Электроника:Переменный ток/Реактанс и импеданс – Индуктивность/Последовательные резистивно-индуктивные цепи

←Реактанс и импеданс – Индуктивность→

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Последовательные резистивно-индуктивные цепи

В предыдущем разделе мы исследовали простые цепи переменного тока, помимо источника напряжения содержащих или только резистор или только катушку индуктивности. Теперь мы последовательно соединим и то и другое и посмотрим, что получится.

Пример последовательной схемы «резистор-индуктор»

Возьмем такую схему в качестве первого примера:

Рис. 1. Пример последовательной схемы «резистор-индуктор».

В индуктивной цепи, в которой помимо катушки есть последовательный резистор, волна тока будет отставать от волны приложенного напряжения в пределах от 0° до 90°.

Резистор оказывает 5 Ом обычного сопротивления и это значение не зависит от частоты тока. В то же время катушка индуктивности оказывает 3.7699 Ом реактивного сопротивления переменному току с частотой 60 Гц.

Поскольку сопротивление резистора является действительным числом («5 Ом ∠ 0°», или, если в комплексных числах, «5 + j0 Ом»), а реактивное сопротивление катушки индуктивности - мнимым числом («3,7699 Ом ∠ 90°» или «0 + j3,7699 Ом»). Совокупный эффект двух этих элементов цепи противодействует переменному току и данное суммарное сопротивление равно сумме двух комплексных чисел.

Это комбинированное противодействие является векторной комбинацией обычного сопротивления и реактивного сопротивления. Чтобы выразить это более лаконично, понадобится более общий термин для обозначения сопротивления току, нежели простое сопротивление или реактивное сопротивление.

Этот термин называется импедансом, обозначается буквой «Z». Выражается в единицах «Ом», точно так же, как простое сопротивление и реактивное сопротивление. В приведённом выше примере полное сопротивление цепи составляет:

Рис. 2. Расчёт полного сопротивления (импеданса) цепи.

Сопротивление в соответствии с законом Ома

Импеданс ожидаемо связан по закону Ома с напряжением и током аналогично обычному сопротивлению:

Рис. 3. Импеданс зависит от напряжения и тока таким образом, как и предполагалось – по закону Ома.

Можно сказать, что это более всеобъемлющая версия закона Ома, чем та, что рассматривалась, когда мы разбирали цепи постоянного тока (E = IR). Что неудивительно – ведь импеданс является гораздо более полным выражением сопротивления потоку тока, чем обычное сопротивление. Любое простое сопротивление и любое реактивное сопротивление, по отдельности или в комбинации (последовательно/параллельно), могут и должны быть представлены как единый импеданс в цепи переменного тока.

Чтобы рассчитать ток в приведённой выше схеме, сначала необходимо указать опорный угол сдвига фаз для источника напряжения, который обычно считается равным нулю. (Фазовые углы резистивной и индуктивной составляющих импеданса всегда равны 0° и + 90° соответственно, независимо от заданных фазовых углов для напряжения или тока).

Рис. 4. Рассчитываем силу тока в приведённой выше схеме.

Как и в случае простой индуктивной цепи, волна тока отстаёт от волны напряжения (источника питания), хотя на этот раз отставание не так велико: всего 37,016° по сравнению с 90°, как в случае сугубо индуктивной цепи.

Рис. 5. Ток отстаёт от напряжения в последовательной LR-цепи на 37,016°, а не на 0° как в R-цепи и не на 90° как в L-цепи.

Для резистора и катушки индуктивности соотношение фаз между напряжением и током не изменилось. Напряжение на резисторе синфазно (т.е. фазовый сдвиг равен 0°) с током, проходящим через этот резистор. Напряжение на катушке индуктивности на +90° не совпадает по фазе с током, проходящим через индуктор. Мы можем убедиться в этом математически:

Рис. 6. Фазовый угол между напряжением и током для резистора.

Как видим, напряжение на резисторе имеет тот же фазовый угол, что и ток, проходящий через него. Это говорит нам о том, что E и I находятся в фазе (именно для резистора). А теперь посчитаем и для индуктивного элемента:

Рис. 7. Фазовый угол между напряжением и током для катушки индуктивности.

