Электроника:Постоянный ток/Экспоненциальная запись и метрические приставки/Экспоненциальная запись

←Экспоненциальная запись и метрические приставки→

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Экспоненциальная запись

Во многих областях науки и техники приходится работать как с очень большими, так и с очень маленькими числами. Некоторые из них поражают своей величиной, либо очень маленькой, либо чрезвычайно большой. Возьмём, к примеру, массу протона – частицы, являющейся составной частью атомного ядра:

Масса протона = 0,00000000000000000000000167 грамм

Или рассмотрим количество электронов, ежесекундно проходящих через элемент электрической цепи при постоянном электрическом токе в 1 ампер:

1 ампер = 6 250 000 000 000 000 000 электронов в секунду

Многовато ноликов, не так ли? Очевидно, что работа с таким количеством нулей в числах, подобных этим, может оказаться достаточно запутанной, даже если воспользоваться калькулятором или компьютером.

Обращает на себя внимание то, что в этих числах относительно мало других (отличных от нуля) цифр. В частности, для массы протона, всё, что есть – это только «167», перед которыми идут подряд 23 нуля после десятичного знака. Что касается количества электронов в секунду для силы тока в 1 ампер – здесь имеется «625», за которыми следуют 16 нулей. В числе такой диапазон ненулевых цифр (от первой до последней) среди которых могут встретиться и нули (не путать с теми длинными рядами нулей, идущими перед диапазоном или после него), называются «значащими цифрами».

Значащие цифры в реальном измерении обычно характеризуют точность данного измерения. Например, если мы говорим, что вес автомобиля составляет 3000 фунтов, то, вероятно, речь не о том, что этот автомобиль буквально весит ровно 3000 фунтов, а о том, что мы округлили его вес до значения, которое проще озвучить и запомнить.

Округленная цифра 3000 имеет только одну значащую цифру: первую цифру «3» – остальные нули показывают просто порядок числа. Однако, если бы мы сказали, что автомобиль весит 3005 фунтов, то тот факт, что вес не округлен до ближайшей тысячи фунтов, говорит нам, что два нуля в середине это не просто указывают на порядок числа, а все четыре цифры для числа «3005» являются значащими в контексте его репрезентативной точности. Таким образом, число «3005» состоит из четырёх значащих цифр.

Точно так же числа с множеством нулей не обязательно представляют собой реальную величину вплоть до десятичного знака. В этих случаях подобное число может быть записано в виде особой математической «стенографии», чтобы с ним было легче работать. Эта «стенография» называется экспоненциальной записью.

В экспоненциальной записи число записывается таким образом, что его значащие цифры представлены в виде дробного числа от 1 до 10 (или от -1 до -10 для отрицательных чисел), а подряд идущие нули учтены посредством умножения на степень десятки.

Например:

1 ампер = 6 250 000 000 000 000 000 электронов в секунду

А можно представить и в таком виде:

1 ампер = 6,25 x 10¹⁸ электронов в секунду

10 в 18-й степени (10¹⁸) означает 10, умноженное на себя 18 раз, или «1» с 18 нулями. При умноженное на 6,25, получаем «625» с 16 нулями (т.е. берём 6,25 и передвигаем десятичный знак на 18 разрядов вправо). Преимущества экспоненциального способа очевидны: число не настолько громоздко, если записать его на бумаге, а значащие цифры легко идентифицировать.

А что насчёт очень малых чисел, вроде массы протона в граммах? Мы по-прежнему можем использовать экспоненциальную запись, только теперь используем отрицательную степень десятки вместо положительной, для смещения десятичного знака влево, а не вправо:

Масса протона = 0,00000000000000000000000167 грамм

Можно выразить так:

Масса протона = 1,67 x 10^-24 грамм

10 в минус 24-й степени (10^-24) означает, что это число, обратное (т.е. 1/x) для 10, умноженное на себя 24 раза, или «1», перед которым стоит десятичный знак и 23 нуля. Если это умножить на 1,67, получится «167», перед которым стоит десятичный знак и 23 нуля. Как и с очень большими числами, человеку много проще иметь дело с подобной «сокращенной» записью. И в том, и в другом случае, значащие цифры чётко выражены.

Поскольку значащие цифры представлены «сами по себе», в отличие от множителя в виде степени десятки, легко показать уровень точности, даже если число выглядит круглым. В нашем примере с 3000-фунтовым автомобилем, можно выразить округленное число 3000 в экспоненциальной форме следующим образом:

Вес авто = 3 x 10³ фунта

Если бы автомобиль на самом деле весил 3005 фунтов (то есть, оперируем весом с точностью до фунта), и мы хотели бы показать данную точность измерения, число в экспоненциальной записи записывается вот так:

Вес авто = 3,005 x 10³ фунта

А что, если машина действительно весит 3000 фунтов (и это был бы вес с точностью до фунта)? Если бы мы записали его вес в «нормальной» форме (3000 фунтов), было бы неясно, действительно ли это число, указанное с точностью до фунта, а не просто округление до ближайшей тысячи фунтов или до ближайшей сотни фунтов или до десятков фунтов. С другой стороны, экспоненциальная запись позволяет нам показать, что значимы все четыре цифры:

Вес авто = 3,000 x 10³ фунта

Поскольку других причин добавлять дополнительные нули справа от десятичного знака нет (ведь экспоненциальная запись сама по себе не нуждается в ряде дополнительных нулей), мы знаем, что в данном конкретном случае эти нули указаны для демонстрации точности числа.

Внешние ссылки

←Экспоненциальная запись и метрические приставки→