Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Аналитический метод контурных токов

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 648.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Аналитический метод контурных токов[1]

Метод контурных токов, также известный как метод петлевых (закольцованных) токов, очень похож на метод тока ветвей тем, что он использует системы уравнений, правило напряжения Кирхгофа и закон Ома для определения неизвестных сил тока в сети. Он отличается от предыдущего метода в том, что правило Кирхгофа для силы тока не используется. Обычно получается решить схему с меньшим количеством неизвестных переменных и меньшим количеством уравнений, что особенно удобно, если под рукой нет калькулятора.

Контурный ток, традиционный подход

Давайте посмотрим, как это работает на примере, рассмотренном в прошлый раз:

Рис. 1. Пример электрической цепи из прошлой лекции.
Рис. 1. Пример электрической цепи из прошлой лекции.

Определяем петли (контуры)

Первым шагом нужно определить набор петель в цепи, охватывающий все элементы. В нашей схеме контур, содержащий B1, R1 и R2, будет первой петлёй, а контур, содержащий B2, R2 и R3, будет второй петлёй. Самая странная часть метода – это циркулирующие токи в каждой из петель. Своё англоязычное название (которое можно почти дословно перевести как метод сетчатых токов) метод получил своё название от идеи объединения этих закольцованных токов в отдельных контурах, словно в ячейках сетки. Они подогнаны друг к другу как набор вращающихся шестеренок:

Рис. 2. Для метода контурных токов сначала определяем петли. Контуры, как соседние сеточные ячейки, имеют общие участки.
Рис. 2. Для метода контурных токов сначала определяем петли. Контуры, как соседние сеточные ячейки, имеют общие участки.

Первоначальный выбор направления каждого тока совершенно произвольный, как и в методе токов ветвей. Получаемые уравнения проще решать, если в каждой ячейке на общих участках токи идут в одинаковом направлении (обратите внимание, как токи I1 и I2 проходят через резистор R2, это тот элемент цепи, где оба тока «сцепляются» или «пересекаются»). Если с направлением тока не угадаем, то абсолютное значение в итоге всё равно будет верным, просто знак будет противоположным.

Обозначим полярность падения напряжения

Следующим шагом является маркировка всех полярностей падения напряжения на резисторах в соответствии с предполагаемыми направлениями токов сетки контуров. Помните, что «входной» вывод резистора всегда будет отрицательным, а «выходной» вывод резистора положительным по отношению друг к другу, поскольку электроны заряжены отрицательно. Полярность батарей, конечно, определяется ориентацией их символов на схеме и может «согласовываться» с полярностью резистора (предполагаемое направление тока), а может и не согласовываться:

Рис. 3. Обозначаем полярности падения напряжения. Не забывайте, о том, что в физике направление тока противоположно направлению движения электронов (которые двигаются от минуса к плюсу). На схемах оранжевым цветом обозначено именно направления токов, а не направления движения электронов.
Рис. 3. Обозначаем полярности падения напряжения. Не забывайте, о том, что в физике направление тока противоположно направлению движения электронов (которые двигаются от минуса к плюсу). На схемах оранжевым цветом обозначено именно направления токов, а не направления движения электронов.

Используя правило напряжения Кирхгофа, мы теперь обходим каждый контур, создав уравнения, представляющие падения напряжения и полярности компонентов. Как и в случае с методом токов ветвей, мы обозначим падение напряжения на резисторе как произведение сопротивления (в омах) и соответствующей ему силы тока в контуре (эта величина на данный момент неизвестна). Если через какой-то элемент (находящийся на общем участке для двух соседних петель) два тока соединяются вместе, то этот член в уравнении записываем как сопротивление резистора, умноженное на сумму обоих токов.

Отслеживаем левый контур с помощью уравнений

Отслеживание левого контура цепи начинаем с верхнего левого угла и движемся против часовой стрелки (выбор начальных точек и направлений в конечном итоге не имеет значения, просто надо с чего-то начать). Учитываем полярность, как если бы у нас в руке был вольтметр – подсоединяем красный провод на точке входа и черный провод на точке выхода. В итоге получаем следующее уравнение:

Рис. 4. Уравнение для левого контура.
Рис. 4. Уравнение для левого контура.