Напряжение на катушке индуктивности имеет фазовый угол 52,984°, в то время как ток через катушку индуктивности имеет фазовый угол -37,016° – то есть разница точно 90° между ними. Это говорит нам о том, что E и I все ещё не совпадают по фазе на 90° (это касается только катушки индуктивности).

Использование правила напряжений Кирхгофа

Мы также можем математически доказать что, сложив эти комплексные значения, получим общее напряжение, в полном соответствии с правилом напряжений Кирхгофа:

Рис. 8. Считаем полное напряжение, используя правило Кирхгофа.

Расчёт с помощью программы SPICE

Проверим в программе SPICE правильность наших выкладок:

Рис. 9. Последовательная RL-схема.

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m 
.ac lin 1 60 60 
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1) 
.end

freq            v(1,2)       v(2)       i(v1) 
 6.000E+01       7.985E+00       6.020E+00      1.597E+00
 
 freq            vp(1,2)       vp(2)       ip(v1) 
 6.000E+01       -3.702E+01       5.298E+01      1.430E+0

Рис. 10. SPICE выдаёт результаты не в сильно удобном для восприятия виде, поэтому интерпретируем их.

Обратите внимание, что, как и в случае с цепью постоянного тока, SPICE выводит значения для силы тока как отрицательное число (это означает сдвиг по фазе на 180°) по сравнению с напряжением источника питания. Вместо фазового угла -37,016° мы получаем округлённый текущий фазовый угол 143° (-37° + 180°).

Это всего лишь проявление идиосинкразии (показания в противоположной направленности) программы SPICE и ничего более. Обратите внимание, что фазы напряжения резистора и катушки индуктивности совпадают с нашими расчётами (-37,02° и 52,98° соответственно), тут всё как мы и ожидали.

Имея эти начальные данные, мы можем рассчитать остальные электрические характеристики всех элементов цепи. Но, пожалуй, даже для такой простой последовательной схемы целесообразно использовать «табличный метод». Применение этого метода к этой простой последовательной схеме «резистор-индуктор» принципиально не отличается от того, как мы это делали раньше для схем постоянного тока.

Сначала подготовим таблицу для нахождения всех значений E/I/Z, вставив те значения что известны в подходящей форме (другими словами, не нужно заносить в таблицу отдельно значения простого сопротивления и отдельно индуктивность в омах и генри соответственно; вместо этого преобразуйте их в комплексные цифры импеданса и именно их и запишите в таблицу):

Рис. 11. Рассчитаем импеданс на основании пока известных данных и в комплексном виде занесём в таблицу.

Хотя это и необязательно, я настоятельно рекомендую записать в таблицу как алгебраическую, так и полярную форму каждой величины. Если есть умеющий работать с комплексными числами калькулятор, который возьмёт на себя сложные арифметические операции без необходимости преобразования алгебраической формы в полярную, то тогда можно ограничиться только одной формой.

Однако, если приходится выполнять сложные арифметические операции вручную (сложение и вычитание проще делать в алгебраической форме, а умножение и деление – в полярной), запись каждой величины в обеих формах действительно пригодится.

Теперь, когда наши «заданные» цифры вставлены в соответствующие места в таблице, можно действовать так же, как и с постоянным током: определить общий импеданс из отдельных импедансов. Поскольку это последовательная цепь, мы знаем, что противодействие току (хоть простое сопротивление, хоть сложный импеданс) складывается, в результате чего получаем полное сопротивление:

Рис. 12. Находим общий импеданс.

Теперь, когда известно полное напряжение и полное сопротивление, можно применить закон Ома (I = E/Z) для определения общей силы тока:

Рис. 13. Находим общую силу тока.

Как и в случае с постоянным током, общий ток в последовательной цепи переменного тока одинаков для всех элементов. Это по-прежнему верно, потому что в последовательной цепи есть только один путь для прохождения тока, поэтому поток электронов одинаков на всём пути следования. Следовательно, мы можем просто продублировать значения силы тока как для резистора, так и для катушки индуктивности:

Рис. 14. В последовательной цепи сила тока для отдельных элементов такая же, как и общая сила тока.

Теперь все, что осталось вычислить, – это падение напряжения на резисторе и катушке индуктивности соответственно. Это делается с помощью закона Ома (E = IZ), применяемого вертикально в каждом столбце таблицы:

Рис. 15. Последний шаг – нахождение по закону Ома напряжения для отдельных элементов.

