Электроника:Полупроводники/Практические аналоговые полупроводниковые схемы/Вычислительные схемы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 648.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Вычислительные схемы[1]

Когда кто-то употребляет слово «компьютер», обычно на ум приходит некое цифровое устройство. Цифровые схемы представляют числовые величины в двоичном формате: комбинации единиц и нулей, представленные множеством транзисторных схем, работающих в состоянии или насыщения или отсечки. Однако аналоговая схема также может использоваться для представления числовых величин и выполнения математических вычислений с использованием сигналов переменного напряжения вместо дискретных состояний «Вкл.»/«Выкл.».

Вот простой пример двоичного (цифрового) представления в сравнении с аналоговым представлением числа «двадцать пять»:

Рис. 1. Цифровая схема, представляющая число 25.
Рис. 1. Цифровая схема, представляющая число 25.
Рис. 2. Аналоговая схема, представляющая число 25.
Рис. 2. Аналоговая схема, представляющая число 25.

Цифровые схемы сильно отличаются от схем, построенных на аналоговых принципах. Цифровые вычислительные схемы могут быть невероятно сложными, и для получения окончательного ответа расчёты часто должны выполняться в виде последовательных «шагов», подобно тому, как человек может выполнять арифметические вычисления поэтапно с помощью карандаша и бумаги. С другой стороны, если сравнить с аналоговыми вычислительными схемами, то они довольно просты и выполняют свои вычисления не дискретно, но непрерывно, можно сказать, в режиме реального времени. Однако у использования аналоговой схемы для работы с числами есть недостаток: неточность, приблизительность. Цифровая схема, показанная выше, точно представляет число двадцать пять. Показанная выше аналоговая схема может или не может быть точно откалибрована на 25000 вольт, но она наверняка подвержена «дрейфу» значений (т.е. со временем показания меняются) и погрешностям.

В приложениях, где абсолютная точность не критична, аналоговые вычислительные схемы очень практичны и элегантны. Вот несколько схем операционных усилителей для выполнения аналоговых вычислений:

Вычислительные схемы операционных усилителей

Рис. 4. Аналоговый вычитатель.
Рис. 4. Аналоговый вычитатель.


Рис. 6. Аналоговый инвертор.
Рис. 6. Аналоговый инвертор.


Рис. 7. Аналоговый «умножитель на константу».
Рис. 7. Аналоговый «умножитель на константу».
Рис. 8. Аналоговый «делитель на константу».
Рис. 8. Аналоговый «делитель на константу».


Рис. 9. Аналоговое «умножение/деление на константу» с инвертированием.
Рис. 9. Аналоговое «умножение/деление на константу» с инвертированием.

Каждую из этих схем можно использовать в виде добавленного модуля при создании схемы, способной комплексно выполнять несколько последовательных вычислений. Например, допустим, нам нужно вычесть определённую долю одной переменной из другой переменной. Объединив схему деления на константу со схемой вычитания, мы получим требуемую функцию:

Рис. 10. Комбинирование блоков аналоговых вычислений для выполнения комплексных математических операций.
Рис. 10. Комбинирование блоков аналоговых вычислений для выполнения комплексных математических операций.

Устройства, называемые аналоговыми компьютерами, были обычным явлением в университетах и инженерных мастерских, где десятки схем операционных усилителей могли быть «соединены» вместе со съёмными перемычками для моделирования математических утверждений, обычно с целью моделирования некоторого физического процесса, если известны лежащие в его основе уравнения. Цифровые компьютеры сделали аналоговые компьютеры морально и технологически устаревшими, но с точки зрения чистой элегантности и экономии необходимых компонентов аналоговые вычислительные схемы всё равно дадут сто очков форы.

Аналоговая вычислительная схема отлично справляется с выполнением вычислительных операций интегрирования и дифференцирования по времени за счёт использования конденсаторов в контуре обратной связи операционного усилителя. Однако, чтобы полностью понять работу и приложения подобных схем, мы должны сначала понять смысл этих фундаментальных концепций исчисления. К счастью, применение схем операционного усилителя к реальным задачам, связанным с исчислением, служит отличным средством обучения основам исчисления. Вот что пишет Джон Ирвин Смит в своём выдающемся учебнике «Современное проектирование операционных схем»:

«

Сделаем небольшое отступление, дабы приободрить некоторых читателей: интегральное исчисление – одна из математических дисциплин, которые нашли своё выражение в схемах операционных [усилителей], благодаря чему, пожалуй, рушатся незримые стены, препятствующие пониманию этих математических знаний.

