Электроника:Постоянный ток/Схемы с делителями напряжения и правила Кирхгофа/Правило напряжений Кирхгофа (ПНК)

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Правило напряжений Кирхгофа (ПНК)

Что такое правило напряжений Кирхгофа (ПНК)?

Принцип, известный как правило напряжений Кирхгофа (открытый в 1847 году немецким физиком Густавом Р. Кирхгофом), можно сформулировать следующим образом:

«Алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна равняться нулю»

Под алгебраическим подразумевается учёт не только величин, но и знаков (полярностей). Под контуром подразумевается все возможные пути, по которым электрический ток проходит от одной точки в цепи до других точек и затем возвращается обратно в исходную точку.

Демонстрация правила напряжений Кирхгофа в последовательной цепи

Ещё разок взглянем на наш пример простой последовательной схемы из прошлого раздела, на этот раз пронумеруем точки в цепи для опорного напряжения:

Рис. 1. На этой последовательной цепи ознакомимся с правилом напряжений Кирхгофа.

Если бы мы подключили вольтметр между точками 2 и 1, подсоединив красный измерительный провод к точке 2 и чёрный к точке 1, измеритель зарегистрировал бы +45 вольт. Обычно знак «+» не отображается, а скорее подразумевается для положительных показаний на дисплеях цифровых счётчиков. Однако для этого урока очень важна полярность показаний напряжения, поэтому я буду явно показывать положительные числа:

Рис. 2. Уравнение полярности при считывании напряжения.

Когда напряжение указывается с двойным нижним индексом (символы «2-1» в обозначении «E_2-1»), это означает напряжение в первой точке (2), измеренное относительно второй точки (1). Напряжение, отмеченное как «E_cd», будет означать напряжение, указанное цифровым измерителем с красным измерительным проводом в точке «c» и черным измерительным проводом в точке «d»: т.е. напряжение в точке «c» относительно точки «d».

Рис. 3. Значение E_cd – напряжение в точке с относительно точки d.

Если бы мы взяли тот же вольтметр и измерили падение напряжения на каждом резисторе, обходя цепь по часовой стрелке, присоединив красный измерительный проводок к первой точке и чёрным измерительным проводом ко второй точке, мы получили бы такие показания:

Рис. 4. Измерение падений напряжения на участках 3-2, 4-3 и 1-4.

Рис. 5. Измерение падений напряжения на всех участках для демонстрации правила напряжений Кирхгофа.

Мы уже знакомы с общим принципом для последовательных цепей, гласящим, что отдельные падения напряжения в сумме составляют общее приложенное напряжение. Но если измерять падения напряжения, учитывая также и полярность показаний (т.е. математический знак «плюс» или «минус», характеризующий от какой точки до какой мы замеряем напряжение), то данный подход открывает ещё одну грань происходящих процессов: все измеренные напряжения в сумме равны нулю:

Рис. 6. Демонстрация общего принципа для последовательных цепей – измеряем падения напряжения на участках, выбрав направление против часовой стрелки.

В приведённом выше примере контур образован следующими точками в указанном порядке: 1-2-3-4-1. Не имеет значения, с какой точки мы начинаем или в каком направлении идём при отслеживании напряжений в точках контура; алгебраическая сумма напряжений, если обходить участки хоть в одну сторону, хоть в другую – по-прежнему будет равна нулю. Чтобы показать это, подсчитаем напряжения в контуре 3-2-1-4-3 той же цепи:

Рис. 7. Демонстрация общего принципа для последовательных цепей – измеряем падения напряжения на участках, выбрав направление по часовой стрелке.

Это будет более понятным, если перерисовать нашу последовательную схему так, чтобы все элементы были расположены на прямой линии:

Рис. 8. Перерисуем схему так, чтобы резисторы находились на одной линии – так будет более наглядно воспринимать направление тока в цепи.

