Электроника:Постоянный ток/Постоянные времени в RC и L/R цепях/Расчёт напряжения и силы тока

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Расчёт напряжения и силы тока[1]

Есть верный способ рассчитать любое из значений в реактивной цепи постоянного тока в любой момент времени.

Расчёт значений в реактивной цепи постоянного тока

Сначала нужно определить начальное и конечное значения для той электрической характеристики, изменению которой препятствует конденсатор или катушка индуктивности, какова бы ни была реактивная составляющая устройства. Для конденсаторов это напряжение; для индуктивных элементов – сила тока. Когда переключатель в цепи замыкается (или размыкается), реактивный элемент пытаться поддерживать количество «своей» характеристики на том же уровне, что и до переключения, так что данное значение можно использоваться в качестве «начального».

Конечное значение – это то, каким оно будет для электрической характеристики спустя неопределённо долгое время. Это можно определить путём анализа ёмкостной цепи, в которой конденсатор размыкает цепь, или катушка индуктивности создаёт короткое замыкание, ибо именно так эти компоненты повели бы себя, если бы достигли состояния абсолютно «полной зарядки» через неопределённо большое количество времени.

Следующим делом нужно вычислить постоянную времени схемы: под этим понятием подразумевается время, необходимое для изменения значений напряжения или силы тока примерно на 63% от начального значения до конечного в переходной ситуации.

В последовательной RC-цепи постоянная времени равна полному сопротивлению в омах, умноженному на общую ёмкость в фарадах (т.е. = R×C). Для последовательной L/R-цепи – это общая индуктивность в генри, делённая на общее сопротивление в омах (т.е. = L/R). В любом случае постоянная времени выражается в секундах и обозначается греческой буквой «тау» (τ):

Рис. 1. Постоянная времени в формулах для RC- и L/R-цепей.
Рис. 1. Постоянная времени в формулах для RC- и L/R-цепей.

Повышение или понижение таких характеристик цепи, как общее напряжение и общая сила тока, как реакция на переходный процесс, как упоминалось ранее, являются асимптотическими. При этом значения начинают быстро меняться вскоре после запуска переходного процесса и со временем стабилизируются. Если эти приближения к своим конечным значениям для напряжения и тока отобразить на графике, то они будут в виде экспоненциальных кривых.

Как уже упоминалось, постоянная времени – это то количество времени, которое требуется, чтобы любое из этих значений (напряжение или сила тока) изменилось примерно на 63 процента, начиная от начального значения до конечного. Причём постоянная времени может вычисляться не единожды, после того как изменилась характеристика за прошедшие 63% времени, фиксируется новое начальное значение и с учётом следующих 63% времени от нового начального значения до конечного можно снова рассчитывать следующий скачок в изменении характеристики. Математическая формула для определения точного процента довольно проста:

Рис. 2. Уравнение для определения точных процентов изменения по прошествии времени.
Рис. 2. Уравнение для определения точных процентов изменения по прошествии времени.

Буква e обозначает число Эйлера, которое приблизительно равно 2,7182818. Такой результат получен с помощью методов исчисления в результате математического анализа асимптотического изменения значений для электрических характеристик схемы. По прошествии времени, равного одной постоянной времени, процент изменения от начального значения до конечного значения составляет:

Рис. 3. Уравнение для определения точных процентов по прошествии одной постоянной времени.
Рис. 3. Уравнение для определения точных процентов по прошествии одной постоянной времени.

По прошествии двух постоянных времени процент изменения от начального значения до конечного значения составляет:

Рис. 4. Уравнение для определения точных процентов по прошествии двух постоянных времени.
Рис. 4. Уравнение для определения точных процентов по прошествии двух постоянных времени.

По истечении, к примеру, десяти постоянных времени процентное соотношение составляет:

Рис. 5. Уравнение для определения точных процентов по прошествии десяти постоянных времени.
Рис. 5. Уравнение для определения точных процентов по прошествии десяти постоянных времени.