»
— Джон Ирвин Смит, «Современное проектирование операционных схем», стр. 4

Г-н Смит не одинок в своём мнении о педагогической ценности аналоговых схем как наглядного пособия при изучении математики. Вспомним также мнение инженера Джорджа Фокса Лэнга, высказанное в статье, которую он написал для августовского выпуска журнала «Звук и вибрация» за 2000 г. озаглавленную как «Аналоговость компьютерный копирайт не признаёт!»:

«

Создание реальной физической сущности (в виде моделируемой схемы), управляемой определённым набором уравнений, и взаимодействие с ней обеспечивает уникальное понимание этих математических утверждений. Нет лучшего способа развить «чутьё» на взаимодействие между физикой и математикой, чем лично испытать такое взаимодействие. Аналоговый компьютер был мощным междисциплинарным обучающим инструментом; его устаревание оплакивают многие преподаватели в самых разных областях.

»
— Джордж Фокс Лэнг, «Аналоговость компьютерный копирайт не признаёт!», стр. 23

Дифференцирование – это одна из первых операций, обычно изучаемая студентами-первокурсниками на математических факультетах. Если утрированно, то дифференцирование определяет мгновенную скорость изменения одной переменной по отношению к другой. В схемах аналогового дифференциатора независимой переменной является время, поэтому скорости изменения, с которыми мы имеем дело, представляют собой скорости изменения электронного сигнала (напряжения или тока) относительно времени.

Предположим, надо измерить положение автомобиля, движущегося по прямому пути (без поворотов), от начальной точки. Назовём эту переменную как «x», обозначающую измеряемое пройденное расстояние. Если автомобиль движется с такой скоростью, что его расстояние от «старта» со временем неуклонно увеличивается, его положение будет отображаться на графике в виде линейной функции (это будет прямая линия):

Рис. 11. Линейная функция зависимости расстояния от времени.
Рис. 11. Линейная функция зависимости расстояния от времени.

Если бы нам нужно было вычислить производную положения автомобиля по времени (то есть определить скорость изменения положения автомобиля относительно времени), мы пришли бы к величине, представляющей скорость автомобиля. Функция дифференцирования представлена дробным обозначением d/d (дифференциал, делённый на дифференциал), поэтому при дифференцировании положения (x) по времени (t) мы обозначаем результат (производную) как dx/dt:

Рис. 12. Определение скорости движения автомобиля с помощью дифференцирования расстояния относительно времени. Скорость постоянна.
Рис. 12. Определение скорости движения автомобиля с помощью дифференцирования расстояния относительно времени. Скорость постоянна.

Для линейного графика изменения «x» по времени производная положения (dx/dt), иначе и более известная как скорость, будет плоской (т.е. прямой и параллельной к оси абсцисс) линией, неизменной по значению. Производная математической функции может быть графически понята как её наклон при нанесении на график, и здесь мы можем видеть, что график положения (x) имеет постоянный наклон, что означает, что его производная (dx/dt) должна быть постоянной на протяжении всего времени движения.

Теперь предположим, что расстояние, пройденное автомобилем, увеличивалось со временем экспоненциально: то есть он начал свой путь, сначала передвигаясь медленно, но с каждым периодом времени преодолевалось всё большее дополнительное расстояние. Тогда мы увидим, что производная положения (dx/dt), иначе известная как скорость (v), не будет постоянной во времени, а будет увеличиваться:

Рис. 13. Определение скорости движения автомобиля с помощью дифференцирования расстояния относительно времени. Скорость увеличивается.
Рис. 13. Определение скорости движения автомобиля с помощью дифференцирования расстояния относительно времени. Скорость увеличивается.

Высота точек на графике скорости соответствует скорости изменения или наклону точек в соответствующие моменты времени на графике положения:

Рис. 14. Соответствие точек на графике скорости точкам на графике положения.
Рис. 14. Соответствие точек на графике скорости точкам на графике положения.

