В ходе исследований было обнаружено, что любую повторяющуюся несинусоидальную волну можно представить в виде комбинации синусоидальных и/или косинусоидальных (т.е. синусоидальных волн с фазовым сдвигом на 90°) волн постоянного напряжения с различными амплитудами и частотами.
Это верно даже для самых странных и замысловатых волн. Если форма волны регулярно повторяется с течением времени, то её можно свести к комбинации синусоидальных волн.
В частности, выяснилось, что прямоугольные волны математически эквивалентны сумме синусоидальной волны той же частоты плюс бесконечный набор синусоид с нечётно-кратной частотой и уменьшающейся амплитудой:
Рис. 1. Повторяющуюся прямоугольную волну с частотой 50 Гц можно представить в виде бесконечного количества синусоид со значениями в 1, 3, 5, 7, ... раз меньшими чем значение изначальной волны и частотами в 1, 3, 5, 7, … раз превышающими частоту изначальной волны.
Тот факт, что любую периодическую несинусодидальную волну можно представить в виде набора синусоид, на первый взгляд может показаться чересчур странным, чтобы принять его на веру. Если прямоугольная волна на самом деле представляет собой бесконечную последовательность сложенных вместе синусоидальных гармоник, очевидно, что в этом можно удостовериться, если сложить вместе несколько гармоник синусоидальной волны, в результате чего получится хоть и не строго прямоугольная волна, но по форме очень близкая к таковой.
Это рассуждение не только не лишено здравого смысла, его легко можно реализовать с помощью программы SPICE.
Схема, которую мы смоделируем, представляет собой несколько последовательно соединённых друг с другом источников синусоидального переменного напряжения соответствующей амплитуды и частоты. Мы воспользуемся SPICE для построения кривых напряжения при последовательном добавлении новых источников напряжения. Пошагово это будет выглядеть примерно вот так:
Рис. 2. Прямоугольная волна как аппроксимация суммы гармоник. Сначала построим график только для источника напряжения «1,27 В, 50 Гц» (он соответствует фундаментальной частоте), затем график для этого источника + источник напряжения «1,27/3 В, 50*3 Гц» (соответствует 3-й гармонике), затем построим график, если к этим двум источникам напряжения добавим третий «1,27/5 В, 50*5 Гц» (соответствует 5-й гармонике), затем построим график, если к этим трём источникам напряжения добавим четвёртый «1,27/7 В, 50*7 Гц» (соответствует 7-й гармонике) и на последнем шаге ещё добавим «1,27/9 В, 50*9 Гц» (9-я гармоника).
В этом конкретном моделировании SPICE последовательно суммированы источники напряжения, соответствующие 1-й (фундаментальной), 3-й, 5-й, 7-й и 9-й гармоникам: в общей сложности пять источников переменного напряжения. Основная частота составляет 50 Гц, и каждая гармоника, само собой, кратна этой частоте.
Значения амплитуд (напряжение в вольтах) не являются случайными числами; они были получены с помощью уравнений, показанных в частотном ряду (дробь 4/π это изначальные 1,27 В, для каждого источника это значение умножено на 1, 1/3, 1/5, 1/7 и т. д. для каждой возрастающей нечётной гармоники).
building a squarewave v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) * 1-я гармоника (50 Hz) v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) * 3-я гармоника v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) * 5-я гармоника v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) * 7-я гармоника v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) * 9-я гармоника r1 5 0 10k
.tran 1m 20m .plot tran v(1,0) * график 1-й гармоники .plot tran v(2,0) * график 1-й + 3-й гармоник .plot tran v(3,0) * график 1-й + 3-й + 5-й гармоник .plot tran v(4,0) * график 1-й + 3-й + 5-й + 7-й гармоник
Далее сделаем пошаговый анализ, объясняя, на что мы смотрим. На первом графике видим синусоидальную волну для фундаментальной частоты 50 Гц. Это не что иное, как чистая синусоида без дополнительных гармоник. Это волновая форма, создаваемая идеальным источником питания переменного тока:
Затем мы увидим, что произойдёт, если этот чистый и простой сигнал объединить с 3-й гармоникой (трёхкратно по 50 Гц или просто 150 Гц). И внезапно – это больше не похоже на чистую синусоиду:
Рис. 4. Сложение 1-й (50 Гц, оранжевый график для v(1)) и 3-й (150 Гц, синий график для v(2, 1)) гармоник уже по внешнему виду начинает напоминать прямоугольную волну 50 Гц (красный график для v(2)).
Нарастание и спад между положительными и отрицательными циклами теперь имеет гораздо более крутой уклон, а гребни волны стали ближе к плоской форме, которая наблюдается у прямоугольной волны. Поглядим, что будет, если добавить следующую нечётную частоту гармоники:
Рис. 5. Сложение 1-й, 3-й и 5-й гармоник больше походит на прямоугольную волну (красный график для v(3)).