Обратите внимание, что один член уравнения содержит сумму контурных токов I1 и I2 в качестве общего тока, проходящего через резистор R2. Это связано с тем, что контурные токи I1 и I2 проходят через R2 в одинаковом направлении и, таким образом, дополняют друг друга. Раскрыв скобку, упрощаем уравнение:

Рис. 5. Уравнение для левого контура в упрощённом виде.
Рис. 5. Уравнение для левого контура в упрощённом виде.

На данный момент у нас есть одно уравнение с двумя неизвестными. Чтобы иметь возможность найти два неизвестных, нужно два уравнения. Если мы проследим другой контур, получим ещё одно уравнение ПНК, чего нам хватит для нахождения обеих неизвестных сил токов. Я – человек привычки, так что начну с левого верхнего угла правого контура и произведу трассировку против часовой стрелки:

Рис. 6. Уравнение для правого контура.
Рис. 6. Уравнение для правого контура.

Упрощая уравнение, как и раньше, мы получаем:

Рис. 7. Уравнение для правого контура в упрощённом виде.
Рис. 7. Уравнение для правого контура в упрощённом виде.

Находим неизвестные значения

Теперь, имея два уравнения с двумя неизвестными, вспоминаем школьную математику и находим I1 и I2:

Рис. 8. Чтобы было проще решать, преобразовываем уравнения.
Рис. 8. Чтобы было проще решать, преобразовываем уравнения.

Перерисуем схему

Зная, что эти решения являются значениями для сил тока в ячейках-контурах, а не для сил тока в ветвях, нужно вернуться к диаграмме, посмотреть, как они сочетаются друг с другом, чтобы получить отдельные силы тока проходящего через каждый элемент схемы:

Рис. 9. Укажем (не забыв и знак) найденные значения для силы тока в каждой ячейке-контуре.
Рис. 9. Укажем (не забыв и знак) найденные значения для силы тока в каждой ячейке-контуре.

Решение -1 ампер для I2 означает, что мы изначально предположили неверное направление. В действительности I2 течёт против часовой стрелки, в этом случае значение в 1 ампер можно указать положительным:

Рис. 10. Перерисуем схему, указав верное направление тока в правом контуре.
Рис. 10. Перерисуем схему, указав верное направление тока в правом контуре.

Это изменение направления тока изменит полярность падения напряжения на резисторах R2 и R3. Отсюда мы можем сказать, что ток через R1 составляет 5 ампер, при этом падение напряжения на R1 является произведением тока и сопротивления (E = IR), 20 вольт (на схеме ставим «+» слева от резистора и «-» справа).

Кроме того, мы можем с уверенностью сказать, что ток через R3 составляет 1 ампер, с падением напряжения 1 вольт (E = IR), на схеме «плюс» ставим слева и «минус» справа. А вот как быть с R2?

Контурный ток I1 движется на схеме по проводу «вниз» через R2, тогда как контурный ток I2 идёт «вверх» через R2. Чтобы определить фактический ток через R2, мы должны увидеть, как взаимодействуют контурные токи I1 и I2 (в данном случае они противоположны), и алгебраически сложить их, чтобы получить окончательное значение. Так как I1 идёт «вниз» при 5 А, а I2 «растёт» при 1 А, реальный ток через резистор R2 должен иметь значение 4 А, двигаясь при этом «вниз»:

Рис. 11. Перерисуем схему, указав итоговые значение и направление для тока, проходящего через резистор R2.
Рис. 11. Перерисуем схему, указав итоговые значение и направление для тока, проходящего через резистор R2.

Ток в 4 ампера преодолевает сопротивление 2 Ом резистора R2, что даёт нам падение напряжения 8 вольт (E = IR), с учётом направления тока ставим «+» вверху и «-» внизу.

Преимущество метода

Основное преимущество состоит в том, что он обычно позволяет решать большую сеть с меньшим количеством неизвестных значений и меньшим количеством уравнений. В нашем примере в методе токов ветвей использовалось три уравнения, в методе контурных токов – только два. Это преимущество тем очевиднее, чем больше сложность схемы:

Рис. 12. Более сложная схема с тремя ячейками.
Рис. 12. Более сложная схема с тремя ячейками.