При чём здесь аналоговые электронные схемы? Что ж, если бы у нас был аналоговый сигнал напряжения, представляющий положение автомобиля (представьте себе громадный потенциометр, ползунок которого прикреплён к автомобилю, генерирующий напряжение, пропорциональное положению автомобиля), мы могли бы подключить к этому сигналу схему дифференциатора и полученная схема будет непрерывно вычислять скорость автомобиля, отображая результат через вольтметр, подключённый к выходу схемы дифференциатора:

Рис. 15. Схема, моделирующая движение автомобиля и рассчитывающая его скорость.
Рис. 15. Схема, моделирующая движение автомобиля и рассчитывающая его скорость.

Вспомните из предыдущей главы, что схема дифференциатора выдаёт напряжение, пропорциональное скорости изменения входного напряжения во времени (d/dt). Таким образом, если входное напряжение изменяется во времени с постоянной скоростью, выходное напряжение будет иметь постоянное значение. Если автомобиль движется таким образом, что пройденное расстояние с течением времени увеличивается с постоянной скоростью, это означает, что автомобиль движется с постоянной скоростью, и схема дифференциатора будет выдавать постоянное напряжение, пропорциональное этой скорости. Если пройденное расстояние автомобиля с течением времени изменяется неравномерно, выходной сигнал схемы дифференциатора также будет нестабильным, но всегда на уровне, представляющем скорость изменения входного сигнала с течением времени.

Отметим, что вольтметр, регистрирующий скорость (на выходе схемы дифференциатора), подключён с «обратной» полярностью к выходу операционного усилителя. Это связано с тем, что показанная схема дифференциатора является инвертирующей: выдаёт отрицательное напряжение для положительной скорости изменения входного напряжения. Если мы хотим, чтобы вольтметр регистрировал положительное значение скорости, его необходимо подключить к операционному усилителю именно так, как показано. Каким бы непрактичным ни было подключение гигантского потенциометра к движущемуся объекту, например автомобилю, концепция должна быть ясной: выполняя электронное вычисление функции дифференцирования для сигнала, представляющего положение, мы получаем сигнал, представляющий скорость.

Начинающие студенты-математики постигают методы дифференцирования в виде математических символов, выражающих абстрактные понятия. Однако для этого необходимо знать уравнение, описывающее исходный график. Например, студенты, изучающие математику, узнают, что можно взять такую функцию, как y = 3x, и найти её производную по x (d/dx), получив 3, просто манипулируя уравнением. Мы можем проверить точность этой манипуляции, сравнив графики двух функций:

Рис. 16. График функции y = 3x и её производной.
Рис. 16. График функции y = 3x и её производной.

Нелинейные функции, вроде y = 3x2, также можно дифференцировать, оперируя математическими символами. В этом случае производная y = 3x2 по x равна 6x:

Рис. 17. График функции y = 3x2 и её производной.
Рис. 17. График функции y = 3x2 и её производной.

В реальной жизни, однако, мы часто не можем описать поведение какого-либо физического события простым уравнением, типа y = 3x, и поэтому символическое обозначение приращения, усвоенное студентами математического факультета, неприменимо к физическим измерениям. Если бы кто-то захотел определить производную от положения нашего гипотетического автомобиля (dx/dt = скорость) посредством математических символов, он сначала должен был бы получить уравнение, описывающее положение автомобиля во времени, что на основе измерений положения, взятых из реального эксперимента – почти невыполнимая задача, если автомобиль не эксплуатируется в тщательно контролируемых условиях, приводящих к очень простому графику изменения положения. Однако схема аналогового дифференциатора, использующая поведение конденсатора в отношении напряжения, тока и времени i = C(dv/dt), естественно дифференцирует любой реальный сигнал по времени и может в любой момент вывести сигнал, соответствующий мгновенной скорости (dx/dt). Регистрируя сигнал положения автомобиля вместе с выходным сигналом дифференциатора с помощью самописца или другого устройства сбора данных, оба графика естественным образом представлены для сверки и анализа.

