Электроника:Цифровая электроника/Булева алгебра/Булева алгебра – Введение

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Булева алгебра – Введение

Математические правила зиждутся на установленных ограничениях, накладываемых на конкретные числовые величины, с которыми имеем дело.

Когда мы утверждаем, что 1 + 1 = 2 или 3 + 4 = 7, то подразумевается использование целых величин: того самого типа чисел, с которыми мы научились обращаться ещё в младших классах, а то и раньше.

То, что для большинства является самоочевидными правилами арифметики – действительно всегда и для всех целей – на самом деле зависит от того, как именно мы определяем число.

Например, при вычислениях в цепях переменного тока сталкиваемся с тем, что «реальные» числовые величины, которые нам верой и правдой служили при анализе цепей постоянного тока, неадекватны при представлении величин переменного тока.

Мы знаем, что напряжения складываются при последовательном подключении, но также знаем, что можно подключить источник переменного тока 3 В последовательно с источником переменного тока 4 В и получить общее напряжение 5 В (т.е., получим 3 + 4 = 5).

Означает ли это, что были нарушены незыблемые и самоочевидные правила арифметики?

Ни в коем разе. Это просто означает, что правила «реальных» чисел не применяются к величинам, встречающихся в цепях переменного тока, где каждая переменная кроме абсолютной величины имеет ещё и фазу.

Следовательно, до́лжно использовать другой подход к интерпретации таких объектов как числовое величины для цепей переменного тока (используя комплексные числа, а не действительные), и в этой другой системе чисел применим иной набор правил, определяющий, как числа соотносятся друг с другом.

Выражение, наподобие «3 + 4 = 5», не имеет смысла в контексте и определении действительных чисел, но оно хорошо вписывается в объём и определение комплексных чисел (геометрической интерпретацией сложения двух величин переменного тока, 3 и 4 вольт, со сдвигом по фазе 90°, будет прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и с гипотенузой 5).

Поскольку комплексные числа двумерны, они могут тригонометрически «складываться» друг с другом, в этом они отличны от одномерных действительных чисел.

Математические законы и «нечёткая логика»

В этом отношении логика во многом схожа с математикой: так называемые «законы» логики зависят от того, как мы определяем, что такое высказывание (утверждение, суждение).

Греческий философ Аристотель основал логику как систему, базирующуюся всего на двух типах суждений: истинных и ложных.

Такое бивалентное (двузначное) определение истины привело к открытию четырёх основополагающих законов логики:

1. Закон тождества (А есть А);
2. Закон непротиворечия (A не является НЕ-А);
3. Закон исключенного третьего (или А или НЕ-А);
4. а также Закон достаточного основания (англ. Law of Rational Inference, дословный перевод – Закон рационального вывода).

Эти так называемые законы действуют в рамках логики, когда высказывание ограничено одним из двух возможных значений, и не применимы в случаях, когда утверждения не ограничиваются только значениями «Истина»/«Ложь».

Фактически, проделана и проделывается большая работа по «многозначной», то бишь нечёткой логике, где высказывания могут быть истинными или ложными в ограниченной степени. В такой логической системе логики «правила» наподобие Закона исключенного третьего, просто не применяются, потому что они строго основаны на предположении о бинарности.

Равно как и многие посылки, нарушающие законы непротиворечивости в аристотелевской логике, имеют силу в «нечёткой» логике. Опять же, определяющие ограничения высказываний определяют Законы, описывающие их функции и отношения.

Рождение булевой алгебры

Английский математик Джордж Буль (1815-1864) стремился придать символическую форму аристотелевой логики.

Буль написал трактат на эту тему в 1854 году под названием «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» , в котором кодифицированы некоторые взаимосвязи между математическими величинами, ограниченными одним из двух возможных значений: «Истина» или «Ложь», 1 или 0.

Его математическая система стала известна как булева алгебра.

Все арифметические операции, выполняемые с логическими величинами, принимают только один из двух возможных результатов: либо 1, либо 0.

В логическом мире нет таких понятий, как «2», «-1» или «½». Это мир, в котором все другие возможные числа вне закона по умолчанию.

Само собой, это отнюдь не та математика, которую вы хотите использовать при подведении своего финансового баланса или вычислении силы тока, проходящего через резистор.

Однако Клод Шеннон из Массачусетского технологического института понял, как именно булева алгебра применима к схемам включения/выключения, где все сигналы характеризуются как «высокие» (1) или «низкие» (0).

Его диссертация 1938 года, озаглавленная «Символьный анализ реле и коммутационных схем», применила теоретические работы Буля так, как Буль никогда и помыслить не мог, дав нам мощный математический аппарат для проектирования и анализа цифровых схем.

Булева алгебра и «нормальная» алгебра

В этой главе вы найдете много общего между булевой алгеброй и «нормальной» алгеброй, той разновидностью алгебры, что включает и так называемые действительные числа.

Просто имейте в виду, что система чисел, определяющая булеву алгебру, сильно ограничена с точки зрения области видимости, и что для любой логической переменной может быть только одно из двух возможных значений: либо 1, либо 0.

А значит, «законы» булевой алгебры зачастую отличны от «законов» алгебры действительных чисел, делая возможными такие утверждения, как 1 + 1 = 1, которые обычно считались бы абсурдными.

Как только вы поймете, что все величины в булевой алгебре ограничены двумя и только значениями – 1 и 0, а также уловите общий философский принцип законов, зависящий от количественных определений, «бессмыслица» булевой алгебры для вас рассеется как утренний туман.

Логические числа и двоичные числа

Следует чётко понимать, что логические числа – это не то же самое, что двоичные числа.

В то время как логические числа представляют собой совершенно иную систему математики, нежели действительные числа, двоичные числа – не что иное, как альтернативная запись для действительных чисел.

Это нередко приводит к путанице, ибо как математика логика, так и двоичные вычисления используют одни и те же два кода: 1 и 0.

Разница заключается в том, что логические величины ограничиваются одним битом (либо 1, либо 0), в то время как двоичные числа могут состоять из множества битов, складывающихся в форме взвешенных по месту значений до значения любого конечного размера.

Двоичное число 100112 («девятнадцать» в десятеричной системе) значит для булевого мира не больше, чем десятичное число 210 (десятеричная «двойка») или восьмеричное число 328 (десятеричные «двадцать шесть»).