Чтобы решить эту сеть, используя метод токов ветвей, нам требуется вычислить пять переменных для учёта каждого уникального тока в цепи (с I1 по I5). Для этого потребуется пять уравнений – два ПКТ (для узлов) и три ПКН (для каждого контура):

Рис. 13. Для решения методом токов ветвей надо найти пять неизвестных – с I1 по I5.
Рис. 13. Для решения методом токов ветвей надо найти пять неизвестных – с I1 по I5.
Рис. 14. Задачу можно решить, выбрав для некоторых токов и другое направление.
Рис. 14. Задачу можно решить, выбрав для некоторых токов и другое направление.
Рис. 15. Для получения системы уравнений понадобятся правила Кирхгофа – для тока и для напряжения.
Рис. 15. Для получения системы уравнений понадобятся правила Кирхгофа – для тока и для напряжения.

Я полагаю, что, если у вас больше нет никаких дел, как искать пять неизвестных переменных с помощью пяти уравнений, то аналитический метод токов ветвей покажется нормальным вариантом. Те же, кто предпочитает экономить своё время, предпочтут более простой метод контурных токов, где требуется найти значения трёх неизвестных в системе из трёх уравнений:

Рис. 16. Отобразим на схеме закольцованные токи в каждой из трёх ячеек.
Рис. 16. Отобразим на схеме закольцованные токи в каждой из трёх ячеек.
Рис. 17. Для системы уравнений нужны правило Киргхофа только для напряжения.
Рис. 17. Для системы уравнений нужны правило Киргхофа только для напряжения.

Меньшее количество уравнений для работы явно предпочтительнее, особенно если считать вручную (без калькулятора).

Несбалансированный мост Витстона

Другой тип схемы, которая хорошо подходит для этого метода – несбалансированный мост Витстона. Возьмём, к примеру, такую схему:

Рис. 18. Несбалансированный мост Витстона.
Рис. 18. Несбалансированный мост Витстона.

Поскольку отношения R1/R4 и R2/R5 не равны, мы знаем, что будет наблюдаться какое-то напряжение на резисторе R3 и через него будет проходить ток. Как обсуждалось в начале этой главы, этот тип схемы не подлежит сокращению с помощью обычного последовательно-параллельного анализа и его проанализировать придётся как-то иначе.

Мы могли бы применить к этой схеме метод токов ветвей, но для этого понадобится искать шесть неизвестных для шести сил тока (с I1 по I6), что приведёт к необходимости решать систему из шести уравнений, что достаточно сложно. Однако, используя метод контурных токов, мы можем найти все силы тока и напряжения с гораздо меньшим количеством переменных.

Рисуем ячейки

Сначала изобразим закольцованные токи в ячейках-контурах, везде, чтобы хватило для учёта всех элементов цепи. При беглом взгляде на нашу мостовую схему, первые два места размещения двух таких токов буквально напрашиваются:

Рис. 19. Показываем два закольцованных тока в двух очевидных ячейках-контурах.
Рис. 19. Показываем два закольцованных тока в двух очевидных ячейках-контурах.

Направление этих токов, конечно, произвольно. Однако этих двух контурных токов в этой схеме недостаточно, потому что ни I1, ни I2 не проходят через батарею. Итак, мы должны добавить третий контурный ток, I3:

Рис. 20. Чтобы учесть источник питания, добавляем третий контурный ток.
Рис. 20. Чтобы учесть источник питания, добавляем третий контурный ток.

Здесь я так подобрал I3, чтобы контур, начинался с нижнего вывода батареи, затем проходил через R4, потом через R1 и возвращался к верхнему выводу батареи. Это не единственный возможный путь, который можно выбрать для закольцованного тока I3, но он на глазок кажется самым простым.

Обозначаем полярность падений напряжения на резисторах

Теперь нужно обозначить полярность падений напряжения на резисторах, следуя каждому из предполагаемых направлений токов:

Рис. 21. Полярность падения напряжения на резисторе выбрана в соответствии с направлениями токов.
Рис. 21. Полярность падения напряжения на резисторе выбрана в соответствии с направлениями токов.

