Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Теорема Нортона

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Теорема Нортона

Что такое теорема Нортона?

Теорема Нортона гласит, что можно упростить любую линейную схему, независимо от ее сложности, до эквивалентной схемы с одним источником тока и параллельным сопротивлением, подключённым к нагрузке. Как и в случае с теоремой Тевенена, определение «линейный» идентично тому, что содержится в теореме суперпозиции: все основные уравнения должны быть линейными (без степеней или корней).

Упрощение линейных схем

Если сравнивать наш оригинальный пример схемы с эквивалентом Нортона, он выглядит примерно так:

Рис. 1. Знакомая схема, которую будем упрощать по Нортону. Резистор R₂ назначен нагрузочным.

… после преобразования Нортона…

Рис. 2. Эквивалентная принципиальная схема Нортона.

Помните, что источник тока – это элемент, задача которого – обеспечивать постоянное количество тока, регулируя напряжение, которое необходимо для поддержания этого постоянного тока.

Теорема Тевенена и теорема Нортона

Как и в случае с теоремой Тевенена, всё в исходной схеме, кроме сопротивления нагрузки, было упрощено до эквивалентной схемы, которую легче анализировать. Также похожи на теорему Тевенена шаги, используемые в теореме Нортона для расчёта тока источника Нортона (I_Нортон) и сопротивления Нортона (R_Нортон).

Определяем сопротивление нагрузки

Как и раньше, первым делом нужно определить сопротивление нагрузки и удалить его из исходной схемы:

Рис. 3. Сначала заменяем нагрузочный резистор на разрыв цепи.

Находим силу тока Нортона

Затем, чтобы найти силу тока Нортона (для источника тока в эквивалентной схеме Нортона), поместите прямое соединение между точками нагрузки (короткое замыкание) и определите результирующий ток. Обратите внимание, что этот шаг прямо противоположен соответствующему шагу в теореме Тевенена, где мы заменили нагрузочный резистор на разрыв (т.е. в этом месте была разомкнутая цепь):

Рис. 4. На месте нагрузочного резистора теперь короткое замыкание. Сила тока на этом участке – сумма токов, проходящих через резисторы R₁ и R₃.

Теперь между точками подключения нагрузочного резистора напряжение падает до нуля, ток через R₁ строго зависит от напряжения B₁ и сопротивления R₁: 7 ампер (I = E/R). Точно так же, ток через R₃ теперь строго зависит от напряжения B₂ и сопротивления R₃: 7 ампер (I = E/R). Полный ток через короткое замыкание между точками подключения нагрузки является суммой этих двух токов: 7 ампер + 7 ампер = 14 ампер. Эта цифра в 14 ампер становится силой тока Нортона (I_Нортон) в нашей эквивалентной схеме:

Рис. 5. Эквивалентная принципиальная схема Нортона. Теперь нам известно значение силы тока Нортона.

Найдите сопротивление Нортона

Надеюсь, вы помните, что на схеме стрелка для источника тока указывает направление обычного тока. Чтобы рассчитать сопротивление Нортона (R_Нортон), мы делаем то же самое, что и для расчёта сопротивления Тевенена (R_{Тевенен}): берем исходную схему (с удалённым нагрузочным резистором), убираем источники питания (в том же стиле как мы сделали с теоремой суперпозиции: источники напряжения заменяем проводами, а источники тока заменяем разрывами), и рассчитываем общее сопротивление от одной точки подключения нагрузки к другой:

Рис. 6. Убрав источники тока, находим сопротивление Нортона.

Теперь наша эквивалентная схема Нортона выглядит так:

Рис. 7. На эквивалентной принципиальной схеме Нортона теперь указано сопротивление Нортона.

Определяем напряжение на нагрузочном резисторе

Если мы повторно подключим наше исходное сопротивление нагрузки 2 Ом, мы сможем проанализировать схему Нортона как простую параллельную схему:

Рис. 8. Теперь табличным методом анализируем как простую параллельную схему и находим напряжение и силу тока для нагрузочного резистора.

Как и в случае эквивалентной схемы Тевенена, единственной полезной информацией из этого анализа являются значения напряжения и силы тока для R₂; остальная информация не имеет отношения к исходной схеме (т.е. неприменима к отдельным элементам искомой цепи, кроме нагрузочного резистора). Однако здесь те же преимущества, что и в теореме Тевенена: если мы хотим проанализировать напряжение и ток нагрузочного резистора по нескольким различным значениям сопротивления нагрузки, мы можем снова и снова использовать эквивалентную схему Нортона, не применяя ничего более сложного, чем простой анализ параллельной цепи для определения того, что происходит с каждой тестовой нагрузкой.

Итог

• Теорема Нортона – это способ свести сеть к эквивалентной схеме, состоящей из одного источника тока, параллельного сопротивления и параллельной нагрузки.
• Шаги, которые необходимо выполнить для теоремы Нортона:
  • Найдите силу тока Нортона, удалив нагрузочный резистор из исходной схемы и вычислив ток через короткое замыкание (провод) через открытые точки подключения, где раньше был нагрузочный резистор.
  • Найдите сопротивление Нортона, отключив все источники питания в исходной цепи (источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты) и рассчитав общее сопротивление между открытыми точками соединения.
  • Нарисуйте эквивалентную схему Нортона с источником тока Нортона параллельно сопротивлению Нортона. Нагрузочный резистор снова подключается между двумя открытыми точками эквивалентной схемы.
  • Табличным методом вычислите напряжение и ток нагрузочного резистора, следуя правилам для параллельных цепей.