На этом заполнение нашей таблицы завершено. Точно такие же правила, которые мы применяли при анализе цепей постоянного тока, применимы и к цепям переменного тока. Но с оговоркой: все величины должны быть представлены и вычислены в комплексной, а не в скалярной форме.

Если фазовый сдвиг в наших расчётах указан правильно, нет принципиальной разницы в том, как мы подходим к основному анализу цепи переменного тока по сравнению с анализом цепи постоянного тока.

Сейчас самое время, чтобы сопоставить эти расчётные цифры и те показания, которые будут получены с помощью приборов при реальных измерениях напряжения и силы тока.

Цифры, которые напрямую относятся к реальным измерениям, будут в полярной форме, а не в алгебраической! Другими словами, если вы подключите вольтметр к резистору в этой цепи, он будет показывать 7,9847 вольт (полярная форма записи), а не 6,3756 (вещественная составляющая алгебраической формы записи) или 4,8071 (мнимая составляющая алгебраической формы записи) вольт.

В контексте графика, измерительные приборы просто сообщат длину вектора для конкретной величины (напряжения или тока).

Алгебраическая запись удобна для арифметического сложения и вычитания, но при этом она более абстрактная. Полярная запись к реальным измерениям ближе. Как уже говорилось, в таблицах, ради упрощения математических расчётах, мы будем указывать как полярную, так и алгебраическую запись для каждой величины.

Это не является абсолютно необходимым, но однозначно полезно для тех, кто не использует калькулятор с расширенными возможностями. Если использовать только одну формы записи, то лучше тогда полярную, потому что она напрямую коррелирована с реальными измерениями.

Импеданс (Z) последовательной RL-цепи может быть вычислен с учётом сопротивления (R) и индуктивного реактивного сопротивления (XL). Поскольку E = IR, E = IXL и E = IZ, то обычное сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс пропорциональны соответствующему напряжению. Таким образом, векторную диаграмму для напряжения можно заменить на аналогичную диаграмму для импеданса.

Рис. 16. В последовательной RL-цепи вектор для импеданса такой же, как и вектор для напряжения.

Пример:

Дано: резистор на 40 Ом, соединён последовательно с катушкой индуктивности на 79,58 миллигенри. Найти: полное сопротивление при частоте 60 Гц.

XL = 2πfL
XL = 2π × 60 × 79,58 × 10-3
XL = 30 Ом
Z = R + jXL
Z = 40 + j30
|Z| = sqrt(402 + 302) = 50 Ом
∠Z = arctng(30/40) = 36.87°
Z = 40 + j30 = 50 ∠36.87°

Итог

• Импеданс – это полная мера противодействия электрическому току и представляет собой комплексную (векторную) сумму простого сопротивления («вещественная составляющая») и реактивного сопротивления («мнимая составляющая»). Импеданс обозначается буквой «Z» и измеряется в Омах, так же как и сопротивление (R) и реактивное сопротивление (X).
• К импедансу (Z) применимы те же приёмы, которые используются при работе с сопротивлением (R) при анализе последовательной цепи. Последовательное сопротивление складывается, чтобы вычислить общий импеданс. При этом все вычисления обязательно нужно выполнять в комплексной (не скалярной) форме! Z_Всего = Z₁ + Z₂ + … + Z_n.
• Сугубо резистивный импеданс имеет фазовый угол, равный точно 0 ° (ZR = R Ом ∠ 0°).
• Сугубо индуктивный импеданс имеет фазовый угол, равный точно +90° (ZL = XL Ом ∠ 90 °).
• Закон Ома для цепей переменного тока: E = IZ; I = E/Z; Z = E/I.
• Когда в последовательной цепи есть и резисторы, и катушки индуктивности, общий импеданс будет иметь фазовый угол где-то между 0° и +90°. Ток в цепи будет иметь фазовый угол в пределах от 0° до -90°.
• Последовательные цепи переменного тока обладают теми же фундаментальными свойствами, что и последовательные цепи постоянного тока: ток однороден по всей цепи, чтобы найти общее напряжение – падения напряжения отдельных элементов складываются, а импедансы компонентов суммируются, чтобы получить общий импеданс.

Внешние ссылки

←Реактанс и импеданс – Индуктивность→