Электроника:Цифровая электроника/Системы счисления/Числа и способы их выражения

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Числа и цифры[1]

Числа (и способы их выражения) мы воспринимаем как само собой разумеющееся. Это и хорошо, и плохо при изучении электроники.

Это хорошо, поскольку мы привыкли использовать числа и манипулировать ими для большинства вычислений при анализе электронных схем.

С другой стороны, именно та система обозначений чисел, которую мы знаем со школьной скамьи, не является той системой, что используется в «прошивке» современных электронных вычислительных устройств. Для того чтобы освоить другую систему обозначений числе (вместо «родной» для нас десятеричной) придётся ломать шаблоны, засевшие в сознании.

Числа

Во-первых, нужно осознать разницу между числами и цифрами, которые мы используем для представления чисел. Число – это математическая мера, как правило, коррелирующая в электронике с физической величиной, такой как напряжение, ток, или сопротивление. Есть много разных типов чисел (так называемых числовых множеств). Вот некоторые из них:

Натуральные числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …

Целые числа:

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

Иррациональные числа:

π (≈ 3,1415927), e (≈ 2,718281828), квадратный корень из любого простого числа.

Вещественные числа:

(любые одномерные, т.е. не являющиеся комплексными, числовые значения, отрицательные и положительные, включая ноль, натуральные, целые и иррациональные числа).

Комплексные числа:

3 - j4, 34,5 ∠ 20°

Разные типы чисел находят различное применение в физическом мире. Целые числа хорошо подходят для подсчёта дискретных объектов, например, количество резисторов в цепи. Целые числа необходимы, когда требуются отрицательные эквиваленты натуральных чисел.

Иррациональные числа – это числа, которые нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел. Отношение длины окружности идеального круга к его диаметру (число π) является хорошим физическим примером этого. Нецелые величины напряжения, тока и сопротивления, с которыми мы привыкли иметь дело в цепях постоянного тока, могут быть выражены как действительные числа в дробной или десятичной форме.

Однако для анализа цепей переменного тока действительные числа не могут уловить двойную связку «величина + фазовый угол», и поэтому мы обращаемся к комплексным числам в алгебраической или полярной форме.

Символические обозначения для чисел

Раз уж мы используем числа для понимания физических процессов в реальном мире, совершения научных прогнозов или хотя бы для подведения баланса на своём банковском счёте, это само по себе подразумевает, что есть способ символического обозначения чисел.

Другими словами, мы можем знать, сколько денег на нашем текущем счёте, но для того, чтобы вести финансовый учёт, нужна некоторая система, разработанная для обозначения этого количества средств в чековой книжке или бухгалтерской ведомости или в какой-либо другой форме для ведения учёта и отслеживания денежных потоков.

Аналоговый и цифровой способы представления чисел

Числа можно выражать двумя основными способами: аналоговым и цифровым. В аналоговом представлении числа количество символизируется делимым до бесконечности образом (т.е. любое число, в том числе и иррациональное, можно выразить с любой мыслимой точностью). В цифровом представлении числа количество символизируется дискретным образом.

Аналоговое представление чисел

Вам, быть может, встречалось аналоговое представление денег, хотя вы и не осознали, что это было именно оно. Вы когда-нибудь видели плакат по сбору пожертвований с изображением термометра, где высота красного столбца показывала, как много денег уже собрано для благого дела? Чем больше донатов, тем выше красный столбец на плакате.

Рис. 1. Аналоговое представление числовой величины (в данном случае в виде красного столбца).
Рис. 1. Аналоговое представление числовой величины (в данном случае в виде красного столбца).

Это пример аналогового представления числа. Нет никаких ограничений на то, какой длины могут быть деления на шкале, чтобы символично отобразить сумму денег. Изменение масштаба этого столбца – это то, что можно сделать, не меняя принципиальной сути того, что здесь изображено.

