Рис. 1. Если измеряется не просто пропорция, а десятичный логарифм этой пропорции, то получаемое значение измеряется в белах.
Бел как интерпретация коэффициента усиления
В простейшей трактовке, коэффициент усиления для усилителя – это отношение выходной мощности к входной. Как и все коэффициенты, эта величина безразмерна. Однако существует фактическая единица измерения усиления, которая называется бел.
Как таковой, бел был придуман для удобства обозначения ослабления мощности в проводке телефонной системы, а не усиления в усилителях. Название восходит к Александру Грэхему Беллу, известному шотландскому изобретателю, чьи труды сыграли важнейшую роль в разработке телефонных систем. Первоначально бел обозначал величину ослабления мощности сигнала из-за сопротивления на стандартной длине электрического кабеля. Теперь он определяется как общий (с основанием 10) логарифм отношения мощностей (выходная мощность, делённая на входную мощность).
Бел нелинеен
Поскольку бел является логарифмической единицей, он нелинеен. Чтобы дать вам представление о том, как это работает, рассмотрим следующую таблицу с цифрами, в которой сравниваются ослабление и усиление мощности в белах с простыми соотношениями:
Рис. 2. Ослабление/усиление мощности выраженные просто в виде обычного отношения выхода к входу и в белах.
От бела к децибелу
Выяснилось, что значения в белах неудобно велики для непосредственного использования, и поэтому эта единица измерения обычно применяется с метрической приставкой деци (1/10), в результате чего получается децибел или дБ. Выражать в «дБ» настолько привычно, что многие люди воспринимают это как цельное слово и не подозревают, что это комбинация приставки «деци-» и корня «-бел» и что вообще существует даже такая единица измерения, как «бел». Чтобы показать это наглядно, вот ещё одна таблица, в которой коэффициенты усиления/ослабления мощности сравниваются с децибелами:
Рис. 3. Сопоставление коэффициента усиления/ослабления с децибелами.
В качестве логарифмической единицы этот способ выражения усиления мощности охватывает широкий диапазон соотношений с минимальным разбросом значений. Резонный вопрос: «Зачем кому-то понадобилось изобретать логарифмическую единицу для измерения ослабления мощности электрического сигнала в телефонной системе?» Ответ связан с динамикой человеческого слуха, интенсивность восприятия которого имеет логарифмическую природу.
Человеческий слух нелинеен
Человеческий слух очень нелинеен: чтобы удвоить воспринимаемую интенсивность звука, фактическую мощность звука необходимо умножить в десять раз. Соотношение ослабления мощности телефонного сигнала с помощью логарифмической шкалы «бел» имеет смысл в этом контексте: ослабление мощности в 1 бел переводится в воспринимаемое ослабление звука на 50 процентов, или ½. Увеличение мощности на 1 бел означает удвоение воспринимаемой интенсивности звука.
Другие примеры логарифмической шкалы: шкала Рихтера и химический pH
Шкала Рихтера
Почти идеальной аналогией беловой шкалы является шкала Рихтера, используемая для описания силы землетрясения: землетрясение силой 6,0 балла по шкале Рихтера в 10 раз сильнее землетрясения силой 5,0 балла; землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера в 100 раз сильнее землетрясения силой 5,0 балла по шкале Рихтера; землетрясение силой 4,0 балла по шкале Рихтера в 10 раз сильнее землетрясения силой 5,0 балла по шкале Рихтера и так далее.
Химический pH (водородный показатель)
Шкала измерения химического pH также логарифмическая, разница в одно деление на шкале эквивалентна десятикратной разнице в концентрации ионов водорода в химическом растворе. Преимущество использования логарифмической шкалы измерений – это огромный диапазон, обеспечиваемый набором числовых значений с относительно небольшим разбросом, и именно это преимущество обеспечивает использование чисел Рихтера для землетрясений и pH, показывающего активность ионов водорода.
Использование бел для выражения системного усиления и ослабления
Еще одна причина для принятия бела в качестве единицы измерения усиления – простое выражение системного усиления и ослабления. Рассмотрим прошлый пример системы (рисунок 4 предыдущей лекции), где тандем усилителей увеличивает сигнал. Соответствующее усиление для каждого усилителя выражалось в виде отношения, а общее усиление для системы было произведением (умножением) этих двух соотношений:
Общий коэффициент усиления = (3) × (5) = 15
Если бы эти цифры представляли усиление мощности, мы могли бы напрямую применить единицу измерения в белах к задаче представления усиления каждого усилителя и системы в целом:
Рис. 4. Усиление мощности в белах складывается: 0,477 Б + 0,699 Б = 1,176 Б.
