Электроника:Постоянный ток/Постоянные времени в RC и L/R цепях/Сложные схемы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Сложные схемы[1]

Что делать, если схема более сложна, чем простые последовательные конфигурации, рассмотренные раннее? Например, возьмём такую схему:

Рис. 1. Пример более сложной (последовательно-параллельной) схемы.
Рис. 1. Пример более сложной (последовательно-параллельной) схемы.

Простая формула постоянной времени (τ = RC) предполагает простое последовательное соединение сопротивления и конденсатора. Такое же последовательное подключение сопротивления к индуктивному элементу предполагается и для формулы постоянной времени для индуктивной цепи (τ = L/R). Итак, как быть в такой ситуации, когда резисторы последовательно-параллельно соединены с конденсатором (или катушкой индуктивности)?

Теорема Тевенена

Ответ дан ещё в главе 10 «Анализ сетей постоянного тока». Теорема Тевенена, которую мы тогда рассмотрели, утверждает, что с помощью пары простых шагов можно любую линейную цепь упростить до эквивалентной схемы, состоящей из одного источника напряжения, одного последовательного сопротивления и компонента нагрузки. Чтобы применить теорему Тевенена к нашему примеру, мы рассмотрим реактивную составляющую (конденсатор) как нагрузку и временно исключим её из схемы, чтобы найти напряжение Тевенена и сопротивление Тевенена.

И как только мы определим значения электрических характеристик для эквивалентной схемы Тевенена, вернём конденсатор в схему и найдём значения для напряжения и силы тока с течением времени, как мы это делали в простых случаях.

Итак, определив конденсатор как «нагрузку», удаляем его из схемы и вычисляем напряжение на выводах нагрузки (предполагается, что переключатель замкнут):

Рис. 2. Рассматривая конденсатор как нагрузку, находим напряжение для эквивалентов Тевенена.
Рис. 2. Рассматривая конденсатор как нагрузку, находим напряжение для эквивалентов Тевенена.
Рис. 3. Исключив конденсатор из схемы, табличным методом рассчитываем электрические характеристики.
Рис. 3. Исключив конденсатор из схемы, табличным методом рассчитываем электрические характеристики.

На этом шаге видим, что напряжение на выводах нагрузки (оно будет таким же, что и на резисторе R2) будет 1,8182 В (мы замеряем напряжение в точках, где находятся её выводы). Немного поразмыслив, становится понятно, что это будет наше конечное напряжение на конденсаторе, поскольку полностью заряженный конденсатор действует как разомкнутая цепь, потребляя нулевой ток. Мы возьмём это значение для напряжения источника нашей эквивалентной схемы Тевенена.

Теперь, чтобы вычислить сопротивление Тевенена, нужно исключить все источники питания в исходной схеме и рассчитать сопротивление, которое будет наблюдаться на выводах нагрузки:

Рис. 4. Рассчитываем параллельно-последовательное сопротивление.
Рис. 4. Рассчитываем параллельно-последовательное сопротивление.

Напряжение Тевенена и сопротивление Тевенена есть, перерисовывая оригинальную схему в её полный эквивалент Тевенена:

Рис. 5. Изначальная схема, перерисованная в её эквивалентную схему Тевенена.
Рис. 5. Изначальная схема, перерисованная в её эквивалентную схему Тевенена.

Постоянная времени для этой цепи будет равна сопротивлению Тевенена, умноженному на ёмкость (τ = RC):

Рис. 6. Вычисляем постоянную времени для эквивалентной схемы Тевенена.
Рис. 6. Вычисляем постоянную времени для эквивалентной схемы Тевенена.

Теперь можно найти напряжение на конденсаторе напрямую с помощью универсальной формулы постоянной времени. Давайте посчитаем для значения 60 миллисекунд. Поскольку это ёмкостная формула, вычисляем для напряжения, а не силы тока:

Рис. 7. Расчёт напряжения на конденсаторе с учётом постоянной времени спустя 60 миллисекунд.
Рис. 7. Расчёт напряжения на конденсаторе с учётом постоянной времени спустя 60 миллисекунд.

Опять же, поскольку наше начальное значение напряжения конденсатора было принято равным нулю, фактическое напряжение на конденсаторе за 60 миллисекунд равно величине изменения напряжения от нуля, или 1,3325 вольт.