Длина – это физическая величина, которую можно выразить в сколь угодно точной системе единиц, и на этот счёт нет каких-либо практических ограничений. Логарифмическая линейка – это механическое устройство, использующее одну и ту же физическую величину (длину) для представления чисел и помогающее выполнять арифметические операции с двумя или более числами одновременно. Это, кстати, тоже аналоговое устройство.

Цифровое представление чисел

С другой стороны, цифровое представление той же денежной суммы, записанное стандартными символами (арабскими цифрами), выглядит так:

$35955,38

В отличие от благотворительного плаката с «термометром» с его красной шкалой, эти символические обозначения показывают с конечной (а не бесконечной) степенью точности: это всегда конкретная и конечная комбинация цифр, обозначающая конкретное количество и только его.

Если происходит пополнение счёта (+ $40,12), необходимо использовать уже другой конкретный набор символов для представления нового баланса ($35995,50) или, по крайней мере, набор из тех же символов, но расположенных в другой последовательности. Это пример цифрового представления чисел.

Цифровым аналогом аналоговой логарифмической линейки является такое устройство как бухгалтерские счёты с костяшками, передвигаемые туда-сюда на спицах для обозначения числовых величин:

Рис. 2. Числовые величины представлены аналоговым положением выдвижной логарифмической линейки.
Рис. 2. Числовые величины представлены аналоговым положением выдвижной логарифмической линейки.
Рис. 3. Числовые величины представлены дискретными положениями костяшек на счётах.
Рис. 3. Числовые величины представлены дискретными положениями костяшек на счётах.

Контраст между аналоговым и цифровым представлением

Сравним эти два метода числового представления:

Аналоговый способ Цифровой способ
Интуитивно понятен (как правило) Требуется обучение для корректной интерпретации
Бесконечная делимость Дискретность
Погрешности при вычислениях Абсолютная точность

Правильная интерпретация наборов цифр как обозначений чисел – это то, что мы воспринимать как должное, потому что этому нас учили с детства. Однако, если вы попытаетесь передать некую числовую информацию человеку, не знакомому с десятичными числами, он всё равно сможет понять простую «термометрную» диаграмму! Сравнение бесконечно делимого и дискретного (а также прецизионного, т.е. высокоточного) – это две стороны одной медали. Тот факт, что числовое представление состоит из отдельных дискретных символов (десятичных цифр или к примеру, счётных костяшек), обязательно означает, что это количество можно отобразить с точной мерой деления, так сказать, с точным шагом.

С другой стороны, аналоговое представление (например, длина логарифмической линейки) состоит не из отдельных шагов-делений, а из непрерывного (бесконечно делимого) диапазона. Способность логарифмической линейки характеризовать числовую величину с бесконечным разрешением – это компромиссная компенсация за неточность вычислений.

Если ударить по логарифмической линейке с выставленным на ней числом, подвижная часть сместится и в представление «введённого» числа будет внесена ошибка. А вот по счётам нужно ударить посильнее, чтобы костяшки настолько сместились, чтобы можно было говорить, что на счётах теперь выставлено другое число.

Пожалуйста, не поймите превратно это различие в степени точности, думая, что цифровое представление всегда более точное, чем аналоговое. Тот факт, что часы являются цифровыми, не означает, что они всегда будут считывать время более точно, чем аналоговый хронометр, это просто означает, что интерпретация на их дисплее обладает меньшей степенью неоднозначности.

Чтобы дополнительно прояснить ситуацию с делимостью аналогового/цифрового представления, возьмём иррациональные числа. Числа вроде π называются иррациональными, потому что их невозможно выразить как отношение рациональных чисел (через дроби).