Это все та же последовательная схема с элементами, расположенными в той же последовательности, но это отображено в другом виде. Обратите внимание на полярность падений напряжения на резисторах относительно источника питания: напряжение батареи отрицательное слева и положительное справа, тогда как все падения напряжения на резисторах ориентированы в противоположную сторону: положительное слева и отрицательное справа. Это связано с тем, что резисторы сопротивляются потоку электрического заряда, генерируемого батареей. Другими словами, «встречный напор» резисторов против потока электрического заряда должен быть направлен в направлении, противоположном тому, по которому течёт ток из источника электродвижущей силы.

Здесь мы видим, что цифровое табло вольтметра покажет на каждом элементе в цепи, чёрный провод подсоединяется слева и красный провод справа, если смотреть горизонтально:

Рис. 9. Измерение падений напряжения (включая полярность) для каждого элемента цепи.

Если бы мы взяли тот же вольтметр и измерили напряжение между комбинациями элементов, начиная с первого R₁ слева и продвигаясь по всей цепочке элементов, то увидим, что напряжения складываются алгебраически (и общая сумма равна нулю):

Рис. 10. Измерение падений напряжения (включая полярность) для групп элементов цепи.

Тот факт, что последовательные напряжения складываются, не должен быть загадкой, но легко заметить, что полярность этих напряжений сильно влияет на то, как складываются цифры. При считывании напряжения на R₁—R₂ и R₁—R₂—R₃ (я использую «длинное тире» для обозначения последовательного соединения между резисторами R₁, R₂ и R₃), мы видим, что последовательные измерения напряжения для групп резисторов выдают последовательно большие (по абсолютному значению, хотя знак может быть и отрицательным) величины, поскольку полярности каждого из этих отдельных падений напряжения имеют одну и ту же ориентацию (положительный левый, отрицательный правый). Сумма падений напряжения на R₁, R₂, а R₃ равняется 45 вольт (в абсолютном значении), что совпадает с выходом батареи, за исключением того, что полярность батареи противоположна полярности падения напряжения на резисторах (отрицательный слева, положительный справа), поэтому мы получаем итоговые 0 вольт, если разом измерим всю последовательность элементов.

То, что должно получиться ровно 0 вольт по всей линии элементов, тоже не должно быть тайной. Глядя на схему, мы видим, что крайний левый конец линии (левая сторона резистора R₁: точка 2) напрямую соединён с крайним правым концом линии (правая сторона источника питания: тоже помечено как точка 2), что замыкает данную цепь. Поскольку эти две точки (и обе помечены как 2) соединены напрямую, они электрически связаны друг с другом. Таким образом, напряжение между этими двумя электрически общими точками должно быть равно нулю.

Демонстрация правила напряжений Кирхгофа в параллельной цепи

Правило напряжений Кирхгофа (иногда для краткости обозначаемый как ПНК) будет работать для схем любой конфигурации, а не только для простых последовательных цепей. Взглянем, как это работает для такой параллельной схемы:

Рис. 11. Простая схема с параллельными резисторами.

В параллельной схеме напряжение на каждом резисторе такое же, как и напряжение источника питания: 6 вольт. Суммируя напряжения вдоль контура 2-3-4-5-6-7-2, получаем:

Рис. 12. Сложение падений напряжения в параллельной цепи.

Обратите внимание, что итоговое (суммарное) напряжение обозначено как E_2-2. Поскольку мы начали нашу пошаговую последовательность в точке 2 и закончили в точке 2, алгебраическая сумма этих напряжений будет такой же, как напряжение, измеренное между той же точкой (E_2-2), которое, конечно, должно быть равно нулю.

Справедливость правила Кирхгофа независимо от топологии цепи

Тот факт, что схема является параллельной, а не последовательной, не влияет на правомерность правила напряжений Кирхгофа. В этом отношении схема вообще может быть «чёрным ящиком» – конфигурация её компонентов может быть полностью скрыта от нашего взора, и есть только набор открытых клемм, между которыми мы можем измерять напряжение между элементами или группами элементов – и ПНК всё равно будет выполняться:

Рис. 13. Справедливость правила напряжений Кирхгофа не зависит от топологии цепи.

Попробуйте выполнить любой порядок шагов, начав с любого элемента на приведенной выше диаграмме со сложной топологией. Вернувшись к исходному элементу, вы обнаружите, что алгебраическая сумма напряжений всегда равна нулю.

