Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Теорема о суперпозиции

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Теорема о суперпозиции[1]

Теорема суперпозиции – из серии «всё гениальное – просто». Другие теоремы, вроде миллмановской, конечно, справляются тоже хорошо, но не всегда очевидно, почему это работает. Что касается суперпозиции, то здесь всё как на ладони.

Последовательно-параллельный анализ

Стратегия, используемая в теореме суперпозиции, заключается в устранении всех источников питания в сети, кроме одного. Затем, используя последовательно-параллельный анализ, определяем падения напряжения (и/или силы тока) в модифицированной сети для каждого источника питания отдельно. После чего, когда падение напряжения и/или токи были определены (для каждого отдельного случая, когда оставлен только один источник питания), все значения E и I для отдельных элементов «накладываются» друг на друга (складываются алгебраически), что даёт в итоге фактические падения напряжения и/или силы тока для всех активных компонентов.

Давайте посмотрим, как работает суперпозиция, на нашем, уже ставшим привычным, примере:

Рис. 1. Уже хорошо знакомая с прошлых лекций конфигурация.
Рис. 1. Уже хорошо знакомая с прошлых лекций конфигурация.

Поскольку у нас есть два источника питания в этой цепи, нам нужно будет рассчитать два набора значений для падений напряжения и/или сил тока. Один набор для схемы с действующей только 28-вольтовой батареей…

Рис. 2. Сначала с помощью последовательно-параллельного анализа нужно рассчитать схему, в которой оставим только батарею слева.
Рис. 2. Сначала с помощью последовательно-параллельного анализа нужно рассчитать схему, в которой оставим только батарею слева.

... и один для цепи, в которой работает только 7-вольтовая батарея:

Рис. 3. Затем с помощью последовательно-параллельного анализа нужно рассчитать схему, в которой оставим только батарею справа.
Рис. 3. Затем с помощью последовательно-параллельного анализа нужно рассчитать схему, в которой оставим только батарею справа.

При повторном рисовании схемы для последовательно-параллельного анализа с одним источником все остальные источники напряжения заменяются проводами (на этом месте теперь короткое замыкание), а вместо других источников тока – разомкнутый участок цепи (на этом месте теперь обрыв). Поскольку в нашей примерной схеме есть только источники напряжения (батареи), мы заменим каждый неактивный источник во время анализа на провод.

Анализируя схему только с 28-вольтовой батареей, получаем такие значения для напряжения и тока:

Рис. 4. Рассчитаем табличным методом значения для напряжения и тока, если осталась только левая батарея.
Рис. 4. Рассчитаем табличным методом значения для напряжения и тока, если осталась только левая батарея.
Рис. 5. Рассчитанные табличным методом значения отобразим на схеме.
Рис. 5. Рассчитанные табличным методом значения отобразим на схеме.

Проведя последовательно-параллельный анализ только с 7-вольтовой батареей, получаем другой набор значений напряжения и тока:

Рис. 6. Рассчитаем табличным методом значения для напряжения и тока, если осталась только правая батарея.
Рис. 6. Рассчитаем табличным методом значения для напряжения и тока, если осталась только правая батарея.
Рис. 7. Рассчитанные табличным методом значения отобразим на схеме.
Рис. 7. Рассчитанные табличным методом значения отобразим на схеме.

Делаем наложение

При наложении этих значений напряжения и силы тока следует внимательно учитывать полярность (падения напряжения) и направление (потока тока), так как значения должны складываться алгебраически.

Рис. 8. Наложение напряжения. Если полярности совпадают, то совпадают и знаки, если полярности противоположны, то знаки тоже противоположны.
Рис. 8. Наложение напряжения. Если полярности совпадают, то совпадают и знаки, если полярности противоположны, то знаки тоже противоположны.

Осталось применить к схеме эти наложенные значения напряжения:

Рис. 9. Напряжения, найденные с помощью суперпозиции, отображаем на схеме.
Рис. 9. Напряжения, найденные с помощью суперпозиции, отображаем на схеме.

Токи можно вычислить аналогично: сложив алгебраически значения при накладывании друг на друга, также как это только что сделали для напряжений. Либо можно просто рассчитывать из конечных падений напряжения и соответствующих сопротивлений по закону Ома (I = E/R). В любом случае ответы будут одинаковыми. Тут я всё-таки применю метод суперпозиции и для тока:

Рис. 10. Наложение сил тока. Если направления токов совпадают, то совпадают и знаки, если направления противоположны, то знаки тоже противоположны.
Рис. 10. Наложение сил тока. Если направления токов совпадают, то совпадают и знаки, если направления противоположны, то знаки тоже противоположны.

Еще раз применяем эти наложенные фигуры к нашей схеме:

Рис. 9. Силы тока (и их направления), найденные с помощью суперпозиции, отображаем на схеме.
Рис. 11. Силы тока (и их направления), найденные с помощью суперпозиции, отображаем на схеме.

Когда применяется теорема суперпозиции?

Довольно просто и изящно, ведь так? Однако следует отметить, что теорема суперпозиции работает только для схем, которые сводятся к последовательно-параллельным комбинациям для каждого из источников питания одновременно (что делает теорему бесполезной, например, для анализа несимметричных мостовых схем). А также теорема применима только там, где лежащие в основе уравнения линейны (без математических степеней или корней). Требование линейности означает, что теорема суперпозиции применима только для определения напряжения и тока, но не мощности!!! Рассеяние мощности, являясь нелинейной функцией, алгебраически не увеличивает точную общую сумму, когда единовременно рассматривается только один источник питания. Необходимость линейности также означает, что эта теорема не может применяться в цепях, в которых сопротивление компонента изменяется в зависимости от напряжения или тока. Следовательно, сети, содержащие такие компоненты, как лампы (лампы накаливания или газоразрядные) или варисторы, не могут быть проанализированы таким образом.

Еще одним обязательным условием для теоремы суперпозиции является то, что все компоненты должны работать «в обе стороны». Это означает, что они ведут себя одинаково с электронами, проходящими через них в любом направлении. Резисторы не имеют поведения, зависящего от полярности, поэтому все схемы, которые мы изучали до сих пор, соответствуют этому критерию.

Теорема суперпозиции находит применение при исследовании цепей переменного тока (AC) и полупроводниковых цепей (усилителей), где иногда переменный ток часто смешивается (накладывается) с постоянным. Поскольку уравнения для переменного напряжения и тока (закон Ома) линейны, как и для постоянного тока, мы можем использовать суперпозицию для анализа схемы только с источником питания постоянного тока, а затем только с источником питания переменного тока, объединяя результаты, чтобы определить, что произойдет с постоянным и переменным током. И, что особенно приятно, если метод суперпозиции применим, то для анализа схемы не нужно решать системы уравнений.

Итог

  • Теорема суперпозиции гласит, что схема может быть проанализирована только с одним источником питания за раз, а соответствующие напряжения и токи компонентов алгебраически складываются, что позволяет выяснить значения напряжений и сил тока, если действуют все источники питания.
  • Чтобы для анализа отключить «лишние» источники питания, заменяйте источники напряжения на провод, а источники тока – на разомкнутый участок цепи.

См.также

Внешние ссылки