Чем больше времени проходит с самого первого момента подачи кратковременного напряжения от батареи, тем больше значение знаменателя дроби, что даёт меньшее значение для всей дроби, в результате чего общая сумма (1 минус дробь со степенью числа e) приближается к 1, или, если перевести в проценты, к 100%.

Универсальная формула постоянной времени

Из этого уравнения можно вывести более универсальную формулу для определения значений напряжения и силы тока в переходных цепях, умножив эту величину на разницу между конечным и начальным значениями цепи:

Рис. 6. Универсальная формула с использованием постоянной времени для расчёта изменения напряжения или силы тока спустя определённое время.
Рис. 6. Универсальная формула с использованием постоянной времени для расчёта изменения напряжения или силы тока спустя определённое время.

Давайте проанализируем рост напряжения в цепи с последовательным соединением «резистор-конденсатор», показанной в начале главы.

Рис. 7. Снова схема, рассмотренная в разделе «2. Переходные процессы в цепях с конденсатором».
Рис. 7. Снова схема, рассмотренная в разделе «2. Переходные процессы в цепях с конденсатором».

Обратите внимание, мы будем анализировать напряжение, потому что значение электроёмкости, как правило, остаётся постоянным. Хотя формула довольно хорошо работает для силы тока, начальные и конечные значения силы тока фактически выводятся из значений для напряжения конденсатора, поэтому расчёт напряжения является первичным. Сопротивление составляет 10 кОм, а ёмкость 100 мкФ (микрофарад). Поскольку постоянная времени (τ) для RC-цепи является произведением сопротивления и ёмкости, мы получаем значение для «тау», равное 1 секунде:

Рис. 8. Уравнение для нахождения постоянной времени для данной конкретной цепи.
Рис. 8. Уравнение для нахождения постоянной времени для данной конкретной цепи.

Если конденсатор запускается в полностью разряженном состоянии (0 вольт), то мы можем использовать это значение напряжения в качестве «начального» значения. Конечным значением, конечно же, будет полное напряжение аккумулятора (15 вольт). Наша универсальная формула для напряжения конденсатора в этой схеме выглядит так:

Рис. 9. Формула для вычисления напряжения конденсатора спустя время после замыкания цепи.
Рис. 9. Формула для вычисления напряжения конденсатора спустя время после замыкания цепи.

Спустя 7,25 секунды после подачи напряжения (после того, как замкнули переключатель), напряжение конденсатора увеличится на следующую величину:

Рис. 10. Напряжение на конденсаторе спустя 7,25 секунд после того, как замкнули цепь.
Рис. 10. Напряжение на конденсаторе спустя 7,25 секунд после того, как замкнули цепь.

Поскольку изначально напряжение на конденсаторе было равно 0 вольт, это увеличение на 14,989 вольт означает, что у нас через 7,25 секунды напряжение на конденсаторе будет равным 14,989 вольт.

Та же формула используется и для определения силы тока в этой цепи. Поскольку мы знаем, что разряженный конденсатор изначально действует как короткое замыкание, пусковой ток будет максимально возможным: 15 вольт (от батареи) разделенные на 10 кОм (единственное, что сразу противодействует току в цепи):

Рис. 11. Определение начальной силы тока в цепи по формуле Закона Ома.
Рис. 11. Определение начальной силы тока в цепи по формуле Закона Ома.

Мы также знаем, что конечный ток будет равен нулю, поскольку конденсатор в итоге будет вести себя как разомкнутый участок цепи, т.е. электроны в итоге по цепи перемещаться не будут. Теперь, когда известно как начальное, так и конечное значения силы тока, можно использовать нашу универсальную формулу для определения тока спустя 7,25 секунды после замыкания переключателя в этой же RC-цепи:

Рис. 12. Сила тока на конденсаторе спустя 7,25 секунд после того, как замкнули цепь.
Рис. 12. Сила тока на конденсаторе спустя 7,25 секунд после того, как замкнули цепь.

