Электроника:Справочные материалы/Справочник по исчислению/Производные показательных функций с основанием e

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Производные показательных функций с основанием e[1]

Пример производной e

Рассмотрим такую функцию и найдём её производную:

Рис. 1. Производная от показательной функции с основанием e.
Рис. 1. Производная от показательной функции с основанием e.

Константа пропорциональности

Когда мы говорим, что некое отношение или какое другое явление «экспоненциальны», то подразумеваем, что некоторая величина — электрический ток, прибыль, население — увеличивается быстрее, чем растёт величина. Другими словами, скорость изменения данной переменной пропорциональна значению самой переменной. Это значит, что производная экспоненциальной функции равна исходной экспоненциальной функции, умноженной на константу (k), которая устанавливает пропорциональность.

Рис. 2. Производная экспоненциальной функции равна исходной функции, умноженной на константу.
Рис. 2. Производная экспоненциальной функции равна исходной функции, умноженной на константу.

Константа пропорциональности равна натуральному логарифму основания показателя степени:

Рис. 3. Константа пропорциональности равна натуральному логарифму основания показателя степени.
Рис. 3. Константа пропорциональности равна натуральному логарифму основания показателя степени.

Отсюда следует, что если натуральный логарифм основания равен единице, то производная функции будет равна исходной функции. Именно это происходит со показательными функциями от числа e: натуральный логарифм e равен 1, и, следовательно, производная от ex равна ex.

Рис. 4. Производная от e^x равна e^x.
Рис. 4. Производная от ex равна ex.

Правило «цепочки»

Когда экспоненциальное выражение отличается от простого x, мы применяем правило цепочки: сначала берём производную всего выражения, затем умножаем её на производную выражения в показателе степени.

Рис. 5. Производную всего выражения умножаем на производную выражения в показателе степени.
Рис. 5. Производную всего выражения умножаем на производную выражения в показателе степени.

Этот метод можно использовать для определения скорости изменения тока диода по отношению к напряжению на диоде. Следующее уравнение даёт приблизительную зависимость между напряжением на диоде (VD) и силой тока через диод (ID):

Рис. 6. Приблизительную зависимость между напряжением на диоде и силой тока через диод.
Рис. 6. Приблизительную зависимость между напряжением на диоде и силой тока через диод.

(См. страницу о диодах и выпрямителях для получения дополнительной информации об уравнении тока и напряжения диода; также обратите внимание, что IS является константой, а не переменной.) Чтобы найти скорость изменения силы тока по отношению к напряжению, берём производную:

Рис. 7. Скорость изменения силы тока по отношению к напряжению.
Рис. 7. Скорость изменения силы тока по отношению к напряжению.

Таким образом, при заданном значении напряжения на диоде VD постепенное увеличение напряжения создаст увеличение силы тока, равное Увеличение силы тока..

См.также

Внешние ссылки