Обратите внимание на кое-что очень важное: на резисторе R4 полярности для соответствующих контурных токов не совпадают. Это связано с тем, что контурные токи I2 и I3 проходят через R4 в противоположных направлениях. Это не исключает использования аналитического метода контурного тока, но в некоторой степени его усложняет. Хотя позже (см. пример ниже) мы покажем, как избежать подобной коллизии, наблюдаемой на резисторе R4.

Используем ПНК

Формируем уравнение ПНК для верхней петли моста, начиная с верхнего узла и отслеживая по часовой стрелке:

Рис. 22. Составляем уравнение ПНК для верхнего правого контура.
Рис. 22. Составляем уравнение ПНК для верхнего правого контура.

В этом уравнении представлены общие направления токов как их суммы, если токи проходят через общие резисторы. Например, на резисторе R3 со значением 100 Ом падение напряжения представлено в приведенном выше уравнении ПНК выражением 100(I1 + I2), поскольку оба тока I1 и I2 проходят через R3 справа-налево. То же самое можно сказать и о резисторе R1 с выражением падения напряжения, показанным как 150(I1 + I3), поскольку оба I1 и I3 проходят через этот резистор снизу-вверх и, таким образом, на нём скоординировано создают падение напряжения.

Сгенерировать уравнение ПНК для нижнего контура моста уже не так просто, поскольку у нас есть два тока, идущие друг против друга через резистор R4. Вот как я это делаю (начиная с правого узла и отслеживая против часовой стрелки):

Рис. 23. Составляем уравнение ПНК для нижнего правого контура.
Рис. 23. Составляем уравнение ПНК для нижнего правого контура.

Обратите внимание, что второй член в исходной форме уравнения имеет значение резистора R4, равное 300 Ом, умноженное на разность между I2 и I3 т.е. на (I2 - I3). Вот так мы представляем комбинированный эффект двух токов сетки, проходящих в противоположных направлениях через один и тот же компонент. Здесь очень важен выбор соответствующих математических знаков: 300(I2 - I3) не означает то же самое, что и 300(I3 - I2). Я решил написать 300(I2 - I3), потому что посчитал эффект от I2 первичным (создаётся положительное падения напряжения, «измеренное» на резисторе R4 виртуальным вольтметром, если красный провод подсоединить к нижнему выводу и черный к верхнему), а эффект от I3 вторичным (создание отрицательного падения напряжения, если красный провод подсоединить к нижнему выводу и черный к верхнему). Если бы я посчитал, что эффект от I3 первичен, а от I2 вторичен, подсоединив свой воображаемый вольтметр в тех же точках (красный провод снизу и черный сверху), то выражение было бы -300(I3 - I2). Заметим, что это выражение является математически эквивалентным первому: +300(I2 - I3).

Ну, это пока что только два уравнения, а мне нужно ещё и третье, чтобы систему уравнений с тремя неизвестными можно было решить. Это третье уравнение также должно включать в себя напряжение батареи, которое до этого момента не фигурировало ни в одном из двух предыдущих уравнений ПНК. Чтобы получить это уравнение, я снова прослежу цикл со своим воображаемым вольтметром, начиная с нижнего (отрицательного) вывода батареи, двигаясь по часовой стрелке (опять же, выбранное направление, произвольно и не обязательно должно совпадать с фактическим направлением контурного тока в этой петле):

Рис. 24. Составляем уравнение ПНК для левого контура, содержащего батарею.
Рис. 24. Составляем уравнение ПНК для левого контура, содержащего батарею.

Находим силы тока

С помощью любого метода решения системы уравнений, находим I1, I2 и I3:

Рис. 25. Решаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, определяем все три контурных тока.
Рис. 25. Решаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, определяем все три контурных тока.

Задание 1

Задание:

используя Octave, найти значения для I1, I2 и I3 из приведённой выше упрощённой системы уравнений.

