Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Метод токов ветвей

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Метод токов ветвей

Первый и наиболее простой метод сетевого анализа называется методом токов ветвей. В этом методе мы предполагаем направления токов в сети, а затем пишем уравнения, описывающие их отношения друг к другу с помощью законов Кирхгофа и Ома. Если у нас есть одно уравнение для каждого неизвестного тока, мы можем решить систему уравнений и определить все токи и, следовательно, все падения напряжения в сети.

Решение с использованием метода токов ветвей

Давайте на примере этой схемы проиллюстрируем метод:

Рис. 1. Схема для демонстрации метода токов ветвей.

Выбор узла

Первый шаг - выбираем узел (соединение проводов) в цепи, который будем использовать как точку отсчёта для наших неизвестных токов. В данном случае берём узел, соединяющий правый вывод R₁, верхний вывод R₂ и левый вывод R₃.

Рис. 2. В методе токов ветвей для начала выбираем начальную точку отсчёта.

Попробуйте угадать, в каком направлении идут токи по всем трём проводам, обозначив три тока соответственно, как I₁, I₂ и I₃. Имейте в виду, что эти направления тока на данный момент являются спекулятивными (т.е. пока что это сугубо наши предположения). К счастью, если окажется, что какое-либо из наших предположений было ошибочным, мы узнаем это, когда математически найдём значения для сил тока (любые «неправильные» направления тока в нашем решении окажутся отрицательными числами).

Рис. 3. В методе токов ветвей делаем первое предположение о направлении токов в проводах, сходящихся в выбранной начальной точки отсчёта.

Применяем правило Кирхгофа для силы тока (ПКТ)

Правило Кирхгофа для силы тока (ПКТ) гласит, что алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из узла, должна быть равна нулю, поэтому мы можем связать эти три тока (I₁, I₂ и I₃) друг с другом в одном уравнении. Условно обозначим любой ток, входящий в узел, как имеющий положительный знак, а любой ток, выходящий из узла, как имеющий отрицательный знак:

Рис. 4. Правило Кирхгофа для силы тока.

Обозначим все падения напряжения

Следующим шагом является маркировка всех полярностей падения напряжения на резисторах в соответствии с предполагаемыми направлениями токов. Полярность положительная, когда ток входит в резистор, и отрицательная, когда он выходит из резистора:

Рис. 5. На следующем шаге в методе токов ветвей обозначаем полярности падения напряжения на резисторах в соответствии с направлениями токов.

Полярность батарей, конечно же, остается такой же, какой она определена изначально (на схемах короткий вывод-чёрточка означает отрицательную полярность, длинный – положительную). Пусть вас не смущает, если полярность падения напряжения на резисторе не соответствует полярности ближайшей батареи, при условии, что полярность напряжения резистора основана на предполагаемом направлении тока через него. В некоторых случаях именно такой эффект и наблюдается – ток возвращается обратно через батарею. Здесь важно помнить, что все полярности резисторов и последующие вычисления должны основываться на изначально предполагаемых направлениях тока. Как было сказано ранее, если ваше предположение окажется неверным, это станет очевидным после того, как уравнения будут решены (увидим отрицательные значения там, где их быть не должно). Однако масштаб решения все равно будет правильным.

Применяем правило Кирхгофа для напряжения (ПНК)

Правило напряжений Кирхгофа (ПНК) гласит, что алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна быть равна нулю, поэтому мы можем создать больше уравнений с токовыми переменными (I₁, I₂ и I₃) в нашей системе уравнений. Чтобы получить уравнение ПНК, мы должны подсчитать падения напряжения в контуре цепи, как если бы мы измеряли с помощью настоящего вольтметра. Наша цепь состоит из двух контуров (правый и левый), сначала «замеряем» левый. Начнём с левого верхнего угла и будем двигаться против часовой стрелки (выбирая точки подсоединения для выводов вольтметра и учитывая направление, в котором мы движемся по схеме). Что получаем в результате:

Рис. 6. Сначала замеряем напряжение на первой батарее. Учитывая направление тока тут отрицательное напряжение -28 В.

Рис. 7. На том участке нет элементов (проводом пренебрегаем), падение напряжения нулевое.

Рис. 8. Абсолютное значение падения напряжение на этом резисторе нам неизвестно, но с учётом направления тока в нашем уравнении это будет положительное число.

Рис. 9. Абсолютное значение падения напряжение на этом резисторе нам также неизвестно, но с учётом направления тока это будет положительное число.

Завершив трассировку левого контура, мы складываем эти показания напряжения вместе для получения нулевой суммы:

Рис. 10. Применяем правило Кирхгофа для напряжений, учитывая проведённые замеры в левом контуре.

Разумеется, мы ещё не знаем, точные значения для напряжений на R₁ или R₂, поэтому на данном этапе пока не можем вставить эти значения в уравнение в виде конкретных чисел. Тем не менее, мы точно знаем, что алгебраическая сумма этих трёх напряжений должны равняться нулю, поэтому данное уравнение верно. Мы можем пойти ещё дальше и выразить неизвестные напряжения как произведение соответствующих неизвестных сил токов (I₁ и I₂) и сопротивлений соответствующих резисторов, следуя закону Ома (E = IR), а также можно исключить член уравнения, равный 0:

Поскольку известны значения сопротивлений всех резисторов в омах, мы можем просто подставить эти цифры в уравнение, чтобы немного упростить ситуацию:

Рис. 11. Упрощаем уравнение для алгебраической суммы падений напряжения в левом контуре.

Наверняка Вам интересно, зачем мы прошли через все трудности, манипулируя данным уравнением, начав с его первоначальной формы (-28 + ER₂ + ER₁). В конце концов, последние два члена так и остались неизвестными, так что возникает вопрос: что нам дал перевод неизвестных напряжений в неизвестные силы тока? Цель наших манипуляций – получить уравнение ПКТ, выраженное с использованием тех же неизвестных переменных, что и уравнение ПНК, поскольку это является необходимым требованием для любого метода решения системы уравнений. Чтобы найти три неизвестных силы тока (I₁, I₂ и I₃), нам надо три уравнения, связывающих эти три тока (а не напряжения!) вместе.

Применяя те же действия уже и для правого контура схемы (начав резистора R₂ и двигаясь против часовой стрелки), мы получаем другое уравнение ПНК:

Рис. 12. Абсолютное значение падения напряжение на этом резисторе нам неизвестно, но с учётом направления тока, в нашем уравнении это будет отрицательное число.

Рис. 13. На том участке нет элементов (проводом пренебрегаем), падение напряжения нулевое.

Рис. 14. Сначала замеряем напряжение на второй батарее. Учитывая направление тока тут положительное напряжение 7 В.

Рис. 15. Абсолютное значение падения напряжение на этом резисторе нам также неизвестно, но с учётом направления тока, в нашем уравнении это будет отрицательное число.

Рис. 16. Применяем правило Кирхгофа для напряжений, учитывая проведённые замеры в правом контуре.

Теперь, как и с левым контуром, напряжение на каждом резисторе выражаем как произведение соответствующей силы тока и (известного) сопротивления. Перепишем уравнение:

Рис. 17. Упрощаем уравнение для алгебраической суммы падений напряжения в правом контуре.

Нахождение неизвестных

Теперь у нас есть математическая система из трёх уравнений (одно уравнение ПКТ и два преобразованных уравнения ПНК) с тремя неизвестными:

Рис. 18. Одно уравнение ПКТ и два уравнения ПНК дают систему из трёх уравнений с тремя неизвестными.

Для некоторых методов решения (особенно если используется калькулятор) полезно выражать каждый неизвестный член в каждом уравнении с любым постоянным значением справа от знака равенства, в том числе явно обозначать единицы как множители. Перепишем уравнение ещё раз:

Рис. 19. Немного видоизменим нашу систему уравнений (кое-где поменяем знаки).

Используя любые доступные нам методы, приходим к решению для трёх неизвестных значений тока:

Рис. 20. Значения для сил тока после решения системы уравнений.