Мы можем пойти дальше для принципа дифференцирования, применив его к сигналу скорости с помощью другой схемы дифференцирования. Другими словами, используйте его для расчёта скорости изменения скорости, которая, как мы знаем, является скоростью изменения положения. На практике – что именно мы бы измеряли, если бы сделали это? Подумайте об этом с точки зрения единиц измерения, которые мы используем для измерения положения и скорости. Если бы мы измеряли положение автомобиля от начальной точки в милях, то, вероятно, мы бы выразили его скорость в единицах «миль-в-час» (dx/dt). Если бы мы дифференцировали скорость (измеренную в «миль-в-час») по времени, мы бы получили единицу измерения «миль-в-час»-в-час. На вводных курсах физики учащимся рассказывается о поведении падающих объектов, измерении положения в метрах, скорости в «метрах-в-секунду» и изменении скорости с течением времени «в-метрах-в-секунду»-в-секунду. Эта последняя мера называется ускорением – скорость изменения скорости во времени:

Рис. 18. Определение скорости и ускорения с помощью дифференцирования.
Рис. 18. Определение скорости и ускорения с помощью дифференцирования.

Выражение d2x/dt2 называется второй производной положения (x) по времени (t). Если бы мы подключили вторую схему дифференциатора к выходу первого, последний вольтметр регистрировал бы именно ускорение:

Рис. 19. Определение ускорения с помощью дифференцирования сигнала скорости.
Рис. 19. Определение ускорения с помощью дифференцирования сигнала скорости.

Получая скорость из положения и ускорение из скорости, мы видим, как очень чётко проиллюстрирован принцип дифференциации. Это не единственные физические измерения, связанные между собой таким образом, но они, пожалуй, самые распространённые. Другой пример действующего исчисления – соотношение между потоком жидкости (q) и объёмом жидкости (v), накопленным в резервуаре с течением времени:

Рис. 20. Связь между накопленным объёмом жидкости и её потоком.
Рис. 20. Связь между накопленным объёмом жидкости и её потоком.

Устройство «Датчик уровня» (ДУ), установленное на резервуаре для хранения воды, выдаёт сигнал, прямо пропорциональный уровню воды в резервуаре, который (если резервуар имеет постоянную площадь поперечного сечения по всей его высоте) прямо соответствует хранящемуся объёму воды. Если бы мы взяли этот объёмный сигнал и дифференцировали его по времени (dv/dt), мы бы получили сигнал, пропорциональный расходу воды в трубе, по которой вода поступает в резервуар. Схема дифференциатора, подключённая таким образом, чтобы принимать этот «объёмный» сигнал, будет производить выходной сигнал, пропорциональный потоку, возможно, заменяя устройство измерения расхода («Датчик потока»), установленное в трубе.

Возвращаясь к автомобильному эксперименту, предположим, что наша гипотетическая машина была оснащена тахогенератором на одном из колёс, производящим сигнал напряжения, прямо пропорциональный скорости. Мы могли бы дифференцировать сигнал, чтобы получить ускорение с помощью одной схемы, например:

Рис. 21. Получение значения ускорения путём дифференцирования сигнала скорости.
Рис. 21. Получение значения ускорения путём дифференцирования сигнала скорости.

По самой своей природе тахогенератор определяет положение автомобиля во времени, генерируя напряжение, пропорциональное скорости изменения углового положения колеса с течением времени. Это даёт нам необработанный сигнал, уже представляющий скорость, с единственным шагом дифференцирования, необходимым для получения сигнала ускорения. Тахогенератор, измеряющий скорость, конечно, представляет собой гораздо более практичный пример автомобильного приборостроения, чем гигантский потенциометр, измеряющий его физическое положение, но то, что мы получаем с практической точки зрения, мы теряем при измерении положения. Независимо от того, сколько раз мы дифференцируем, мы никогда не сможем определить положение автомобиля по сигналу скорости. Если процесс дифференциации привёл нас от положения к скорости к ускорению, тогда нам нужно каким-то образом выполнить «обратный» процесс дифференцирования, чтобы перейти от скорости к положению. Такой математический процесс действительно существует, и он называется интегрированием. Схема «интегратора» может использоваться для выполнения этой функции интегрирования по времени:

Рис. 22. Получение положения и ускорения из сигнала скорости.
Рис. 22. Получение положения и ускорения из сигнала скорости.