Если повнимательнее взглянуть на цифры прироста в единицах «бел», то это приводит к интересному открытию: они складываются. Значения коэффициента усиления для каскадных усилителей являются мультипликативными, но коэффициенты усиления, выраженные в белах, складываются, а не умножаются, в итоге получаем общее усиление системы. Первый усилитель с коэффициентом усиления мощности 0,477 Б добавляет к коэффициенту усиления второго усилителя 0,699 Б, в результате чего получаем систему с общим коэффициентом усиления мощности 1,176 Б.
Усиление в децибелах
При пересчёте на децибелы, а не на белы, мы наблюдаем аналогичную картину:
Рис. 5. Усиление в каскаде усилителей в децибелах также аддитивно: 4,77 дБ + 6,99 дБ = 11,76 дБ.
У тех, кто знаком с арифметическими свойствами логарифмов, это удивления не вызывает. Элементарным правилом алгебры является то, что антилогарифм суммы значений логарифмов двух чисел равен произведению двух исходных чисел. Другими словами, если мы возьмём два числа и определим логарифм каждого из них, затем сложим эти два значения логарифмов вместе, а затем определим антилогарифм этой суммы (увеличим базовое число логарифма – в данном случае 10 – до степени этой суммы), результат будет таким же, как если бы мы просто перемножили два исходных числа вместе.
Это алгебраическое правило положено в основу устройства, известного как логарифмическая линейка, являющейся по сути аналоговым калькулятором, который, помимо прочего, умеет находить произведения и частные путём сложения (суммирования физических длин, отмеченных на скользящих деревянных, металлических или пластиковых линейках).
Имея таблицу вычисленных логарифмов, тот же математический трюк можно проделать для выполнения сложных операций умножения и деления, выполняя только сложение и вычитание соответственно. С появлением высокоскоростных портативных цифровых калькуляторов эта элегантная вычислительная техника практически исчезла из массового использования. Тем не менее, по-прежнему важно понимать этот принцип при работе со шкалами измерения, которые имеют логарифмическую основу, такими как шкала белов (децибелов) и шкала Рихтера.
Преобразовываем децибелы в безразмерное соотношение (и обратно)
Для преобразования коэффициента усиления мощности (выраженного в белах или децибелах) в безразмерное отношение используется функция, математическая обратная нахождению десятичного логарифма: возведение в степень числа (в этом случае мы возводим в степень 10) или антилогарифм.
Рис. 6. Если коэффициент усиления мощности в белах – это логарифм коэффициента мощности, выраженного в виде пропорции, то тогда коэффициент усиления в виде пропорции – это антилогарифм от коэффициента усиления, выраженного в белах.
Преобразование децибел (а не бел) в безразмерные коэффициенты усиления мощности во многом выполняются аналогично, разве что член экспоненты делится на 10:
Рис. 7. Преобразование (в обе стороны) между коэффициентом усиления мощности, выраженного в децибелах и коэффициентом усиления мощности, выраженного в виде пропорции.
Пример: мощность усилителя составляет 1 Вт, выходная мощность – 10 Вт. Найдите коэффициент усиления мощности в дБ.
Преобразование коэффициента усиления мощности в коэффициент усиления напряжения/тока
Поскольку бел – это, по сути, единица усиления или ослабления мощности в системе, усиление и ослабление по напряжению или току не преобразуются в белы или дБ тем же образом. При использовании бел или децибел для выражения усиления, отличного от мощности, будь то напряжение или ток, нужно выполнить расчёт с точки зрения того, какой будет коэффициент усиления мощности для этой величины усиления по напряжению или току.
Для постоянного импеданса нагрузки коэффициент усиления по напряжению или току, равный 2, соответствует усилению мощности, равному 4 (22); коэффициент усиления по напряжению или току 3 соответствует коэффициенту усиления по мощности 9 (32). Если мы умножим напряжение или ток на заданный коэффициент, то прирост мощности, полученный в результате этого умножения, будет квадратом этого коэффициента. Это из-за формул закона Джоуля-Ленца, где мощность рассчитывалась либо по напряжению, либо по току и сопротивлению:
Рис. 8.Закон Джоуля-Ленца, согласно которому между мощность пропорциональна квадрату силы тока или квадрату напряжения.
Таким образом, при переводе пропорционального коэффициента усиления напряжения или тока в соответствующий коэффициент усиления в белах, нужно включить в уравнения этот показатель степени:
Рис. 9. Для коэффициента усиления напряжения/тока отличие от коэффициента усиления мощности состоит в том, что пропорциональный коэффициент усиления нужно возвести в квадрат (для перевода в коэффициент усиления в белах).
