Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/И вновь о теореме Миллмана

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

И вновь о теореме Миллмана

Возможно, вам интересно, откуда мы взяли это странное уравнение для определения «напряжения Миллмана» в параллельных ветвях цепи, где каждая ветвь содержит последовательный источник сопротивления и источник напряжения:

Рис. 1. Теорема Милмана.

Части этого уравнения кажутся знакомыми, где-то мы это видели раньше. Например, знаменатель большой дроби заметно похож на знаменатель в нашем уравнении для нахождения параллельного сопротивления. И, конечно же, члены E/R в числителе большой дроби должны давать цифры для силы тока, в соответствии с законом Ома (I = E/R).

Теперь, когда мы знаем про эквивалентность схем Тевенена и Нортона, у нас есть инструменты, необходимые для понимания уравнения Миллмана. Фактически уравнение Миллмана обрабатывает каждую ветвь (с её последовательным источником напряжения и сопротивлением) как эквивалентную схему Тевенена, а затем преобразует каждую из них в эквивалентную схему Нортона.

Эквивалентная схема Тевенена

Рис. 2. Наша привычная схема, перерисованная под теорему Миллмана. Каждую ветвь сначала преобразуем в эквивалентную схему Тевенена, а затем в эквивалентную схему Нортона.

Таким образом, в приведенной выше схеме аккумулятор B₁ и резистор R₁ рассматриваются как источник Тевенена, который должен быть преобразован в источник Нортона на 7 ампер (28 вольт / 4 Ом), подключённый параллельно с резистором 4 Ом. Самая правая ветвь будет преобразована в источник тока 7 А (7 В / 1 Ом) и резистор 1 Ом, включенный параллельно. Центральная ветвь, вообще не содержащая источника напряжения, будет преобразована в источник тока Нортона на 0 ампер параллельно с резистором 2 Ом:

Эквивалентная схема Нортона

Рис. 3. В итоге получилась схема, где каждая параллельная ветвь является эквивалентной схемой Нортона.

Поскольку источники тока напрямую добавляют параллельно свои соответствующие токи, общая сила тока цепи будет 7 + 0 + 7, или 14 ампер. Это сумма сил тока источников токов Нортона представлена в числителе уравнения Миллмана:

Уравнение Миллмана

Рис. 4. В числителе уравнения Миллмана не что иное как сумма сил токов Нортона.

Все сопротивления Нортона параллельны друг другу в эквивалентной схеме, поэтому складываем величины, обратные сопротивлениям, получая общее сопротивление. Это уменьшение сопротивления источников и есть то, что представлено в знаменателе уравнения Миллмана:

Рис. 5. В знаменателе уравнения Миллмана не что иное как общее сопротивление, полученное из параллельных сопротивлений Нортона.

В этом случае общее сопротивление будет равно 571,43 мОм (571,43 мОм). Теперь мы можем перерисовать нашу эквивалентную схему с одной силой тока Нортона и сопротивлением Нортона:

Рис. 6. Упростив три параллельные ветки до одной, получаем единую эквивалентную силу тока Нортона и общее эквивалентное сопротивление Нортона.

Закон Ома теперь может сказать нам напряжение на этих двух компонентах (E = IR):

Рис. 7. Находим напряжение на двух компонентах.

Подведём итог тому, что мы знаем о схеме на данный момент. Мы знаем, что полная сила тока в этой цепи определяется суммой всех напряжений ветви, делённой на их соответствующие сопротивления. Мы также знаем, что общее сопротивление определяется путём взятия обратных величин всех сопротивлений ветвей. Кроме того, мы должны хорошо знать тот факт, что полное напряжение на всех ветвях можно найти, умножив общий ток на общее сопротивление (E = IR). Всё, что нам осталось сделать, это составить два уравнения, которые у нас были ранее для полной силы тока цепи и полного сопротивления, и умножить их, чтобы найти полное напряжение:

Рис. 8. Закон Ома даёт нам уравнение Миллмана для полной цепи.

Уравнение Миллмана – это не что иное, как преобразование Тевенена в Нортон, согласованное вместе с формулой параллельного сопротивления, чтобы найти полное напряжение во всех ветвях цепи. Итак, будем надеяться, что теперь это не является для вас загадкой!