Решение:

В Octave (клон Matlab® с открытым исходным кодом), укажите коэффициенты для матрицы A между квадратными скобками, разделив элементы столбцов запятыми, разделив строки точкой с запятой. Введите напряжения в вектор-столбец b. Неизвестные токи: I1, I2 и I3 рассчитываются по команде: x = A \ b. Они содержатся в векторе-столбце x.

octave:1>A = [300,100,150;100,650,-300;-150,300,-450]
        A =
          300  100  150
          100  650  -300
          -150 300  -450
 
        octave:2> b = [0;0;-24]
        b =
          0
          0
          -24
               
        octave:3> x = A\b
        x =
          -0.093793
           0.077241
           0.136092

Отрицательное значение, полученное для I1, говорит нам, что предполагаемое направление для этого контурного тока было неверным. Таким образом, фактические значения тока через каждый резистор таковы:

Рис. 26. Рассчитаем силы тока, правильно укажем направления на схеме.
Рис. 26. Рассчитаем силы тока, правильно укажем направления на схеме.

Расчёт падений напряжения на каждом резисторе:

Рис. 27. Зная значения сил тока и сопротивления, рассчитываем падения напряжения на каждом резисторе.
Рис. 27. Зная значения сил тока и сопротивления, рассчитываем падения напряжения на каждом резисторе.

Давайте также в программе SPICE проверим верность наших расчётов:

Рис. 28. Схема с начальными данными для моделирования в SPICE. Для того чтобы в программе указать расположение резисторов на схеме перенумерованы узлы.
Рис. 28. Схема с начальными данными для моделирования в SPICE. Для того чтобы в программе указать расположение резисторов на схеме перенумерованы узлы.
unbalanced wheatstone bridge  
v1 1 0 
R1 1 2 150     
R2 1 3 50      
R3 2 3 100     
R4 2 0 300     
r5 3 0 250     
.dc v1 24 24 1 
.print dc v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2,0) v(3,0)   
.end
v1          v(1,2)     v(1,3)      v(3,2)     v(2)       v(3)           
2.400E+01   6.345E+00  4.690E+00   1.655E+00  1.766E+01  1.931E+01

Задание 2

Задание:
  • (a) Определите новый путь для тока I3, который не создаёт коллизий при указании полярностей резисторов, через которые могут также проходить токи I1 или I2. В предыдущем примере инцидент возник на резисторе R4.
  • (б) Найдите значения для I1, I2 и I3.
  • (в) Определите значения силы для пяти токов, проходящих через все резисторы и сравните их с предыдущими значениями.
Решение:
  • (a) Непротивречивый с точки зрения полярности путь для I3 проходит по контуру, содержащему R5, R3 и R1:
Рис. 29. Альтернативный пусть для контурного тока I3. При этом полярность на резисторах соответствует направлению токов I1 и I2.
Рис. 29. Альтернативный пусть для контурного тока I3. При этом полярность на резисторах соответствует направлению токов I1 и I2.

Как видите, конфликт полярностей на R4 устранён. Более того, на других резисторах с полярностями тоже всё нормально.

  • (б) Octave, бесплатный клон Matlab с открытым исходным кодом, выдает вектор, содержащий значения контурного тока в переменной «x»:
octave:1> A = [300,100,250;100,650,350;-250,-350,-500]
        A =
          300  100  250
          100  650  350
          -250  -350  -500
      
        octave:2> b = [0;0;-24]
        b =
          0
          0
        -24
              
        octave:3> x = A\b
        x =
          -0.093793
          -0.058851
           0.136092

В связи с изменением контура, не все токи (I2) сохранили старые значения. Однако значения для токов, проходящих через резисторы, остались те же самые:

IR1 = I1 + I3 = -93.793 ma + 136.092 ma = 42.299 ma
IR2 = I1 = -93.793 ma
IR3 = I1 + I2 + I3 = -93.793 ma -58.851 ma  + 136.092 ma =  -16.552 ma
IR4 = I2 = -58.851 ma
IR5 = I2 + I3 = -58.851 ma  + 136.092 ma = 77.241 ma

Так как силы токов, проходящих через резисторы не изменились, напряжения резисторов тоже будут идентичными предыдущим значениям, рассчитывать их заново не нужно.

