Электроника:Цифровая электроника/Булева алгебра/Логические правила для упрощения
Поддержать проект | Содержание | Теория | Практика | Проверка знаний | Рецепты | Резерв | Резерв | Резерв | Резерв | Резерв |
Логические правила для упрощения[1]
Булева алгебра находит наибольшее практическое применение в упрощении логических схем.
Если мы переведём функцию логической схемы в символьную (булеву) форму и применим определённые алгебраические правила к полученному уравнению, чтобы уменьшить количество членов и/или арифметических операций, упрощённое уравнение можно преобразовать обратно в форму схемы для логической схемы, выполняющей та же функция с меньшим количеством компонентов.
Если эквивалентная функция может быть достигнута с меньшим количеством компонентов, результатом будет повышенная надёжность и снижение стоимости производства.
С этой целью в этом разделе представлены несколько правил булевой алгебры, которые можно использовать для приведения выражений к их простейшим формам.
Тождества и свойства, уже рассмотренные в этой главе, очень полезны для булевого упрощения и по большей части имеют сходство со многими тождествами и свойствами «нормальной» алгебры.
Однако все правила, показанные в этом разделе, уникальны для булевой математики.
A + AB = A
Это правило может подтвердить символически, если вычленить «А» из обоих слагаемых, а затем применить правила А + 1 = 1 и 1А = А для достижения окончательного результата:
Обратите внимание, как правило «A + 1 = 1» использовалось для уменьшения члена «(B + 1)» до 1.
Когда правило, наподобие «A + 1 = 1» выражается через букву «A», это вовсе не означает, что оно применяется исключительно к выражениям, содержащим именно этот символ – «A». В подобном правиле («A + 1 = 1»), буква «A» означает вообще любую логическую переменную или даже набор (сумму или произведение) логических переменных.
Это, пожалуй, самая трудноусваиваемая концепция для новичков в области логического упрощения: применение стандартизированных идентификаторов, свойств и правил к выражениям, не имеющим стандартной формы.
Например, логическое выражение «ABC + 1» также сокращается до 1 с помощью тождества «A + 1 = 1».
В этом случае мы понимаем, что произвольная величина «A» в стандартной форме идентификатора может представлять всё произведение трёх величин «ABC» в исходном выражении.
A + A'B = A + B
Следующее правило напоминает предыдущее, однако на самом деле оно существенно отличается и требует более изощрённого доказательства:
Обратите внимание, как последнее правило («A + AB = A») используется для «антиупрощения» первого члена «A» в выражении, когда одинокую переменную «A» заменили на «A + AB». Хотя это может показаться шагом назад, усложнением, тем не менее это определённо помогло свести выражение к чему-то более простому!
Иногда в математике мы должны делать «откат», чтобы найти наиболее элегантное решение.
Понимание, когда необходимо сделать подобный «усложняющий» шаг, чтобы в итоге упростить, является частью искусства алгебры, точно так же, как выигрыш в шахматной партии зачастую достигается посредством просчитанных жертв.
(A + B)(A + C) = A + BC
Другое правило включает упрощение выражения произведения сумм:
Итог
Подводя итог, вот три новых правила логического упрощения, изложенные в этом разделе: