Электроника:Цифровая электроника/Системы счисления/Преобразование из десятеричной системы счисления

Поддержать проект

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Преобразование из десятеричной системы счисления

Поскольку восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления имеют основание, кратное двоичному (с основанием, равным 2), преобразование между шестнадцатеричным, восьмеричным и двоичным числами очень простое.

Кроме того, поскольку мы хорошо знакомы с десятеричной системой, преобразовать двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную в десятеричную форму относительно несложно (просто сложите произведения цифренных значений и весовых коэффициентов разрядов).

Однако преобразование десятеричного дробного числа в любую из этих «странных» систем счисления – это уже отдельный разговор.

Метод проб и приближений

Способ, который, вероятно, будет наиболее понятен – это так называемый метод «проб и приближений», при котором вы пытаетесь «подогнать» (приблизить) двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное представление к желаемому значению, представленному в десятичной форме.

Сначала покажем, как работает метод на примере целого (не дробного) числа.

Например, предположим, нужно представить десятеричное значение 87 в двоичной форме. Начнём с того, что изобразим пустые ячейки для цифр каждого разряда с указанием весовых коэффициентов:

Ячейки для двоичных цифр на позициях:
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	128	64	32	16	8	4	2	1

128 – это значение веса, превышающее величину искомого числа (87). Поэтому более высокие разряды (имеющие ещё больший вес) брать не имеет смысла.

Что ж, мы видим, что на месте разряда с весом 128, бит не может быть равен 1. Иначе получившееся десятеричное число будет от 128 и выше, что заведомо больше, чем 87. Однако, поскольку следующий разряд с весом 64 меньше 87, поэтому мы смело указываем в этом бите значение «1».

Ячейки для двоичных цифр на позициях:	1
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	32	16	8	4	2	1

Десятеричное значение нашего формируемого двоичного числа пока что равно 64. Это пока что меньше, чем 87, но не беда – сейчас ещё нарастим.

Переходим к следующему разряду с весом 32. Если в этой позиции указать бит равный «1», то общее значение было бы 64₁₀ + 32₁₀ = 96₁₀. Это превышает 87₁₀, из чего делаем вывод, что этот бит должен быть равен «0».

Если мы сделаем следующий (с разрядным весом 16) бит равным «1», это приведёт к общему значению 64₁₀ + 16₁₀ или 80₁₀, т.е. мы приблизились к желаемому значению (87₁₀), не превысив его:

Ячейки для двоичных цифр на позициях:	1	0	1
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	32	16	8	4	2	1

Десятеричное значение нашего формируемого двоичного числа на данный момент равно 80.

Продолжаем в том же духе, устанавливая каждый бит меньшего веса (указывая для него или «0» или «1»), поскольку нам нужно приблизиться к желаемому общему значению, не превышая его. И мы в конечном итоге придём к правильному значению:

Ячейки для двоичных цифр на позициях:	1	0	1	0	1	1	1
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	32	16	8	4	2	1

В итоге получаем 64₁₀ + 16₁₀ + 4₁₀ + 2₁₀ + 1₁₀ = 87₁₀. Бинго!

Метод проб и приближений для восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Эта стратегия «пробников» также будет работать с восьмеричными и шестнадцатеричными преобразованиями. Возьмём то же десятеричное число 87₁₀ и преобразуем его в восьмеричную систему счисления:

Ячейки для восьмеричных цифр на позициях:
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	8	1

Не забываем, что если для двоичной системы счисления мы для каждого бита выбирали или «0» или «1», то теперь для каждой позиции нужно подобрать цифру от 0 до 7. Если мы поставим цифру «1» на место разряда с весом 64, у нас будет общее значение 1 × 64₁₀ = 64₁₀ (что меньше, чем 87₁₀). Если мы поставим цифру «2» на место разряда с весом 64, мы получим общее значение 2 × 64₁₀ = 128₁₀ (что уже больше, чем 87₁₀). Проверять в этом разряде остальные восьмеричные цифры от 3 до 7 уже нет смысла, потому что мы будем получать ещё бо́льшие значения, превышающее желаемые 87₁₀. Это свидетельствует о том, что наше восьмеричное число начинается с «1» в разряде с весом 64:

Ячейки для восьмеричных цифр на позициях:	1
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	8	1

Десятеричное значение нашего формируемого восьмеричного числа на данный момент равно 64.

Теперь экспериментируем со цифренным значением для разряда с весом 8, пытаясь получить общее (десятеричное) значение как можно ближе к 87₁₀, но не превышая его. Пробуя несколько первых вариантов для восьмеричных цифр (1, 2, 3, …), получаем:

Для «1» имеем 64₁₀ + 1 × 8₁₀ = 64₁₀ + 8₁₀ = 72₁₀.
Для «1» имеем 64₁₀ + 2 × 8₁₀ = 64₁₀ + 16₁₀ = 80₁₀.
Для «3» имеем 64₁₀ + 3 × 8₁₀ = 64₁₀ + 24₁₀ = 88₁₀.

Останавливаемся. При значении «3» для цифры на позиции с весом 8 происходит превышение над желаемыми 87₁₀, так что в качестве этой цифры правильное значение – «2» (максимум, при котором превышения не происходит).

Ячейки для восьмеричных цифр на позициях:	1	2
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	8	1

Десятеричное значение нашего формируемого восьмеричного числа на данный момент равно 80.

Аналогично подбираем восьмеричную цифру для последнего разряда с весом, равным 1:

Ячейки для восьмеричных цифр на позициях:	1	2	7
Вес разряда (указан в десятеричной системе счисления):	64	8	1

Итоговый результат: 1 × 64₁₀ + 2 × 8₁₀ + 7 × 1₁₀ = 64₁₀ + 16₁₀ +7₁₀ = 87₁₀.

Конечно, если вы ознакомились с предыдущими разделами этой главы, где рассматриваются восьмерично-двоичные преобразования, то знаете, что можно взять двоичное представление десятичного числа 87₁₀, которое мы ранее определили как 1010111₂, и легко преобразовать его в восьмеричную форму, чтобы проверить нашу работу:

1010111₂ = 001 010 111₂

Группы битов двоичного числа по три:	001	010	111
Эквиваленты в восьмеричной системе счисления:	1	2	7

Как видите, всё совпадает.

Можем ли мы таким же макаром выполнить преобразование десятеричных чисел в шестнадцатеричные? Конечно, хотя и вряд ли это у кого-либо вызовет приступ энтузиазма. Этот метод прост для понимания, но трудоёмок в выполнении.

Есть ещё один способ сделать эти преобразования, где, в принципе, та же математика, но при этом выполнять арифметические действия проще.

Метод повторного (многократного) деления

В этом другом способе используются повторяющиеся циклы деления (с числом в десятеричном виде), чтобы разбить десятеричную систему счисления на кратные двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные значения разрядов.

В первом цикле деления мы берём исходное десятеричное число и делим его на основание системы счисления, в которую мы конвертируем (для двоичной = 2, для восьмеричной = 8, для шестнадцатеричной = 16).

Затем мы берём целочисленную часть результата деления (частное) и снова делим её на величину основания, и так продолжаем до тех пор, пока не получим частное меньше 1. Двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные цифры определяются «остатками», оставшимися после каждого шага деления. Давайте посмотрим, как это работает для перевода в двоичную форму, на примере десятеричного числа 87₁₀:

Повторное деление	Комментарий	Остаток
87 / 2 = 43,5	Деля 87 на 2, получаем частное 43,5. Остаток при целочисленном делении = 1 (или можно найти остаток, если дробную часть умножить на основание: 0,5 × 2 = 1).	1
43 / 2 = 21,5	Отбрасываем от частного, полученного на предыдущем шаге, дробную часть ([45,5] = 45) и делим его на 2. Получаем 21,5, т.е. снова остаток равен 1.	1
21 / 2 = 10,5	Отбрасываем от частного, полученного на предыдущем шаге, дробную часть ([21,5] = 21) и делим его на 2. Получаем 10,5, т.е. снова остаток равен 1.	1
10 / 2 = 5	Отбрасываем от частного, полученного на предыдущем шаге, дробную часть ([10,5] = 10) и делим его на 2. Получаем целое 5, т.е. остаток на этот раз равен 0.	0
5 / 2 = 2,5	Делим частное, полученное на предыдущем шаге, на 2. Получаем 2,5, т.е. остаток равен 1.	1
2 / 2 = 1	Отбрасываем от частного, полученного на предыдущем шаге, дробную часть ([2,5] = 2) и делим его на 2. Получаем целое 1, т.е. остаток равен 0.	0
1 / 2 = 0,5	В последний раз производим деление на 2, потому что полученное частное меньше 1 и повторять деление снова (где 0 делится 2) смысла нет. Последний остаток равен 1.	1

Двоичные биты собираются из остатков, полученных на последовательных шагах деления, начиная с LSB и переходя к MSB (снизу-вверх в соответствии со столбцом остатков в таблице выше). В этом случае мы приходим к двоичной записи 1010111₂.

Когда мы делим на 2, мы всегда будем получать частное, имеющее в дробной части либо «,0» либо «,5», то есть остаток будет равен 0 или 1. Как было сказано ранее, этот метод многократного деления для преобразования будет работать и для других систем счисления помимо двоичной.

Если бы мы выполняли последовательные деления с использованием другого основания, например 8 для преобразования в восьмеричное число, мы обязательно будем получать остатки в диапазоне от 0 до 7. Давайте попробуем произвести эти же действия с тем же десятичным числом, 87₁₀ переведя его в восьмеричный формат:

Повторное деление	Комментарий	Остаток
87 / 8 = 10,875	Деля 87 на 8, получаем частное 10,875. Остаток при целочисленном делении = 7 (или можно найти остаток, если дробную часть умножить на основание: 0,875 × 8 = 7).	7
10 / 8 = 1,25	Отбрасываем от частного, полученного на предыдущем шаге, дробную часть ([10,875] = 10) и делим его на 8. Получаем целое 1,25 т.е. остаток равен 2 (0,25 × 8 = 2).	2
1 / 8 = 0,125	Отбрасываем от частного, полученного на предыдущем шаге, дробную часть ([1,25] = 1) и делим его на 8. Получаем 0,125 т.е. остаток равен 1 (0,125 × 8 = 1). Так как результат меньше 1, процесс многократного деления не продолжаем.	1

Результат: 87₁₀ = 127₈.

Можно использовать аналогичную технику для преобразования чисел меньших 1 между системами счисления.

Для преобразования десятичного числа меньшего 1 в двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное мы используем повторное (многократное) умножение, принимая целую часть произведения на каждом шаге в качестве следующей цифры нашего преобразованного числа.

Для примера возьмём десятеричное число 0,8125₁₀ и преобразуем его в двоичное:

Повторное умножение	Комментарий	Целая часть
0,8125 × 2 = 1,625	Умножаем первоначальное число на основание. Целая часть равна 1, дробная часть не равна нулю (поэтому будем повторять процесс).	1
0,625 × 2 = 1,25	От произведения, полученного на предыдущем шаге, отбрасываем целую часть (1,625 → 0,625) и оставшуюся дробную часть умножаем на основание. В получившемся результате целая часть равна 1, дробная часть не равна нулю (поэтому процесс ещё не закончен).	1
0,25 × 2 = 0,5	От произведения, полученного на предыдущем шаге, отбрасываем целую часть (1,25 → 0,25) и оставшуюся дробную часть умножаем на основание. В получившемся результате целая часть равна 0, дробная часть не равна нулю (поэтому процесс ещё не закончен).	0
0,5 × 2 = 1,0	От произведения, полученного на предыдущем шаге, берём дробную часть (0,25) и умножаем на основание. В получившемся результате целая часть равна 1, дробная часть равна нулю (поэтому процесс завершён).	1

Результат: 0,8125₁₀ = 0,1101₂.

Обратите внимание, что на этот раз для итогового дробного числа меньше единицы мы взяли биты не снизу-вверх (как это делали для перевода в другую систему счисления для целых чисел) и сверху-вниз.

Как и в случае с повторным делением целых чисел, каждый шаг даёт нам очередную цифру (или бит) всё дальше от разделительной запятой.

При целочисленном (делении) мы работали от младшего разряда к старшему (справа-налево), но при повторном умножении мы работаем слева-направо.

А если нужно преобразовать число, большее единицы, у которого есть дробная часть? Всё просто – нужно отдельно обработать целую часть (применив к ней метод повторного деления) и дробную часть (применив к ней метод повторного умножения).

Возьмем, к примеру, десятеричное число 54,40625₁₀ и приведём его к двоичному виду.

Сначала разберёмся с целой частью числа (54₁₀):

Повторное деление	Целая часть	Остаток
54 / 2 = 27,0	27	0
27 / 2 = 13,5	13	1
13 / 2 = 6,5	6	1
6 / 2 = 3	3	0
3 / 2 = 1,5	1	1
1 / 2 = 0,5	0	1

Берём остатки снизу-вверх и получаем двоичную форму целой части искомого числа: 54₁₀ = 110110₂. Теперь обработаем дробную часть (0,40625₁₀):

Повторное умножение	Дробная часть	Целая часть
0,40625 × 2 = 0,8125	0,8125	0
0,8125 × 2 = 1,625	0,625	1
0,625 × 2 = 1,25	0,25	1
0,25 × 2 = 0,5	0,5	0
0,5 × 2 = 1,0	0,0	1

Берём целые части сверху-вниз и получаем двоичную форму дробной части искомого числа: 0,40625₁₀ = 0,01101₂.

Остаётся только объединить целую и дробную части:

54₁₀ + 0,40625₁₀ = 54,40625₁₀ 110110₂ + 0,01101₂ = 110110,01101₂.

Есть, правда, ещё один замечательный нюанс, о котором лучше знать – даже если дробная часть десятеричного числа точно определена (то есть, число не иррациональное и это не периодичная дробь), то при переводе в двоичную систему счисления дробная часть может запросто оказаться с бесконечным периодом! То есть, точно известное дробное десятеричное число можно лишь приблизительно представить в двоичном виде!

Например:

0,8₁₀ = 0,1100110011001100110011001100…₂ = 0,(1100)₂

Но в эти дебри мы сейчас уже углубляться не будем.