Электроника:Постоянный ток/Экспоненциальная запись и метрические приставки/Арифметические операции для экспоненциальной записи

←Экспоненциальная запись и метрические приставки→

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Арифметические операции для экспоненциальной записи

Преимущества экспоненциального отображения не ограничиваются простотой написания и демонстрацией точности. Подобные обозначения также хорошо подходят для математических задач умножения и деления. Предположим, мы хотим узнать, сколько электронов пройдет по элементу электрической цепи, по которой проходит ток силой в 1 ампер в течении 25-ти секунд. Если мы знаем количество электронов в цепи, проходящих за 1 секунду (мы это выяснили в прошлый раз), то всё, что нам осталось, это умножить данное значение на количество секунд (25), чтобы получить ответ, касающийся общего количества электронов:

(6 250 000 000 000 000 000 электронов в секунду) x (25 секунд) = 156 250 000 000 000 000 000 электронов, проходящих за 25 секунд

Используя экспоненциальную запись, мы можем записать так:

(6,25 x 10¹⁸ электронов в секунду) x (25 секунд)

Если мы возьмем «6,25» и умножим на 25, получим 156,25. Тогда ответ можно записать в таком виде:

156,25 х 10¹⁸ электронов

Однако, если мы придерживаемся стандартных соглашений для экспоненциальной формы, мы должны представить наборы значащих цифр как числа от 1 до 10. В этом случае это будет «1,5625», умноженное на некоторую степень десятки. Чтобы получить 1,5625 из 156,25, необходимо передвинуть десятичный знак на два разряда левее. Чтобы компенсировать это без изменения значения значащего числа, нужно увеличить нашу степень десятки на два порядка (10 в 20-й степени вместо 10 в 18-й степени):

1,5625 x 10²⁰ электронов

А что, если бы мы захотели выяснить, сколько электронов пройдет за 3600 секунд (т.е. за 1 час)? Чтобы упростить вычисление, в экспоненциальной форме можно также записать и время:

(6,25 x 10¹⁸ электронов в секунду) x (3,6 x 10³ секунды)

Чтобы выполнить умножение, надо взять оба набора значащих цифр (6,25 и 3,6) и умножить одно на другое; также нужно взять обе степени десятки и тоже их перемножить. Умножая 6,25 на 3,6, получаем 22,5. Взяв число 10¹⁸ и помножив его на 10³, мы получим 10²¹ (если основания равны, то просто складываем показатели степени). Итак, получаем ответ:

22,5 х 10²¹ электронов

Или, если точнее:

2,25 х 10²² электронов

Чтобы проиллюстрировать, как для экспоненциальной записи выглядит деление, можно рассмотреть предыдущую задачу «задом наперёд», т.е. выяснить, сколько времени потребуется, чтобы по электрической цепи прошло известное количество электронов при силе тока в 1 ампер:

(2,25 x 10²² электронов) / (6,25 x 10¹⁸ электронов в секунду)

Так же, как и для умножения, мы отдельно обрабатываем значащие цифры и десятичные (учтите, что при делении показатели степеней десятки нужно не складывать, а вычитать):

(2,25 / 6,25) х (10²² / 10¹⁸)

Итоговый ответ: 0,36 x 10⁴ или же 3,6 x 10³ секунд. Как видите, мы пришли к искомому количеству времени (3600 секунд). Возможно, вы зададитесь вопросом, а зачем это всё нужно, когда есть электронные калькуляторы, которые всю эту математику выполняют автоматически. Что ж, в те времена, когда учёные и инженеры использовали аналоговый компьютер под названием «логарифмическая линейка», данные методы были незаменимы. «Жёсткая» арифметика (работа со значащими цифрами) выполнялась с помощью логарифмической линейки, в то время как степень десятки вычислялась самостоятельно, посредством обычного сложения и вычитания.

Итог

• Значащие цифры отражают реальную точность числа.
• Экспоненциальная запись – это «стенографический» метод представления очень больших и очень маленьких чисел в удобной для восприятия форме.
• При умножении двух чисел в экспоненциальном представлении можно перемножить оба набора значащих цифр и получить итоговую степень десяти, складывая экспоненты.
• При делении двух чисел в экспоненциальном представлении можно разделить первый набор значащих цифр на второй и получить степень десяти, вычитая экспоненты.

Внешние ссылки

←Экспоненциальная запись и метрические приставки→