Электроника:Постоянный ток/Катушки индуктивности/Катушки индуктивности и дифференциальное исчисление

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Катушки индуктивности и дифференциальное исчисление

Индуктивные элементы не обладают стабильным «сопротивлением», как проводники. Однако существует определённая математическая зависимость между напряжением и силой тока индуктора, а именно:

Рис. 1. Математическое соотношение для напряжения и силы тока индуктивных элементов.

Уравнение подобного вида вам хорошо знакомо ещё из главы про конденсаторы. Оно связывает одну переменную (в данном случае падение напряжения на катушке индуктивности) со скоростью изменения другой переменной (в данном случае – сила тока, проходящего через катушку индуктивности). И напряжение (v), и скорость изменения тока (di/dt) являются мгновенными: то есть по отношению к определенному моменту времени, поэтому, как принято в дифференциальном исчислении, здесь используются строчные буквы «v» и «i».

Как и в случае с формулой для конденсатора, принято выражать мгновенное напряжение как v, а не e, иначе будет неправильно. Текущая скорость изменения (di/dt) выражается в единицах «ампер в секунду», положительное число показывает увеличение напряжения, а отрицательное – уменьшение.

Как и в случае с конденсатором, поведение катушки индуктивности зависит от времени. Помимо любого сопротивления, присущего индуктору (которое мы в пределах этого раздела будем считать равным нулю), падение напряжения на выводах катушки индуктивности напрямую связано с тем, насколько быстро сила тока меняется с течением времени.

Предположим, мы подключили идеальную катушку индуктивности (с нулевым сопротивлением провода) к цепи, где количество тока меняется с помощью потенциометра, подключённого как переменный резистор:

Рис. 2. Цепь состоит из: 1) источника питания, 2) идеальной (с нулевым сопротивлением) катушки индуктивности; 3) вольтметра, для замера падения напряжении на катушке; 4) потенциометра, который будет выполнять роль переменного резистора; 4) амперметра для замера общей силы тока в цепи.

Если механизм потенциометра остаётся в одном положении (не двигаем ползунок), последовательно подключённый амперметр будет регистрировать постоянный (неизменный) ток, а вольтметр, подключённый к катушке индуктивности, будет регистрировать падение напряжение на индукторе в 0 вольт. В этом сценарии мгновенная скорость изменения тока (di/dt) равна нулю, потому что ток стабилен.

Как видно из самого уравнения, при изменении di/dt на 0 ампер в секунду будет нулевое мгновенное напряжение (v) на катушке индуктивности. С физической точки зрения, без изменения силы тока, индуктор будет создавать постоянное магнитное поле. При отсутствии изменения магнитного потока (dΦ/dt = 0 Вебер в секунду) не будет наблюдаться падения напряжения по длине катушки из-за индукции.

Рис. 3. Стабильные показания на амперметре и вольтметре, если не двигать ползунок потенциометра.

Теперь неторопливо переместим ползунок потенциометра в направлении «вверх», т.е. медленно уменьшаем его сопротивление. Это приводит к увеличению силы тока в цепи, поэтому показания амперметра также медленно увеличиваются:

Рис. 4. Медленно двигаем ползунок потенциометра вверх, увеличивая силу тока в цепи.

Предполагается, что ползунок перетаскиваем таким образом, что скорость увеличения силы тока через индуктор является постоянной, т.е. член di/dt из формулы будет фиксированным значением. Это фиксированное значение, умноженное на индуктивность в Генри (также фиксированное), даёт фиксированное значение для падения напряжения. С физической точки зрения постепенное увеличение силы тока приводит к тому, что магнитное поле также увеличивается.

Это постепенное увеличение магнитного потока вызывает индуцирование напряжения в катушке, что выражено в уравнении магнитной индукции Майкла Фарадея: e = N(dΦ/dt). Это самоиндуцированное напряжение на катушке в результате постепенного изменения величины силы тока, кстати, имеет полярность, которая направлена на противодействие изменению силы тока. Другими словами, полярность индуцированного напряжения, возникающая в результате увеличения тока, будет ориентирована на противодействие направлению тока, чтобы попытаться удержать силу тока на прежнем уровне.

Это явление демонстрирует более общий принцип физики, известный как правило Ленца, которое гласит, что индуцированный эффект всегда будет противоположен причине, его вызывающей.

Зависимость напряжения по времени, если изменяется сила тока в индукторе

Рассмотрим сценарий, в котором индуктивный элемент действует как нагрузка. Возникает индуцированное напряжение, имеющее отрицательную полярность с той стороны, где входит поток электронов, и положительную – где выходит.

Рис. 5. Ползунок потенциометра медленно и равномерно передвигаем в направлении «вверх».