Вспомните из предыдущей главы, что схема интегратора выдаёт напряжение, скорость изменения которого во времени пропорциональна величине входного напряжения. Таким образом, при постоянном входном напряжении выходное напряжение будет изменяться с постоянной скоростью. Если автомобиль движется с постоянной скоростью (постоянное напряжение, подаваемое на схему интегратора от тахогенератора), то пройденное расстояние будет неуклонно увеличиваться с течением времени, и интегратор будет выдавать постоянно изменяющееся напряжение, пропорциональное этому расстоянию. Если скорость автомобиля непостоянна, то скорость изменения во времени не будет зависеть от выходного сигнала схемы интегратора, но выходное напряжение будет точно отражать расстояние, пройденное автомобилем в любой заданный момент времени.

Математический символ интегрирования выглядит как очень вытянутая курсивная буква «S» (∫). Уравнение, использующее этот символ (∫vdt = x), говорит нам, что мы интегрируем скорость (v) по времени (dt) и в результате получаем положение (x).

Итак, мы можем выразить три показателя движения автомобиля (положение, скорость и ускорение) через скорость (v) так же легко, как и через положение (x):

Рис. 23. Определение положения и ускорения через скорость.
Рис. 23. Определение положения и ускорения через скорость.

Если бы у нас был акселерометр, прикреплённый к автомобилю, генерирующий сигнал, пропорциональный скорости ускорения или замедления, мы могли бы (гипотетически) получить сигнал скорости с одним шагом интегрирования и сигнал положения со вторым шагом интегрирования:

Рис. 24. Определение значений скорости и положения из значения ускорения с помощью интегрирования.
Рис. 24. Определение значений скорости и положения из значения ускорения с помощью интегрирования.

Таким образом, все три показателя движения автомобиля (положение, скорость и ускорение) могут быть выражены через ускорение:

Рис. 25. Определение положения и скорости через ускорение.
Рис. 25. Определение положения и скорости через ускорение.

Как вы могли догадаться, интегрирование можно проиллюстрировать и применить также к другим физическим системам. Возьмём, к примеру, снова резервуар для воды и потока вливаемой жидкости. Если расход является производной объёма резервуара по времени (q = dv/dt), то мы также можем сказать, что объём является интегралом расхода по времени:

Рис. 26. Заполняемый водой резервуар.
Рис. 26. Заполняемый водой резервуар.

Если бы мы использовали устройство «Датчик потока» для измерения расхода воды, то с помощью интегрирования по времени мы могли бы вычислить объём воды, накопленный в резервуаре с течением времени. Хотя теоретически возможно использовать схему интегратора ёмкостного операционного усилителя для получения сигнала объёма из сигнала расхода, механические и цифровые электронные «интеграторы» более подходят для интеграции в течение длительных периодов времени и часто используются применительно к сфере обработки и распределения воды.

Подобно тому, как существуют абстрактные математические методы дифференциации, существуют также абстрактные математические методы интегрирования, хотя они, как правило, более сложные и разнообразные. Однако применение математических методов в реальной ситуации, такой как измерение ускорения автомобиля, по-прежнему зависит от наличия уравнения, точно описывающего измеряемый сигнал, что часто бывает сложно или вообще невозможно вывести из измеренных данных. Однако схемы электронного интегратора выполняют эту математическую функцию непрерывно, в режиме реального времени и для любого профиля входного сигнала, обеспечивая тем самым мощный инструмент для учёных и инженеров.

Относительно вышесказанного необходимо предостеречь в отношении использования методов исчисления для получения одного типа измерения из другого. Дифференцирование имеет нежелательную тенденцию к усилению «шума», обнаруживаемого в измеряемой переменной, поскольку «шум» обычно проявляется в виде частот, намного превышающих измеряемую переменную, а высокие частоты по самой своей природе обладают высокой скоростью изменения во времени.