Хотя, возможно, из школьного курса математики вы знаете, что дробь 22/7 можно использоваться для вычисления числа π, но это всего лишь приближение (причём весьма грубое). Фактическое число «пи» невозможно точно выразить каким-либо конечным или ограниченным набором десятичных цифр. Уточнять число π можно до бесконечности:

3,1415926535897932384…

Можно, во всяким случае теоретически, так установить логарифмическую линейку (или даже использовать столбик термометра), чтобы идеально представить число π, потому что аналоговые обозначения не имеют минимального предела степени точности, повышать или понижать точность можно сколь угодно.

Если на моей логарифмической линейке отображено число 3,141593 вместо 3,141592654, я могу подвижную часть сместить чуть правее (или левее), чтобы приблизится к более точному значению π. Однако при цифровом представлении, на счётах, например, мне потребовались бы дополнительные спицы с костяшками для представления числа π с ещё большей степенью точности.

Счёты с 10 спицами просто не могут представлять число π, с более чем 10-ю знаками после запятой, каким бы способом бы я ни передвигал костяшки. Чтобы идеально представить π, на счётах понадобится бесконечное количество костяшек и спиц! Компромисс, конечно же, заключается в том, чтобы ограничить настройки и интерпретацию аналоговых представлений до разумного предела.

Практически невозможно считать шкалу логарифмической линейки с точностью до 10-го знака, потому что отметки на шкале слишком грубые, а острота человеческого зрения имеет свой порог. С другой стороны, на счётах установленное число интерпретируется точно и однозначно.

Кроме того, аналоговые представления требуют некоего универсального стандарта, по которому их можно сравнивать для точной интерпретации. Логарифмические линейки откалиброваны по своей длине, благодаря чему можно длину перевести в стандартные величины.

Даже на диаграмме с термометром вдоль вертикали написаны цифры, показывающие, сколько денег (в долларах) изображает красный столбец любой заданной высоты. Представьте, что нужно сообщить другому человеку величину натурального числа, расставляя свои руки на разном расстоянии.

Число 1 можно обозначить, держа руки друг от друга на расстоянии 1 дюйм, число 2 – 2 дюйма и так далее. Если бы кто-то держал руки на расстоянии 17 дюймов (чуть более 43 сантиметров) друг от друга, чтобы обозначить число 17, смогли бы все вокруг немедленно и точно интерпретировать это расстояние как 17? Возможно, что нет.

Кто-то предположит меньшее число (15 или 16), а кто-то – большее (18 или 19). Ясное дело, что бывалые рыбаки, которые хвалятся своим уловом (показывая характерным жестом какую рыбину сегодня поймали), не против завышенной оценки количества!

Возможно, поэтому люди обычно предпочитают цифры для представления чисел, особенно если это натуральные и целые числа, с которыми мы в основном и имеем дело в повседневной жизни.

Пальцы на руках – это уже готовое средство для обозначения целых чисел от 0 до 10. Мы можем довольно легко сделать отметины на бумаге, дереве или камне для обозначения небольших величин. При этом, чтобы легче было ориентироваться в величине числа, можно группировать по пять отметин (по количеству пальцев на руках), зачёркивая их. Подобные зарубки делал Робинзон, когда вёл календарь в течении почти 30 лет (только он группировал не по пять зарубок, а по семь, обозначая прошедшие недели). В англоязычных странах эта система счисления называется «hash mark» («хеш-метки»). В русскоязычных это просто способ интерпретации унарной системы счисления:

Рис. 4. Простейшая система счисления с помощью так называемых «хеш-меток», когда число обозначается в виде соответствующего количества отметин, сгруппированных по 5 штук (+ некоторый возможный остаток меньше пяти). 5 – это размер хеша в данном случае.
Рис. 4. Простейшая система счисления с помощью так называемых «хеш-меток», когда число обозначается в виде соответствующего количества отметин, сгруппированных по 5 штук (+ некоторый возможный остаток меньше пяти). 5 – это размер хеша в данном случае.

Может, это и сойдёт для небольших целых чисел, однако для крупных величин такая система счисления уж чересчур неэффективна.

См.также

Внешние ссылки