Электроника:Цифровая электроника/Булева алгебра/Примеры упрощения схем

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Примеры упрощения схем

Начнём с полупроводниковой вентильной схемы, нуждающейся в упрощении.

Предполагается, что входные сигналы «A», «B» и «C» поступают от переключателей, датчиков или даже, возможно, других вентильных схем.

При упрощении вентильной схемы не суть важно, откуда именно исходят эти сигналы.

Рис. 1. Полупроводниковая вентильная схема, нуждающаяся в упрощении.

Как написать логическое выражение для упрощения схемы

Первым делом при упрощении нужно записать логическое выражение для этой схемы.

Эта задача легко выполняется шаг за шагом, если начать с подвыражений на выходе каждого элемента для соответствующих входных сигналов.

Помните, что вентили ИЛИ эквивалентны логическому сложению, а вентили И эквивалентны логическому умножению.

Например, прямо на схеме подпишем подвыражения на выходах первых трёх вентилей:

Рис. 2. Подвыражения на выходах первых трёх вентилей.

… и затем ещё одно подвыражение для следующего вентиля:

Рис. 3. Объединяем 2-е и 3-е подвыражения, полученные на предыдущем шаге.

И наконец, получаем результат («Q») равный выражению «AB + BC (B + C)»:

Рис. 4. Объединяем 1-е подвыражение и объединение 2-го и 3-го подвыражений, полученное на предыдущем шаге.

Выход («Q») равен выражению «AB + BC(B + C)».

Теперь, когда у нас есть логическое выражение, с которым можно работать, нам нужно применить правила булевой алгебры, чтобы привести выражение к его простейшей форме (то есть, к такой, где потребуется наименьшее число вентилей):

Рис. 5. Методами булевой алгебры упрощаем логическое выражение.

Получившееся выражение «B(A + C)» гораздо проще исходного, но выполняет ту же функцию.

Если желаете убедиться в этом, можете сгенерировать таблицу истинности для обоих выражений и определить состояние Q (выход схемы) для всех восьми комбинаций логических состояний A, B и C для обеих схем. Обе таблицы истинности будут идентичны.

Создание схематических диаграмм из логических выражений

Теперь сделаем нечто противоположное – создадим схемную диаграмму из получившегося логического выражения.

Для этого последовательно оцениваем выражение, следуя правильному математическому порядку операций (умножение выполняется перед сложением, операции внутри скобок приоритетны), и нарисуем вентили для каждого шага.

Ещё раз, помните, что вентили ИЛИ эквивалентны логическому сложению, а вентили И эквивалентны логическому умножению.

В данном случае начнём с подвыражения «A + C», которое является логическим элементом ИЛИ:

Рис. 6. Подвыражение «A + C», являющееся логическим элементом ИЛИ.

Следующим шагом в оценке выражения «B(A + C)» является умножение (логический элемент И) сигнала B на выходной сигнал предыдущего элемента «(A + C)»:

Рис. 7. Следующая операция при вычислении выражения «B(A + C)» – это умножение (логический элемент И).

Эта схема заметно проще оригинальной, в ней только два логических элемента вместо пяти.

Такое уменьшение компонентов приводит к более высокой скорости работы (меньшее время задержки от перехода входного сигнала к переходу выходного сигнала), меньшему потреблению энергии, меньшим затратам и большей надёжности.

Как использовать логическое упрощение для схем электромеханических реле

Электромеханические релейные схемы, обычно более медленные, потребляющие больше электроэнергии для работы, более дорогие и имеющие более короткий средний срок службы, чем их полупроводниковые аналоги, значительно выигрывают от логического упрощения. Рассмотрим пример схемы:

Рис. 8. Нуждающаяся в упрощении схема с электромеханическими реле.

Как и раньше, нашим первым шагом в приведении этой схемы к её простейшей форме должно быть создание логического выражения для схемы.

Самый простой трюк, который я знаю для решения такой задачи – это выполнить те же шаги, которые я обычно выполняю, чтобы уменьшить последовательно-параллельную сеть резисторов, сведя до одного полного сопротивления.

Например, посмотрите на следующую схему с резисторами, подключёнными так же, что и контакты реле в предыдущей цепи, и вычисленной соответствующей формулой общего сопротивления:

Рис. 9. Заменим реле на резисторы и выведем формулу общего сопротивления.

На приведённом выше рисунке длинный штрих («–») не является минусом, он используется для обозначения последовательного соединения резисторов.

Помните, что параллельные контакты эквивалентны логическому сложению, а последовательные контакты эквивалентны логическому умножению.

Перепишите логическое выражение для этой цепи контактных реле в том же порядке приоритетности, что и при уменьшении последовательно-параллельной цепи резисторов до полного сопротивления.

Возможно, будет полезно написать логическое подвыражение слева от каждой «ступеньки» лестницы, что помогает упорядочить написание выражений:

Рис. 10. Если подписать логическое подвыражение слева от каждой ступени, то это поможет найти общее логическое выражение для схемы.

Теперь, когда у нас есть логическое выражение, с которым можно работать, нам нужно применить правила булевой алгебры, чтобы привести выражение к его простейшей форме (то есть, требующей наименьшего числа контактов реле):

Рис. 11. Упрощаем логическое выражение.

Те, кто склонен к математике, заметят, что два шага, использующие правило «A + AB = A», можно объединить в один шаг, причём это правило может представить в расширенном виде: «A + AB + AC + AD + … = A».

Как видите, приведённая схема намного проще оригинальной, но выполняет ту же логическую функцию:

Рис. 13. Полученная схема намного проще оригинальной.

Итог

• Чтобы преобразовать вентильную схему в логическое выражение, пометьте каждый выход вентиля логическим подвыражением, соответствующим входным сигналам вентиля, пока не будет сформировано окончательное выражение на последнем вентиле.
• Чтобы преобразовать логическое выражение в вентильную схему, оценивайте выражение, используя стандартный порядок операций: умножение выполняется перед сложением, операции в круглых скобках приоритетны перед любыми другими.
• Чтобы преобразовать схему релейной логики в логическое выражение, пометьте каждую ступень логическим подвыражением, соответствующим входным сигналам контактов, до тех пор, пока не будет достигнуто окончательное выражение на последней катушке или индикаторе. Чтобы определить правильный порядок действий, относитесь к контактам так, как если бы они были резисторами, для которых нужно определить общее сопротивление последовательно-параллельной цепи. Другими словами, сначала ищите контакты, которые находятся либо непосредственно последовательно, либо напрямую параллельно друг другу, затем «сверните» их в эквивалентные логические подвыражения, прежде чем переходить к другим контактам.
• Чтобы преобразовать логическое выражение в схему релейной логики, оцените выражение, используя стандартный порядок операций: умножение выполняется перед сложением, операции в круглых скобках приоритетны перед любыми другими.