Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Теорема Миллмана

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Теорема Миллмана

Для теоремы Миллмана схема перерисовывается как сеть параллельная ветвей, каждая из которых содержит резистор или последовательную комбинацию батарея/резистор. Теорема Миллмана применима только к тем схемам, которые можно таким образом перерисовать. И снова разберём пример цепи, используемый в двух предыдущих лекциях:

Рис. 1. Схема, уже неоднократно решённая разными методами в предыдущих лекциях.

А вот та же самая схема, только перерисованная для применения теоремы Миллмана:

Рис. 2. Немного перерисуем схему, чтобы наглядно показать, как работает теорема Миллмана.

Используя напряжение источников питания в каждой ветви и общее сопротивление в каждой ветви, с помощью теоремы Миллмана можно узнать общее напряжение для всех трёх ветвей. Обратите внимание, что батарея в крайней правой ветке помечена как B₃ (а не B₂, как можно было бы ожидать). Это для того, чтобы чётко обозначить её как находящуюся именно в третьей ветви, даже если в цепи фактически отсутствует B₂!

Уравнение теоремы Миллмана

Теорема Миллмана – это не что иное, как длинное уравнение, применяемое к любой цепи, которую можно представить как набор параллельно соединенных ветвей, где каждая ветвь имеет собственный источник напряжения и последовательное с ним сопротивление:

Рис. 3. Уравнение теоремы Милмана.

Подставляя фактические значения напряжения и сопротивления из нашей примерной схемы вместо переменных членов этого уравнения, мы получаем следующее выражение:

Рис. 4. Подставив значения с изначальной схемы, получаем фактическое значение общего напряжения.

Окончательный ответ 8 вольт – это напряжение, наблюдаемое на всех параллельных ветвях, например:

Рис. 5. Подключив к любой параллельной ветви вольтметр, получим одно и то же значение, вычисленное по теореме Миллмана. Если абсолютное значение падения напряжение на отдельных элементах больше, чем итоговое напряжение, то это следствие разной полярности, при которой напряжение на последовательных элементах имеет противоположные знаки (и при складывании напряжений последовательных элементов в любой параллельной ветке мы всё равно получим искомое значение).

Полярность всех напряжений в теореме Миллмана выбирается относительно одной и той же точки. В приведённом выше примере схемы я использовал нижний провод параллельной схемы в качестве контрольной точки, и поэтому напряжения в каждой ветви (28 для ветви R₁, 0 для ветви R₂ и 7 для ветви R₃) были вставлены в уравнение как положительные числа. Точно так же, когда ответ оказался равным 8 вольт (положительное число), это означало, что верхний провод цепи был положительным по отношению к нижнему проводу (нижний провод, напоминаю – это исходная точка отсчёта). Если бы обе батареи были подключены обратным образом (отрицательный вывод сверху и положительный снизу), напряжение для ветви 1 было бы введено в уравнение как -28 вольт, напряжение для ветви 3 как -7 вольт и итоговое значение было бы -8 вольт. Это означало бы, что верхний провод был отрицательным по отношению к нижнему проводу (нашей исходной точки отсчёта).

Решение проблемы падения напряжения на резисторе

Чтобы решить проблему падения напряжения на резисторе, необходимо сравнить напряжение Миллмана (для всей параллельной сети) с источником напряжения в каждой ветви, используя принцип последовательного суммирования напряжений для определения величины и полярности напряжения на каждом резисторе:

Рис. 6. Уравнения для падений напряжения на резисторах.

Решение для токов ветвей

Чтобы найти силы тока в каждой ветке, каждое падение напряжения на резисторе можно разделить на соответствующее сопротивление (I = E/R):

Рис. 7. С помощью закона Ома находим силу тока в каждой параллельной ветке.

Определение направления тока

Направление тока через каждый резистор определяется полярностью на каждом резисторе, а не полярностью на каждой батарее, поскольку ток может быть возвращён через батарею, как в случае с B₃ в схеме. Это важно иметь в виду, поскольку теорема Миллмана не даёт такого прямого указания на «неправильное» направление тока, как методы токов ветвей или контурных токов. Вы должны уделять пристальное внимание полярности падений напряжения на резисторах, как указано в правиле напряжения Кирхгофа, определяя направление токов, протекающих через них.

Рис. 8. Направления токов в ветках определяются полярностью напряжения резисторов, а не источников напряжения.

Теорема Миллмана очень удобна для определения напряжения на множестве параллельных ветвей, где имеется достаточно источников напряжения, чтобы исключить решение с помощью обычного последовательно-параллельного метода упрощения схемы. Простота также заключается в том, что не требуется решать системы уравнений. Однако метод ограничен тем, что применяется только к схемам, которые можно перерисовать, чтобы они соответствовали этому параллельному шаблону. Его нельзя использовать, например, для решения несимметричной мостовой схемы. И даже в тех случаях, когда применима теорема Миллмана, решение проблемы падения напряжения на отдельном резисторе может быть для некоторых немного пугающим, поскольку уравнение теоремы Миллмана дает только одну цифру для напряжения ветви.

Как вы увидите, каждый метод сетевого анализа имеет свои преимущества и недостатки. Каждый метод – это инструмент, и нет инструмента, который идеально подходил бы для всех работ. Однако опытный техник держит все эти методы в уме, как механик носит в своём ящике полный набор инструментов. Чем больше у вас будет инструментов, тем лучше вы будете готовы к любым неожиданностям.

Итог

• Теорема Миллмана рассматривает схемы как набор параллельных ветвей, в пределах каждой отдельной ветви элементы расположены последовательно.
• Все напряжения, введённые и вычисленные в теореме Миллмана, имеют полярность в одной и той же точке схемы (обычно на нижнем проводе параллельной сети).