Итог

  • Шаги, которые необходимо выполнить для аналитического метода контурных токов:
    • Нарисуйте контурные токи в контурах цепи, достаточных для учёта всех элементов цепи.
    • Обозначьте полярности падений напряжения на резисторах в зависимости от предполагаемого направления контурных токов.
    • Напишите уравнения ПНК для каждого контура цепи, подставляя произведение IR вместо E в каждом члене уравнения, относящимся к резистору. Если через элемент проходят два контурных тока, выразите общий ток как алгебраическую сумму этих двух контурных токов (то есть I1 + I2), если токи проходят через этот компонент в одном направлении. Если в разных направлениях, выразите ток как разность (т.е. I1 - I2).
    • Найдите неизвестные контурные токи (решите систему из N уравнений для N неизвестных).
    • Если значение какого-либо тока получилось отрицательное, значит с предполагаемым направлением тока не угадали!
    • Алгебраически сложите контурные токи, чтобы вычислить силы тока, проходящего через элементы, являющиеся частью различных соседних контуров.
    • Рассчитайте падения напряжения на всех резисторах (E = IR).

Обходный метод контурных токов

Давайте ещё разок прокрутим «метод контурных токов», при этом первоначально примем, что в контурах электроны движутся по часовой стрелке (т.н. CW-вращение). Это нужно для того, чтобы упростить запись уравнений, так как это позволяет игнорировать полярность падения напряжения на резисторах. Однако следует учесть полярность источников напряжения по отношению к предполагаемому направлению тока. Знак падения напряжения на резисторах будет фиксированным.

Напишем набор обычных уравнений для контурных токов из схемы ниже. Обратите внимание на знаки падения напряжения на резисторах, эти знаки используются для коэффициентов в шаблонном уравнении:

Рис. 30. Мы приняли, что электроны в каждом контуре движутся по часовой стрелке. Соответственно, так исторически сложилось, направление самого тока считается обратным направлению движения электронов – против часовой стрелки (на схеме именно направление самого тока, а не направление движения электронов). Полярности для резисторов указаны в соответствии с направлением движения тока, который движется от плюса к минусу. Резистор R2 является общим для двух контуров, для него указано две полярности, соответствующие движению тока в каждом контуре.
Рис. 30. Мы приняли, что электроны в каждом контуре движутся по часовой стрелке. Соответственно, так исторически сложилось, направление самого тока считается обратным направлению движения электронов – против часовой стрелки (на схеме именно направление самого тока, а не направление движения электронов). Полярности для резисторов указаны в соответствии с направлением движения тока, который движется от плюса к минусу. Резистор R2 является общим для двух контуров, для него указано две полярности, соответствующие движению тока в каждом контуре.

После подстановки мы можем писать наши обходные уравнения. Знаки коэффициентов берём или как в паре шаблонов выше или в наборе из трёх правил ниже.

Последовательность действий для обходного метода контурного тока:

  • Этот метод предполагает использование источников напряжения (а не источников тока). Если в схеме есть источник тока, подключённый параллельно с резистором, то для использования метода нужно заменить на эквивалентный источник напряжения, подключённый последовательно с эквивалентным сопротивлением.
  • Игнорируя направление тока или полярность напряжения на резисторах, нарисуйте токовые петли против часовой стрелки, проходящие через все компоненты. Избегайте вложенных контуров.
  • Напишите уравнения ПНК, где напряжение выражено через неизвестные токи: (I1, I2 и I3 в данном случае). 1-й коэффициент в уравнении 1, 2-й коэффициент в уравнении 2 и 3-й коэффициент в уравнении 3 представляют собой положительные суммы сопротивлений резисторов вокруг соответствующих контуров.
  • Все остальные коэффициенты отрицательны, что соответствует общему сопротивлению пары контуров. Коэффициент 2 в уравнении 1 – это резистор, общий для контуров 1 и 2, коэффициент 3 - резистор, общий для контуров 1 и 3. Повторите для других уравнений и коэффициентов.
  • + (суммарное R контура 1) I1 - (общее R контуров 1-2) I2 - (общее R контуров 1-3) I3 = E1
  • - (общее R контуров 1-2) I1 + (суммарное R контура 2) I2 - (общее R контуров 2-3) I3 = E2
  • - (общее R контуров 1-3) I1 - (общее R контуров 2-3) I2 + (суммарное R контура 3) I3 = E3
  • Правая часть уравнений равна значению напряжения батареи. Напряжение повышается если предполагаемый ток движется против часовой стрелки и нулевое для отсутствия источника напряжения.
  • Решите уравнения для контурных токов: I1, I2 и I3. Найдите токи через отдельные резисторы с помощью ПКТ. Найдите напряжения, используя закон Ома и ПНК.