Чтобы проиллюстрировать эту проблему, предположим, что мы производим измерение ускорения автомобиля из сигнала скорости, полученного от тахогенератора с изношенными щётками или переключающими стержнями. Точки неудовлетворительного контакта между щёткой и коммутатором будут вызывать мгновенные «провалы» в выходном напряжении тахогенератора, и подключённая к нему схема дифференциатора будет интерпретировать эти провалы как очень быстрые изменения скорости. Для автомобиля, движущегося с постоянной скоростью (без ускорения или замедления) сигнал ускорения должен составлять 0 вольт, но «шум» в сигнале скорости, вызванный неисправным тахогенератором, приведёт к тому, что дифференцированный (для ускорения) сигнал будет содержать «всплески», что ложно указывает на короткие периоды резкого ускорения и замедления:

Рис. 27. «Шумы» в дифференцированном сигнале.
Рис. 27. «Шумы» в дифференцированном сигнале.

«Шумовое» напряжение, присутствующее в дифференцируемом сигнале, не обязательно должно иметь значительную амплитуду, чтобы вызвать проблемы: всё, что требуется – это чтобы профиль «шума» имел быстрое время нарастания или спада. Другими словами, любой электрический «шум» с высокой составляющей dv/dt будет проблематичен для дифференцирования, даже если он имеет низкую амплитуду.

Следует отметить, что эта проблема не является артефактом (идиосинкразической ошибкой измерительного/вычислительного прибора, т.е. ошибкой, характерной сугубо для конкретного устройства) аналоговой схемы; скорее, это присуще дифференцированию как таковому. Независимо от того, как мы можем выполнить дифференцирование, «шум» в сигнале скорости неизменно искажает выходной сигнал. Конечно, если мы дифференцируем сигнал дважды, как мы это делали для получения скорости и ускорения из сигнала положения, усиленный шумовой сигнал, выводимый первой схемой дифференциатора, будет снова усилен следующим дифференциатором, что усугубит проблему:

Рис. 28. Двойное дифференцирование еще больше усугубляет проблему с шумом в исходном сигнале.
Рис. 28. Двойное дифференцирование еще больше усугубляет проблему с шумом в исходном сигнале.

Интеграция не страдает от этой проблемы, поскольку интеграторы действуют как фильтры нижних частот, ослабляя высокочастотные входные сигналы. Фактически, все высокие и низкие пики, возникающие из-за шума в сигнале, усредняются вместе с течением времени, что приводит к уменьшению конечного результата. Тогда можно было бы предположить, что мы могли бы избежать всех проблем, если бы измерили ускорение напрямую и интегрировали этот сигнал для получения скорости; фактически, это вычисление «в обратном» порядке, как было показано ранее:

Рис. 29. Определение скорости из сигнала ускорения.
Рис. 29. Определение скорости из сигнала ускорения.

К сожалению, следование этой методологии может привести нас к другим трудностям, одна из которых – такой стандартный артефакт схем аналогового интегратора, как дрейф. Все операционные усилители имеют некоторое количество входного тока смещения, и этот ток будет иметь тенденцию вызывать накопление заряда на конденсаторе в дополнение к тому заряду, который накапливается в результате сигнала входного напряжения. Другими словами, все схемы аналогового интегратора имеют тенденцию к «дрейфу» или «скольжению» выходного напряжения даже при полном отсутствии входного напряжения, в результате чего с течением времени накапливаются ошибки. Кроме того, несовершенные конденсаторы со временем будут терять свой накопленный заряд из-за внутреннего сопротивления, что приводит к «дрейфу» к нулевому выходному напряжению. Эти проблемы являются артефактами аналоговых схем и могут быть устранены с помощью цифровых вычислений.

Несмотря на пресловутые артефакты схемы, возможные ошибки могут возникнуть в результате интегрирования одного измерения (например, ускорения) для получения другого (например, скорости) просто ввиду особенностей самого процесса интегрирования. Если «нулевая» точка калибровки датчика необработанного сигнала не идеальна, он будет выдавать небольшой положительный или отрицательный сигнал даже в условиях, когда он не должен выдавать ничего. Рассмотрим автомобиль с неправильно откалиброванным акселерометром или тот, на который действует сила тяжести, чтобы обнаружить небольшое ускорение, не связанное с движением автомобиля. Даже при идеальном интегрирующем компьютере эта ошибка датчика заставит интегратор накапливать ошибку, что приводит к выходному сигналу, указывающему на изменение скорости, когда автомобиль не ускоряется и не замедляется.