Итак, I₁ это 5 ампер, I₂ это 4 ампер, а I₃ это 1 ампер, но со знаком минус. Но что означает этот «отрицательный» ток? В данном случае это значит, что наше предполагаемое направление для I₃ оказалось противоположным его реальному направлению. Возвращаясь к нашей исходной схеме, мы можем перерисовать стрелку тока для I₃ (и перерисовать полярность падения напряжения для R₃, чтобы она соответствовала новым реалиям):

Рис. 21. С учётом решённой системы уравнений укажем везде реальные направления сил тока (для I₃) и правильную полярность (для R₃).

Перерисовываем схему

Обратите внимание, как ток проталкивается обратно через батарею B₂ (электроны движутся «против течения», если учесть полярность напряжения этого источника питания). Это происходит потому, что на первой батарее более высокое напряжение (а вот через неё ток направлен, как и положено)! Несмотря на то, что полярность батареи B₂ пытается гнать электроны вниз в этой ветви цепи, электроны вытесняются в обратном направлении через этот аккумулятор из-за более высокого напряжения батареи B₁. Означает ли это, что более мощная батарея всегда будет «выигрывать», а более слабая батарея всегда будет пропускать ток в обратном направлении? Нет! На самом деле это зависит как от относительного напряжения батарей, так и от номиналов резисторов в цепи. Единственный надёжный способ определить, что происходит, – это потратить время на математический анализ сети.

Рассчитываем падение напряжения на всех резисторах

Теперь, когда мы знаем величину всех сил тока в этой цепи, мы можем рассчитать падение напряжения на всех резисторах с помощью закона Ома (E = IR):

Рис. 22. Расчёт падений напряжения на всех резисторах.

Анализируем сеть с помощью SPICE

Давайте теперь проанализируем эту сеть с помощью программы SPICE, чтобы проверить наши значения напряжения. Мы также можем анализировать и ток с помощью SPICE, но поскольку для этого требуется вставка дополнительных компонентов в схему, и поскольку мы знаем, что если все напряжения одинаковы и все сопротивления одинаковы, то все токи должны быть одинаковыми, выберем менее сложный анализ. Вот повторный чертёж нашей схемы с номерами узлов для SPICE:

Рис. 23. Перенумеруем узлы для анализа с помощью SPICE.

network analysis example
v1 1 0
v2 3 0 dc 7
R1 1 2 4
R2 2 0 2
R3 2 3 1
.dc v1 28 28 1
.print dc v(1,2) v(2,0) v(2,3)
.end
v1 v(1,2) v(2) v(2,3)
2.800E+01 2.000E+01 8.000E+00 1.000E+00

Разумеется, все значения напряжения оказываются одинаковыми: 20 вольт на R₁ (узлы 1 и 2), 8 вольт на R₂ (узлы 2 и 0) и 1 вольт на R₃ (узлы 2 и 3). Обратите внимание на знаки всех этих значений напряжения: все они положительные! SPICE основывает свои полярности на порядке, в котором перечислены узлы: первый узел является положительным, а второй - отрицательным. Например, положительное число (+)20 вольт между узлами 1 и 2 означает, что узел 1 является положительным по отношению к узлу 2. Если бы значение было отрицательным в анализе SPICE, мы бы знали, что наша фактическая полярность была «назад» (узел 1 отрицателен по отношению к узлу 2). Проверяя порядок узлов в списке SPICE, мы видим, что все полярности соответствуют тому, что мы определили с помощью аналитического метода токов ветвей.

Итог

Шаги, которые необходимо выполнить для анализа методом токов ветвей:

• Выберите узел с разветвлением и предположите направления токов, проходящих через него.
• Напишите уравнение ПКТ, связывающее токи в узле.
• Обозначьте полярность падения напряжения на резисторе исходя из предполагаемых направлений токов.
• Напишите уравнения ПНК для каждого контура цепи, подставляя произведение IR вместо E для каждого сопротивления в уравнениях.
• Найдите неизвестные токи в ветках цепи (решите систему уравнений).
• Если какое-либо решение отрицательное, то предполагаемое направление тока для этого решения неверно!
• Найдите падения напряжений на всех резисторах (E = IR).