Если увеличивать силу тока с переменной скоростью путём неравномерного перемещения ползунка «вверх», то это приводит к скачкообразным изменениям падения напряжения на катушке индуктивности, причём всегда будет наблюдаться одна и та же полярность (направленная на противодействие увеличению тока):

Рис. 6. Неравномерно перемещаем «вверх» ползунок потенциометра.

Здесь мы снова видим, что производная функция исчисления проявляется в поведении индуктивного элемента. С точки зрения математического анализа можно сказать, что индуцированное напряжение на катушке является производной от силы тока, протекающего через индуктор, то есть пропорционально скорости изменения силы тока с течением времени.

Если двигать ползунок в обратном направлении («вниз», а не «вверх»), то сопротивление в цепи начнёт расти. Сила тока в цепи будет уменьшаться (di/dt будет со знаком минус). Катушка индуктивности, всегда противодействуя любому изменению общей силы тока в цепи, будет вызывать падение напряжения, противоположное направлению изменения:

Рис. 7. Уменьшается сопротивление.

Сколько напряжения произведёт катушка индуктивности, зависит от того, насколько быстро уменьшается сила тока, проходящего через неё. Согласно правилу Ленца, индуцированное напряжение противодействует изменению тока. При уменьшении силы тока полярность напряжения будет ориентирована так, чтобы попытаться сохранить ток на прежнем уровне.

В этом сценарии индуктор действует как источник индуцированного напряжения с противоположной полярностью с той стороны, где выходит поток электронов, и совпадающей полярностью индуцированного напряжения на той стороне, где входящий электронный поток. Чем быстрее снижается ток, тем большее напряжение будет вырабатывать индуктивный элемент с высвобождением накопленной энергии, чтобы сохранить постоянный ток.

Опять же, величина напряжения на «идеальной» (т.е. без внутреннего сопротивления) катушке прямо пропорционально скорости изменения силы тока, проходящего через неё. Единственное различие между эффектами уменьшения и увеличения силы тока – это полярность индуцированного напряжения.

При равномерном изменения силы тока (причём неважно, увеличивается он или уменьшается), величина напряжения (в вольтах) будет одинаковой. Например, при di/dt, равным -2 ампера в секунду, будет производиться такое же количество индуцированного падения напряжения на катушке индуктивности, как di/dt, равным +2 ампера в секунду, разница только в том, что полярности в обоих случаях будут противоположны.

Если сила тока через катушку индуктивности изменяется очень быстро, будут возникать очень высокие напряжения. Рассмотрим такую схему:

Рис. 8. Электрическая схема с неоновой лампой. Лампа подключена к клеммам катушки индуктивности, поэтому на ней всегда будет такое же напряжение, что и на индуктивном элементе.

В этой схеме к клеммам индуктивного элемента подключена лампа. Для управления током в цепи используется переключатель, а питание подаётся от батареи на 6 В. Если переключатель замкнуть, индуктор короткое время противодействует изменению силы тока от нуля до некоторой величины. На катушке падение напряжения произойдёт, но незначительное.

Для ионизации газа в такой неоновой лампочке требуется порядка 70 вольт, чтобы её зажечь – 6-вольтвой батареи не хватит. При замыкании переключателя мгновенного изменения напряжения на индукторе будет слишком мало:

Рис. 9. При замыкании цепи на катушке индуктивности произойдёт мгновенное падение напряжения, направленное на противодействие изменению силы тока в цепи. Однако учитывая слабую батарею, возникающего напряжения не хватит чтобы зажечь неоновую лампу.

Однако, есть переключатель разомкнуть, то сопротивление в цепи резко станет чрезвычайно высоким (оно станет равным сопротивлению воздушного зазора между контактами переключателя). Такое сильное и внезапное повышение сопротивления вызовет почти мгновенное уменьшение силы тока в цепи. Математически член di/dt будет очень большим отрицательным числом.

Такое резкое изменение тока (от некоторой величины до нуля за очень короткое время) приведёт к очень высокому напряжению на катушке индуктивности, с отрицательной полярностью слева и положительной справа, в попытке противодействовать этому уменьшению тока. Произведённого в такой ситуации напряжения обычно более чем достаточно, чтобы зажечь неоновую лампу, хотя бы на короткое время, пока сила тока не упадёт до нуля:

Рис. 10. При размыкании цепи сопротивление становится очень большим, что приводит к резкому перепаду напряжения на катушке индуктивности. Несмотря на слабый аккумулятор, возникающего напряжения хватает, чтобы зажечь неоновую лампу.

Чтобы явление индуктивности использовать по максимуму, рекомендуется делать катушки с индуктивностью настолько большой, насколько это возможно желательно, не менее 1 Генри).