Рис. 30. Влияние ошибки датчика на результат интегрирования.
Рис. 30. Влияние ошибки датчика на результат интегрирования.

Как и в случае дифференцирования, эта ошибка также усугубится, если интегрированный сигнал будет передан в другую схему интегратора, поскольку «дрейфующий» выход первого интегратора очень скоро представит значительный положительный или отрицательный сигнал для следующего интегратора для интегрирования. Следовательно, следует соблюдать осторожность при интегрировании сигналов датчика: если установка «нуля» датчика не идеальна, интегрированный результат будет дрейфовать, даже если сама схема интегратора идеальна.

Пока что обсуждаемые ошибки интегрирования носили искусственный характер: они происходили из-за несовершенства самих схем и датчиков. Также существует источник ошибок, присущий самому процессу интегрирования, и это проблема неизвестных констант. Уже начинающие студенты-математики знают, что всякий раз, когда функция интегрируется, к результату добавляется неизвестная константа (обычно представленная как переменная «C»). Эту неопределённость легче всего понять, сравнив производные нескольких функций, отличающихся только добавлением постоянного значения:

Рис. 31. Сравнение нескольких функций и их производных.
Рис. 31. Сравнение нескольких функций и их производных.

Обратите внимание, как каждая из параболических кривых (y = 3x2 + C) имеет абсолютно одинаковую форму, отличающуюся друг от друга лишь смещением по вертикали. Однако все они имеют одну и ту же производную функцию: y'= (d/dx)(3x2 + C) = 6x , потому что все они имеют одинаковые скорости изменения (наклоны) в соответствующих точках вдоль оси «x». Хотя это кажется вполне естественным и ожидаемым с точки зрения дифференцирования (разные уравнения имеют общую производную), это обычно кажется начинающим студентам странным с точки зрения интегрирования, потому что существует несколько правильных ответов при нахождении интеграла функции. При переходе от уравнения к его производной, есть только один ответ, но переход от этой производной к исходному уравнению приводит нас к ряду правильных решений. В честь этой неопределённости символическая функция интегрирования называется неопределённым интегралом.

Когда интегратор выполняет интегрирование реального сигнала по времени, выходной сигнал представляет собой сумму интегрированного входного сигнала с течением времени и начального значения произвольной величины, представляющего ранее существовавший выходной сигнал интегратора на момент начала интегрирования. Например, если я проинтегрирую скорость автомобиля, едущего по прямой от города, вычислив, что постоянная скорость 50 миль в час в течение 2 часов даст расстояние (∫vdt) в 100 миль, это не обязательно означает, что автомобиль будет в 100 милях от города через 2 часа. Всё, что он нам говорит, это то, что машина отъедет ещё на 100 миль от города спустя 2 часа езды. Фактическое расстояние от города после 2 часов езды зависит от того, как далеко уже находился автомобиль от города в момент начала интегрирования. Если мы не знаем это начальное значение расстояния, мы не сможем определить точное расстояние автомобиля от города после 2 часов езды.

Та же проблема возникает, когда мы интегрируем ускорение по времени, чтобы получить скорость:

Рис. 32. Получение скорости путём интегрирования ускорения. Влияние начальной скорости.
Рис. 32. Получение скорости путём интегрирования ускорения. Влияние начальной скорости.

В этой системе интегратора вычисленная скорость автомобиля будет действительна только в том случае, если схема интегратора инициализируется нулевым выходным значением, когда машина неподвижна (v = 0). В противном случае интегратор вполне мог бы выдавать ненулевой сигнал для скорости (v0), когда автомобиль неподвижен, поскольку акселерометр не может определить разницу между стационарным состоянием (0 миль в час) и состоянием постоянной скорости (скажем, 60 миль в час, без изменений скорости во время езды). Эта неопределённость выходного сигнала интегратора присуща самому процессу интегрирования, а не является артефактом схемы или датчика.

Таким образом, если для любого физического измерения требуется максимальная точность, лучше измерить эту переменную напрямую, а не вычислять её из других измеренных величин. Это не означает, что все вычисления бесполезны и ложны. Напротив, часто это единственный практический способ получить желаемое измерение. Однако необходимо осознавать возможности и пределы вычислений, чтобы получить реальные цифры.

См.также

Внешние ссылки