Электроника:Постоянный ток/Конденсаторы/Конденсаторы и дифференциальное исчисление

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Конденсаторы и дифференциальное исчисление

У конденсаторов отсутствует стабильное «сопротивление», как у проводников. Однако есть определённая математическая зависимость между напряжением на конденсаторе и силой тока, проходящего через него:

Рис. 1. Закон Ома для конденсатора.

Строчная буква «i» обозначает мгновенное значение силы тока, т.е. величину тока в определённый момент времени. Это контрастирует с постоянным или средним значением силы тока (обозначается заглавной буквой «I»), который течёт по цепи в течение неопределённого периода времени. Выражение «dv/dt» пришло из дифференциального исчисления, здесь это означает мгновенную скорость изменения напряжения во времени или скорость изменения напряжения (на сколько вольт в секунду увеличивается или уменьшается) в определённый момент времени, при этом это тот же конкретный момент времени, в который считывается мгновенное значение силы тока.

По какой-то неведомой причине в данной формуле обычно используется буква «v» для мгновенного напряжения, хотя было бы логичнее, если бы здесь была буква «e». Как бы то ни было, обозначать мгновенную скорость изменения напряжения как «de/dt» считается некорректным.

В этом уравнении мы столкнулись с кое-чем, чего раньше не было в контексте нашего изучения электрических цепей: мы ввели переменную для времени. Когда мы раннее взаимно увязывали напряжение, силу тока и сопротивление, не имело значения, были ли выполнены эти измерения в течение неопределённого периода времени (E = IR; V = IR) или в определённый момент времени (e = ir; v = ir). Основная формула оставалась верна, потому что время не имеет отношения к напряжению, силе тока и сопротивлению, если речь шла о таким элементе цепи как резистор.

Однако в конденсаторе время является важной переменной, поскольку сила тока зависит от того, насколько быстро изменяется напряжение во времени. Чтобы понять эту концепцию, в дальнейшем тексте будет приведено несколько иллюстраций. Предположим, мы подключили конденсатор к источнику переменного напряжения, состоящему из потенциометра и батареи:

Рис. 2. Источник постоянного напряжения и потенциометр (резистор, на котором можно регулировать сопротивление с помощью ползунка) вместе образуют источник переменного напряжения. К этой системе подключён конденсатор. С помощью вольтметра будем замерять напряжение на конденсаторе. Для замеров не только силы тока в цепи, но и его направления, используем амперметр с нулевым центром.

Если механизм потенциометра остаётся в одном положении (не двигаем ползунок), вольтметр, подключённый к конденсатору, будет регистрировать постоянное (неизменное) напряжение, а амперметр будет регистрировать 0 ампер. В этом сценарии мгновенная скорость изменения напряжения (dv/dt) равна нулю, потому что напряжение не меняется. Уравнение говорит нам, что при изменении dv/dt на 0 вольт в секунду мгновенная сила тока (i) должна быть нулевой. С физической точки зрения, без изменения напряжения, нет необходимости в каком-либо движении электронов для добавления или вычитания заряда с пластин конденсатора, и, следовательно, не будет и тока.

Рис. 3. На графиках видно, что если напряжение не меняется со временем (а чего ему меняться, если батарея является источником постоянного напряжения, а ползунок реостата не двигаем, в результате чего сопротивление тоже не меняется), то сила тока стабильно равна нулю, то есть через конденсатор ток не течёт.

Теперь, давайте в нашем мысленном эксперименте ползунок потенциометра медленно и равномерно будем перемещать в направлении «вверх», в результате чего к конденсатору будет постепенно будет прилагаться всё большее напряжение. Тогда показания вольтметра будут медленно увеличиваться:

Рис. 4. Медленно и равномерно перемещаем ползунок на потенциометре «вверх», в результате чего напряжение на конденсаторе будет равномерно увеличиваться.

Допустим, ползунок потенциометра перемещаем таким образом, что скорость увеличения напряжения на конденсаторе была постоянной (например, напряжение увеличивается с постоянной скоростью 2 вольта в секунду). Тогда в формуле член dv/dt будет равен одной и той же величине. Согласно уравнению, это фиксированное значение dv/dt, умноженное на ёмкость конденсатора в фарадах (ёмкость также будет фиксированной), даёт не меняющуюся силу тока. С физической точки зрения увеличение напряжения на конденсаторе требует увеличения разности потенциалов между пластинами. Таким образом, при медленном и равномерном увеличении напряжения будет наблюдаться медленная и равномерная скорость накопления заряда в конденсаторе, что соответствует небольшому и равномерному течению тока. В этом сценарии конденсатор заряжается и действует как нагрузка, при этом ток входит в положительную пластину и выходит из отрицательной, поскольку конденсатор накапливает энергию, сила его электрического поля возрастает.

