.
Это полезно знать, если вы проектировщик энергосистемы и планируете минимизировать гармоники: надо будет позаботиться только о смягчении частот нечётных гармоник, а чётных гармоник практически и не будет.
Кроме того, если с помощью анализатора спектра или частотомера обнаружены чётные гармоники в цепи переменного тока, то вы уже понимаете, что в цепи что-то несимметрично искажает синусоидальное напряжение или ток. Эта подсказка будет полезна при обнаружении источника проблемы (ищите компоненты или условия, которые с большей вероятностью искажают один полупериод сигнала переменного тока, чем другой).
Теперь-то, когда нам известен главный секрет чётных гармоник в несинусоидальных сигналах, становится понятным, почему в волнах, вроде тех, что создаются в выпрямительных схемах (как в предыдущей лекции), содержатся такие выраженные чётные гармоники. Потому что в подобных волнах симметрия выше и ниже центральной оси отсутствует вообще.
Итог
Сигналы, для которых соблюдается симметрия выше и ниже их горизонтальных осевых линий, не содержат чётных гармоник.
Величина присутствующего напряжения «смещения» постоянного тока (пресловутая «dc component» из прошлых лекций) не влияет на частотный состав гармоник этой волны.