Хотя приведённые выше шаги ориентированы для схемы с тремя контурами, алгоритм действий можно адаптировать на меньшие или бóльшие сетки. На рисунке ниже показано применение шагов. Все три тока сначала считаем направлеными одинаково против часовой стрелки (электроны, таким образом, движутся по часовой). Для каждого из трёх контуров записывается одно уравнение ПНК. Обратите внимание, что на резисторах отсутствует полярность. Нам это не нужно для определения знаков коэффициентов. Хотя нам нужно обратить внимание на полярность источника напряжения по отношению к направлению тока. Ток I3 по часовой стрелке течёт от положительного (+) вывода батареи 24 В, а затем возвращается на отрицательный (-) вывод. Это повышение напряжения при обычном протекании тока. Следовательно, правая часть третьего уравнения равна -24V.

Рис. 31. Подробно расписываем уравнения для моста.
Рис. 31. Подробно расписываем уравнения для моста.

В Октаве введите коэффициенты в матрицу A с элементами столбцов, разделёнными запятыми, и строками, разделёнными точкой с запятой. Введите напряжения в вектор-столбец b. Найдите неизвестные токи: I1, I2 и I3 с помощью команды: x = A\b. Эти токи содержатся в векторе-столбце x. Положительные значения показывают, что все три контурных тока текут в предполагаемом направлении по часовой стрелке.

octave:2> A=[300,-100,-150;-100,650,-300;-150,-300,450]
           A =
             300  -100  -150
             -100  650  -300
             -150  -300  450

           octave:3> b=[0;0;24]
           b =
              0
              0
             24

           octave:4> x=A\b
           x =
             0.093793
             0.077241
             0.136092

Значения контурных токов соответствуют предыдущему решению, где мы решали немного по-другому. Поэтому нет смысла заново считать напряжения и силы токов для отдельные резисторов, так мы это уже сделали в прошлый раз.

Обратите внимание, что тексты по электротехнике основаны на обычном токе (бывают токи, в которых движутся не электроны, а, например, ионы, дырки или даже позитроны, но мы подобную экзотику сейчас не рассматриваем). В этих текстах методы петлевого/контурного тока предполагают, что электроны движутся по часовой стрелке. Обычный ток выходит из положительного (+) вывода батареи, течёт через цепь и возвращается к отрицательному (-) выводу. Обычное повышение ток-напряжение соответствует отслеживанию предполагаемого тока от (-) к (+) через любые источники напряжения (а падение напряжения наблюдается в обратном направлении).

Ниже приводится еще один пример предыдущей схемы. Сопротивление вокруг контура 1 составляет 6 Ом, вокруг контура 2 составляет 3 Ом. Общее сопротивление обоих контуров составляет 2 Ом. Обратите внимание на коэффициенты I1 и I2 в паре уравнений. Отслеживание предполагаемого тока в контуре 1 по часовой стрелке через B1 от (+) до (-) соответствует увеличению напряжения потока электронного тока.

Таким образом, знак 28 В положительный. Направление против часовой стрелки в контуре 2 предполагает, что ток идет от (-) до (+) через B2, то есть наблюдается падение напряжения. Таким образом, знак для B2 отрицательный: -7 во втором уравнении сетки. Опять же, на резисторах нет маркировки полярности. Они также не фигурируют в уравнениях.

Рис. 32. Электрическая схема сетки контуров.
Рис. 32. Электрическая схема сетки контуров.

Оба тока I1 = 5 A и I2 = 1 A положительны. Они оба текут по часовой стрелке в контуре. Это совпадает с предыдущими результатами.

Резюме

  • Модифицированный обходной метод контурных токов позволяет избежать необходимости определять знаки коэффициентов уравнения, если изначально определять одно направление для всех контурных токов (например, только по часовой стрелке).
  • Однако необходимо определить знак коэффициентов любых источников напряжения в контуре. Знак напряжения является положительным, если предполагается, что ток течёт против часовой стрелки и это не конфликтует с полярностью батареи. Знак отрицательный в обратном случае.
  • См. подробности в порядке действий выше.

См.также

Внешние ссылки