Та же экспонента нужна при выражении коэффициента усиления напряжения или тока в децибелах:
Рис. 10. Формулы, где коэффициент усиления в децибелах от формулы с коэффициентом в белах отличаются только тем, что пропорциональный коэффициент усиления ещё нужно умножить на 10.
Однако (хвала ещё одному интересному свойству логарифмов) можно ещё упростить эти уравнения, исключив показатель степени, включив «2» в качестве множителя для функции логарифмирования. Другими словами, вместо логарифма квадрата пропорционального коэффициента усиления по напряжению или току, мы просто умножаем логарифм пропорционального коэффициента усиления по напряжению или току на 2, и конечный результат в белах или децибелах будет тем же:
Рис. 11. Можно квадрат логарифмируемой величины вынести в множитель перед логарифмом, что заметно упростит формулу.
Процесс преобразования коэффициента усиления напряжения или тока, выраженного в белах в пропорциональный коэффициент усиления во многом такой же, как и для коэффициента усиления мощности:
Рис. 12. В формулах для коэффициента усиления напряжения /тока отличие от коэффициента усиления для мощности только в том, что знаменатель показателя степени удвоен.
А вот уравнения, используемые для преобразования коэффициента усиления напряжения/тока в децибелах в пропорциональный коэффициент усиления:
Рис. 13. Если работаем с децибелами, а не белами, то некоторые части уравнения дополнительно умножаются/делятся на 10.
Бел (как и децибел) является единицей измерения, благодаря которой коэффициент усиления мощности естественно масштабируется. Также используется ещё одна логарифмическая единица измерения, её придумали, чтобы непосредственно выражать усиление/ослабление для напряжения или тока. Основана она на натуральном логарифме, а не на обычном логарифме, как в случае с белами и децибелами. Название этой единицы измерения – непер, символически обозначается как «Нп». Международное обозначение – «Np», хотя встречается просто в виде строчной буквы «n».
Рис. 14. Для перевода из пропорционального коэффициента усиления напряжения/тока в коэффициент усиления в белах реже используется натуральный логарифм вместо десятичного.
Хорошо это или плохо, однако и непер, и его ослабленный родственник, децинепер, широко не используются в качестве единицы измерения в американских инженерных приложениях.
Пример: Напряжение на 600-омном входе звукового усилителя составляет 10 мВ, напряжение на его нагрузке 600 Ом – 1 В. Определите коэффициент усиления мощности в дБ.
Пример: Определите коэффициент усиления по напряжению AV(Пропорц.) = (VВыход/VВход) для усилителя с коэффициентом усиления 20 дБ, имеющего входное и выходное сопротивление 50 Ом.
Усиление и ослабление можно выразить в безразмерном соотношении (в виде пропорции), а также в таких единицах как белы (Б) или децибелы (дБ). Децибел (буквально «деци-» + «-бел») это одна десятая часть бела.
Бел – это, по сути, единица измерения усиления или ослабления мощности. Чтобы преобразовать коэффициент мощности в белы или децибелы, используйте уравнения:
Рис. 15. Преобразование пропорционального коэффициента усиления для мощности в коэффициент усиления в белах/децибелах.
При использовании белов или децибелов для выражения отношения напряжения или тока, необходимо выражать в терминах эквивалентного отношения мощностей.
На практике это означает использование различных уравнений с коэффициентом умножения 2 для значения логарифма, соответствующего показателю степени 2 для коэффициента усиления по напряжению или току:
Рис. 16. Преобразование пропорционального коэффициента усиления для напряжения/тока в коэффициент усиления в белах/децибелах.
Чтобы преобразовать усиление в децибелах в безразмерное соотношение, используйте одно из уравнений:
Рис. 17. Преобразование коэффициента усиления для напряжения/тока/мощности в децибелах в пропорциональный коэффициент усиления.
Усиление (увеличение) выражается в виде положительного числа в белах или децибелах. Ослабление (затухание) выражается в виде отрицательного числа в белах или децибелах. Единичный прирост (т.е без усиления или ослабления; коэффициент = 1) выражается как ноль бел или ноль децибел.
При вычислении общего коэффициента усиления для усиливающей системы, состоящей из каскада нескольких усилителей, индивидуальные пропорциональные коэффициенты усиления перемножаются для нахождения общего (пропорционального) коэффициента усиления. С другой стороны, значения коэффициентов усиления в белах или децибелах для каждого усилителя в каскаде складываются, чтобы определить общий коэффициент усиления в белах/децибелах.