Гребни волны стали ещё более плоскими, это стало ещё заметнее. На каждом гребне волны есть несколько мини-подъёмов и мини-спадов, но амплитуда этих зигзагов меньше, чем в предыдущий раз. Посмотрим, что будет дальше, если в микс добавить следующую волновую форму очередной нечётной гармоники:
Рис. 6. Сложение 1-й, 3-й, 5-й и 7-й гармоник ещё больше походит на прямоугольную волну.
Видим, что волна становится ещё более плоской на каждом пике. Наконец, добавим 9-ю гармонику (пятый источник синусоидального напряжения в нашу схему) и получим следующий результат:
Рис. 7. Сложение 1-й, 3-й, 5-й, 7-й и 9-й гармоник ещё больше походит на прямоугольную волну.
Конечным результатом сложения первых пяти нечётных гармонических сигналов (конечно, с правильными амплитудами) будет близкое приближение к прямоугольной волне. Смысл этих пошаговых сложений в том, чтобы проиллюстрировать, что возможно построить прямоугольную волну, складывая синусоидальные волны разных частот. В принципе, это можно рассматривать как доказательство того, что чистая прямоугольная волна на самом деле эквивалентна сложению бесконечного числа чистых синусоидальных волн.
Когда переменное напряжение (описываемое прямоугольным графиком) прикладывается к цепи с реактивными компонентами (конденсаторами и катушками индуктивности), эти компоненты реагируют так, как если бы они подвергались воздействию нескольких синусоидальных напряжений с разными частотами, что на самом деле так и есть.
Тот факт, что повторяющиеся несинусоидальные волны эквивалентны определённой последовательности аддитивного постоянного напряжения, синусоидальных и/или косинусоидальных волн, является следствием того, как работают волны: это фундаментальное свойство всех связанных с волнами явлений, хоть электрических хоть любых иных.
Математический процесс сведения несинусоидальной волны к этим составляющим частотам называется анализом Фурье, детали которого выходят далеко за рамки этого текста. Стоит упомянуть, что разработаны компьютерные алгоритмы, быстро выполняющие этот анализа для реальных сигналов. И эти алгоритмы широко используются для анализа сигналов переменного тока и определения качественных характеристик электроэнергии.
Программа SPICE может делать выборку данных в волновом графике и преобразовывать в составляющие синусоидальную волну гармоники с помощью алгоритма преобразования Фурье, выводя частотный анализ в виде таблиц. Давайте посмотрим, как это работает, на примере прямоугольной волны, которую, как мы уже знаем, можно разложить на нечётно-гармонические синусоиды:
Опция «pulse» в списке соединений, в той строке, где описывается источник напряжения v1, указывает для SPICE моделировать прямоугольную «импульсную» волну, в данном случае симметричную (поскольку берётся одинаковое время для каждого полупериода) и имеющую пиковую амплитуду 1 вольт. Сначала будет построен прямоугольная волна, которая затем будет подвергнута анализу:
Рис. 8. Прямоугольная волна для анализа Фурье в программе SPICE.
Затем будет распечатан анализ Фурье, который сгенерирует SPICE для этой прямоугольной волны:
Рис. 9. График результатов анализа Фурье.
Здесь SPICE разбил волну на спектр синусоидальных частот вплоть до девятой гармоники + небольшое постоянное напряжение, обозначенное в распечатке как «dc component».
Чтобы SPICE корректно классифицировала гармоники, в листинге программы пришлось указать основную частоту (для прямоугольной волны с периодом 20 миллисекунд эта частота составляет 50 Гц). Обратите внимание на то, насколько малы полученные цифры для всех чётных гармоник (2-я, 4-я, 6-я, 8-я) и как уменьшаются амплитуды нечётных гармоник (1-я наибольшая, 9-я наименьшая) – всё это хорошо видно на графике результатов.
Тот же самый метод «преобразование Фурье» часто используется в компьютеризированных силовых приборах, где производится выборка точек (отдельных сигналов) на графике волны переменного тока и затем определяется их гармоническое содержания. Распространенным компьютерным алгоритмом (последовательностью шагов в программе для выполнения задачи), выполняющим эту задачу, является быстрое преобразование Фурье (функция БПФ).
Вам необязательно вдаваться в то, как именно работают эти компьютерные программы, но об их существовании и применении знать нужно.
Тот же математический метод, который используется в SPICE для анализа гармонического содержания волн, может быть применен к техническому анализу музыки: любой конкретный звук всегда можно разложить на составляющие его синусоидальной волны соответствующих частот.
Наверняка вы знакомы с устройством, предназначенным именно для этого, не осознавая при этом, как оно работает! Графический эквалайзер является частью высококачественного стереооборудования, которое контролирует (и показывает на дисплее) характер гармонического содержания музыки.