Можно не останавливаться на достигнутом и продемонстрировать эквивалентность RC-цепи Тевенена и исходной схемы с помощью компьютерного анализа. Для этого воспользуемся нашей любимой программой анализа электрических цепей SPICE:

Comparison RC analysis
* Сравнительный анализ RC-цепи

* Во-первых, список элементов исходной цепи:  
v1 1 0 dc 20    
r1 1 2 2k  
r2 2 3 500      
r3 3 0 3k  
c1 2 3 100u ic=0

* Затем, список элементов эквивалентной схемы Тевенена:
v2 4 0 dc 1.818182      
r4 4 5 454.545  
c2 5 0 100u ic=0

* Теперь мы анализируем переходные процессы с шагом
* выборки каждые 0.005 секунд в течении всего 0.37 секунд.
* Печатаем список значений напряжения на конденсаторе
* исходной схемы (между узлами 2 и 3) и на конденсаторе
*  эквивалентной схемы Тевенена (между узлами 5 и 0)
  
.tran .005 0.37 uic     
.print tran v(2,3) v(5,0)      
 
.end

Если запустить программу, то она напечатает такую таблицу:

Время v(2,3) v(5)
0.000E+00 4.803E-06 4.803E-06
5.000E-03 1,890E-01 1,890E-01
1.000E-02 3,580E-01 3,580E-01
1. 500E-02 5.082E-01 5.082E-01
2.000E-02 6.442E-01 6.442E-01
2.500E-02 7.689E-01 7.689E-01
3.000E-02 8.772E-01 8.772E-01
3.500E-02 9.747E-01 9.747E-01
4.000E-02 1.064E+00 1.064E+00
4.500E-02 1.142E+00 1.142E+00
5.000E-02 1.212E+00 1.212E+00
5.500E-02 1.276E+00 1.276E+00
6.000E-02 1.333E+00 1.333E+00
6.500E-02 1.383E+00 1.383E+00
7.000E-02 1.429E+00 1.429E+00
7.500E-02 1.470E+00 1.470E+00
8.000E-02 1.505E+00 1.505E+00
8.500E-02 1.538E+00 1.538E+00
9.000E-02 1.568E+00 1.568E+00
9.500E-02 1.594E+00 1.594E+00
1.000E-01 1.617E+00 1.617E+00
1.050E-01 1.638E+00 1.638E+00
1.100E-01 1.657E+00 1.657E+00
1.150E-01 1.674E+00 1.674E+00
1.200E-01 1.689E+00 1.689E+00
1.250E-01 1.702E+00 1.702E+00
1.300E-01 1.714E+00 1.714E+00
1.350E-01 1.725E+00 1.725E+00
1.400E-01 1.735E+00 1.735E+00
1.450E-01 1.744E+00 1.744E+00
1.500E-01 1.752E+00 1.752E+00
1.550E-01 1.758E+00 1.758E+00
1.600E-01 1.765E+00 1.765E+00
1.650E-01 1.770E+00 1.770E+00
1.700E-01 1.775E+00 1.775E+00
1.750E-01 1.780E+00 1.780E+00
1.800E-01 1.784E+00 1.784E+00
1.850E-01 1.787E+00 1.787E+00
1.900E-01 1.791E+00 1.791E+00
1.950E-01 1.793E+00 1.793E+00
2.000E-01 1.796E+00 1.796E+00
2.050E-01 1.798E+00 1.798E+00
2.100E-01 1.800E+00 1.800E+00
2.150E-01 1.802E+00 1.802E+00
2.200E-01 1.804E+00 1.804E+00
2.250E-01 1.805E+00 1.805E+00
2.300E-01 1.807E+00 1.807E+00
2.350E-01 1.808E+00 1.808E+00
2.400E-01 1.809E+00 1.809E+00
2.450E-01 1.810E+00 1.810E+00
2.500E-01 1.811E+00 1.811E+00
2.550E-01 1.812E+00 1.812E+00
2. 600E-01 1.812E+00 1.812E+00
2,650E-01 1.813E+00 1.813E+00
2.700E-01 1.813E+00 1.813E+00
2.750E-01 1.814E+00 1.814E+00
2,800E-01 1.814E+00 1.814E+00
2,850E-01 1.815E+00 1.815E+00
2.900E-01 1.815E+00 1.815E+00
2.950E-01 1.815E+00 1.815E+00
3.000E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.050E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.100E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.150E-01 1.816E+00 1.816E+00
3.200E-01 1.817E+00 1.817E+00
3,250E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.300E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.350E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.400E-01 1.817E+00 1.817E+00
3,450E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.500E-01 1.817E+00 1.817E+00
3.500E-01 3,550E-01 3,550E-01
3.600E-01 1.818E+00 1.818E+00
3.650E-01 1.818E+00 1.818E+00
3,700E-01 1.818E+00 1.818E+00

В каждой строке этой сравнительной таблицы конденсаторы в обеих цепях (в исходной схеме и эквивалентной схеме Тевенена) показывают одинаковое напряжение, что демонстрирует эквивалентность двух цепей.

Итог

См.также

Внешние ссылки