Рис. 5. Ток входит в положительную пластину и выходит из отрицательной, т.е. конденсатор накапливает энергию в своём электрическом поле.

Если ползунок перемещать в том же направлении, но с большей скоростью, скорость изменения напряжения (dv/dt) будет больше, тогда увеличится и сила тока, проходящего через конденсатор:

Рис. 6. Быстро и равномерно перемещаем ползунок на потенциометре «вверх», в результате чего напряжение на конденсаторе будет равномерно увеличиваться (это будет происходить быстрее, чем в прошлый раз).

Рис. 7. Ползунок двигаем равномерно, но заметно быстрее чем в предыдущий раз. Скорость изменения напряжения будет выше, сила тока через конденсатор увеличится.

Когда студенты-математики приступают к изучению дифференциального исчисления, первым делом знакомятся с концепцией скорости приращения различных математических функций. Производная, которая является первым и наиболее элементарным принципом исчисления, является выражением скорости изменений одних переменных по отношению к другим переменным. Студентам математических факультетов приходится осваивать эти вещи, штудируя их в скучных абстрактных уравнениях. Вам же, практикам-электротехникам, предоставляется прекрасная возможность разобраться с этими понятиями на живых интересных примерах, изучая электрические цепи!

Чтобы выразить эту взаимосвязь между напряжением и мгновенным током в конденсаторе в терминах дифференциального исчисления, усвойте вот что: мгновенный ток через конденсатор является производной напряжения на конденсаторе по времени. Или, говоря проще, сила тока для конденсатора прямо пропорциональна тому, насколько быстро изменяется напряжение на нём. В этой схеме, где напряжение конденсатора устанавливается положением поворотной ручки на потенциометре, мы можем сказать, что ток конденсатора прямо пропорционален тому, насколько быстро мы двигаем этот ползунок.

Если бы мы перемещали ползунок потенциометра в том же направлении, что и раньше («вверх»), но с разной скоростью, то получили бы графики, которые выглядели бы примерно вот так:

Рис. 8. Снова двигаем «вверх» ползунок потенциометра, но делаем это с непостоянной скоростью. Скорость изменения напряжения будет неравномерно увеличиваться/уменьшаться, сила мгновенного тока на конденсаторе будет «скакать».

Обратите внимание, что в любой момент времени мгновенная сила тока, проходящего через конденсатор пропорциональна скорости изменения напряжения (или можно сказать, что она зависит от «крутизны» графика напряжения конденсатора). Когда линия графика напряжения быстро растёт (т.е. имеет крутой наклон), сила тока также будет большой. Если график напряжения имеет небольшой наклон, то и ток будет небольшой. В одном месте на графике напряжения, где оно выравнивается (на том участке, где синяя линия параллельна оси времени, это нулевой наклон, соответствует тому промежутку времени, когда ползунок не двигался), тут сила тока падает до нуля.

Если мы переместим ползунок потенциометра в направлении «вниз», напряжение на конденсаторе, скорее всего, начнёт уменьшаться, а не увеличиваться. Опять же, конденсатор будет реагировать на это изменение напряжения, создавая ток, но на этот раз ток будет течь в противоположном направлении. Уменьшение напряжения на конденсаторе потребует уменьшения разницы зарядов между его пластинами, и единственный способ, при которым это возможно – это реверсное (т.е. обратное) направление тока, когда конденсатор разряжается, а не заряжается. В этом процессе разрядки, когда ток выходит из положительной пластины и входит в отрицательную, конденсатор будет действовать как источник напряжения, как батарея, передавая свою накопленную энергию остальной части цепи.

Рис. 9. Ползунок потенциометра перемещаем «вниз». Напряжение на конденсаторе уменьшается, он начинает разряжаться, передавая накопленную энергию остальной цепи.

Опять же, величина тока, проходящего через конденсатор прямо пропорциональна скорости изменения напряжения на нём. Единственная разница между эффектом уменьшения и увеличения напряжения – это направление тока.

При одинаковой скорости изменения напряжения с течением времени, будь то хоть увеличение напряжения, хоть уменьшение, величина тока (в амперах), входящего в конденсатор или исходящего из него, будет одинаковой.

Математически уменьшение скорости изменения напряжения выражается как отрицательная величина dv/dt. Согласно формуле i = C(dv/dt), это приведёт к тому, что текущее значение (i) также будет иметь отрицательный знак, указывая направление потока, и свидетельствующее о том, что конденсатор разряжается.