Оснащённый несколькими ручками или ползунками, эквалайзер может выборочно ослаблять (уменьшать) амплитуду определённых частот, присутствующих в музыке, для «настройки» более приятного звучания. Обычно рядом с каждым рычагом управления отображается «гистограмма», показывающая амплитуду каждой конкретной частоты.
Рис. 10. Графический Hi-Fi-эквалайзер.
Устройство, предназначенное исключительно для отображения (а не для управления) амплитуд каждого частотного диапазона для сигнала со смешанной частотой, обычно называется анализатором спектра.
Конструкция анализаторов спектра может быть простой, в виде набора «фильтрующих» схем (подробности будут в следующей 8-й главе «Фильтры»), предназначенных для отделения разных частот друг от друга. А может быть и сложной, представлять собой специальный компьютер, на котором выполняется БПФ-алгоритм, который математически разделит сигнал на его гармонические составляющие.
Анализаторы спектра часто предназначены для анализа чрезвычайно высокочастотных сигналов, создаваемые радиопередатчиками и компьютерным сетевым оборудованием. В этом случае внешний вид анализатора, скорее всего, будет напоминать осциллограф:
Рис. 11. Анализатор спектра показывает амплитуду как функцию от частоты.
Подобно осциллографу, анализатор спектра использует ЭЛТ (или компьютерный дисплей, имитирующий ЭЛТ) для отображения графика сигнала.
В отличие от осциллографа, этот график представляет собой зависимость амплитуды от частоты, а не амплитуды от времени. По сути, частотный анализатор даёт оператору диаграммы Боде (о них шла речь в прошлой 6-й главе «Резонанс» начиная с раздела 2 «Простой параллельный резонанс (колебательный контур)»): инженеры назовут это анализом в частотной области, а не во временно́й.
Термин «область» применён в математическом контексте: подразумевается сложное понятие для описания горизонтальной оси графика. Получается, это график осциллирующей амплитуды (вертикальная ось) во времени (горизонтальная ось) – это анализ «во временно́й области», тогда как график анализатора спектра амплитуды (вертикальная ось) по частоте (горизонтальная ось) – это анализ «в частотной области».
Когда мы используем SPICE для построения графика амплитуды сигнала (переменного напряжения или переменного тока) в диапазоне частот, мы выполняем анализ именно в частотной области.
Обратите внимание на то, что анализ Фурье из последнего моделирования SPICE, мягко говоря, не «идеально». В идеале амплитуды всех чётных гармоник должны быть абсолютно нулевыми, как и составляющая постоянного тока. Опять же, это не столько особенность самой программы SPICE, а скорее общее свойство любых сигналов.
Если у волны бесконечная продолжительность (бесконечное количество циклов), то анализ будет сделан с абсолютной точностью. И чем меньше циклов доступно компьютеру для анализа, тем менее точным будет анализ. Только когда у нас есть уравнение, описывающее форму волны в целом, анализ Фурье может разложить её на определенную последовательности синусоидальных волн.
Чем меньше повторных циклов у волны, тем с меньшей определённостью можно говорить о её частоте. Если довести эту концепцию до логического предела, короткий импульс (по сути, это волна, которая даже не завершает и один цикл) на самом деле вообще не имеет частоты, а действует как бесконечный диапазон частот. Этот принцип является общим для любых волновых явлений, а не только для переменного напряжения и тока. Достаточно сказать, что между количеством циклов и достоверностью частотной составляющей прямая взаимосвязь.
Можно улучшить точность анализа, если позволить волне колебаться в течение многих циклов, в результате чего спектральный анализ был бы близок к идеалу. В следующем анализе для краткости не будем приводить график волны, так как это просто длинная прямоугольная волна:
Обратите внимание, как этот анализ показывает меньшее значение составляющей напряжения постоянного тока («dc component») и меньшие (чем в предыдущий раз) амплитуды синусоидальных волн с чётными гармоническими частотами. А всё потому, что мы в программе мы измерили больше циклов волны. Опять же, меньшая точность первого анализа – это не столько недостаток SPICE, сколько фундаментальное свойство волн при анализе сигналов.
Итог
Прямоугольные волны эквивалентны синусоидальной волне на той же (основной) частоте + бесконечная последовательность нечётно-кратных синусоидальных гармоник с уменьшающимися амплитудами.
Существуют компьютерные алгоритмы, которые могут выбирать формы волн и определять составляющие их синусоидальные компоненты. Алгоритмы преобразования Фурье (в частности, быстрое преобразование Фурье, или сокращённо БПФ) обычно используются в программах компьютерного моделирования схем, такие как SPICE, а также в электронном измерительном оборудовании для определения качественных характеристик электроэнергии.