Более того, «контур», которую мы измеряем для проверки выполнения ПНК, даже не обязательно должен включать в себя элемент питания, генерирующего реальный ток. Все, что нам нужно сделать, чтобы соответствовать ПНК, – это начинать и заканчивать в одной и той же точке цепи, подсчитывая падения напряжения и учитывая полярность при переходе между первой и последней точкой. Рассмотрим несколько абсурдный пример, отследив «контур» 2-3-6-3-2 в той же цепи с параллельными резисторами:

Рис. 14. Проверим правило напряжений Кирхгофа в параллельной цепи для контура 2-3-6-3-2, не включающего в себя источник питания.

Рис. 15. Алгебраическая сумма падений напряжения в контуре (с учётом полярности) всё равно равна нулю.

Использование правила напряжений Кирхгофа в сложной цепи

ПНК можно использовать для определения неизвестного напряжения в сложной цепи, если известны все другие напряжения в рамках определённого «контура». В качестве примера возьмем следующую сложную схему (на самом деле это две простые последовательные цепи, соединенные проводом внизу):

Рис. 16. Правило напряжений Кирхгофа в более сложной цепи.

Чтобы упростить задачу, я опустил значения сопротивления (они сейчас в вычислениях всё равно не участвуют) и просто указал падение напряжения на каждом резисторе. Две последовательные цепи имеют общий провод между собой (точки 7-8-9-10), что делает возможными измерения напряжения между двумя цепями. Если бы мы хотели определить напряжение между точками 4 и 3, мы могли бы составить уравнение ПНК с напряжением между этими точками как неизвестным:

Рис. 17. С помощью правила напряжений Кирхгофа вычисляем напряжение между двумя точками из разных частей схемы.

Рис. 18. Какие должны быть показания при измерении падения напряжения между точками 4 и 3?

Рис. 19. Напряжение (с учётом полярности) между точками 4 и 9 известно.

Рис. 20. Напряжение (с учётом полярности) между точками 9 и 8 известно.

Рис. 21. Напряжение (с учётом полярности) между точками 8 и 3 известно.

Обходя контур 3-4-9-8-3, мы записываем значения падения напряжения так, как их регистрировал бы цифровой вольтметр, измеряя с помощью красного измерительного провода на точке входа и чёрного измерительного провода на точке выхода, когда мы последовательно продвигаемся вдоль контура. Следовательно, напряжение от точки 9 до точки 4 является положительным (знак плюс) со значением +12 вольт, потому что «красный провод» подсоединён в точке 9, а «чёрный провод» - в точке 4. Напряжение от точки 3 до точки 8 является положительным (знак плюс) +20 вольт, потому что «красный провод» подсоединён в точке 3, а «чёрный провод» - в точке 8. Напряжение от точки 8 до точки 9, конечно, равно нулю, потому что эти две точки электрически общие.

Наш окончательный ответ при нахождении напряжения от точки 4 до точки 3 – это отрицательное значение (со знаком минус) в -32 вольта, говорящее о том, что точка 3 на самом деле положительна по отношению к точке 4. Это именно то, что показал бы цифровой вольтметр если красным провод подключить в точке 4 и чёрный провод в точке 3:

Рис. 22. Падение напряжение между точками 4 и 3, в соответствии с ПНК и замерами равно -32 В.

Другими словами, первоначальное размещение наших «выводов измерителя» в приложении к ПНК было «обратным». Если бы мы сгенерировали наше уравнение ПНК, отсчитывая по направлению с E_3-4 вместо E_4-3, обходя тот же контур с противоположной ориентацией измерительных проводов, окончательный ответ был бы E_3-4 = +32 вольт:

Рис. 23. Если обходить контур в противоположном направлении, то падение напряжение между точками 3 и 4 составило бы +32 В.

Важно понимать, что оба подхода (обходить контур в одном направлении или в противоположном) является «правильными». В обоих случаях мы приходим к правильной оценке напряжения между двумя точками 3 и 4: если точка 3 положительна по отношению к точке 4, то напряжение между ними составляет +32 вольта.

Итог

• Правило напряжений Кирхгофа (ПНК): «Алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна равняться нулю».