Обратите внимание, что полученное значение изменения отрицательное, а не положительное! Это говорит о том, что сила тока со временем уменьшилась, а не увеличилась. Поскольку мы начали с тока 1,5 мА, это уменьшение (-1,4989 мА) означает, что у нас есть 0,001065 мА (1,065 мкА) спустя 7,25 секунды.

Мы также могли бы определить силу тока в цепи в момент времени = 7,25 секунды, вычтя напряжение конденсатора (14,989 В) из напряжения батареи (15 В), чтобы получить падение напряжения на резисторе с сопротивлением 10 кОм, а затем рассчитав силу тока, проходящего через резистор (а так как цепь последовательная, то это будет и общая сила тока) по закону Ома (I = E/R). В любом случае ответ будет тот же:

Рис. 13. Альтернативный расчёт силы тока с тем же результатом.
Рис. 13. Альтернативный расчёт силы тока с тем же результатом.

Использование универсальной формулы постоянной времени для анализа индуктивных цепей

Универсальная формула постоянной времени также хорошо работает для анализа индуктивных цепей. Давайте применим его к нашему примеру L/R-цепи в начале главы:

Рис. 14. Снова схема, рассмотренная в разделе «3. Переходные процессы в цепях с катушкой индуктивности».
Рис. 14. Снова схема, рассмотренная в разделе «3. Переходные процессы в цепях с катушкой индуктивности».

При индуктивности 1 генри и последовательном сопротивлении 1 Ом наша постоянная времени равна 1 секунде:

Рис. 15. Определяем постоянную времени.
Рис. 15. Определяем постоянную времени.

Поскольку это индуктивная цепь, и мы знаем, что индуктивные элементы противодействуют изменению силы тока, используем в нашей формуле постоянной времени начальное и конечное значения силы тока. Если в самом начале переключатель находится в разомкнутом положении, сила тока равна нулю, поэтому ноль будет нашим начальным значением для силы тока.

После того, как переключатель оставался замкнутым в течение длительного времени, ток стабилизируется до своего конечного значения, равного напряжению источника, делённому на общее сопротивление цепи (I = E/R), или 15 ампер в случае этой конкретной цепи.

Если бы мы хотели определить значение тока через 3,5 секунды, мы бы применили универсальную формулу постоянной времени в чистом виде:

Рис. 16. С помощью постоянной времени вычисляем изменение силы тока спустя 3,5 секунды.
Рис. 16. С помощью постоянной времени вычисляем изменение силы тока спустя 3,5 секунды.

Учитывая тот факт, что наш пусковой ток был равен нулю, это даёт нам силу тока цепи 14,547 А за время 3,5 секунды спустя после того, как переключатель замкнул цепь.

Для определения напряжения в индуктивной цепи лучше всего сначала рассчитать силу тока в цепи, а затем рассчитать падение напряжения с учётом сопротивления, чтобы определить, чему пока ещё равно напряжение на катушке индуктивности, прежде чем оно упадёт до нуля. С одним резистором в нашей схеме (имеющим сопротивления 1 Ом) это довольно просто:

Рис. 17. Расчёт падений напряжения с учётом сопротивления в цепи.
Рис. 17. Расчёт падений напряжения с учётом сопротивления в цепи.

Если полученное значение вычесть из полного напряжения нашей батареи 15 вольт, то на катушке индуктивности останется 15 В – 14,547 В = 0,453 вольт за время = 3,5 секунды после того, как переключатель замкнул цепь.

Итог

Рис. 18. Универсальная формула с использованием постоянной времени для расчёта изменения напряжений или силы тока спустя определённое время.
Рис. 18. Универсальная формула с использованием постоянной времени для расчёта изменения напряжений или силы тока спустя определённое время.
  • Чтобы проанализировать RC- или L/R=-цепь, выполните следующие действия:
  • (1): Определите постоянную времени для контура (RC или L/R?).
  • (2): Определите электрическую характеристику, которая должна быть вычислена (которой прямо противодействует реактивная составляющая). Для конденсаторов это напряжение; для катушек индуктивности это сила тока.
  • (3): Определите начальное и конечное значения для этой характеристики.
  • (4): Подставьте все значения (конечное и начальное значения, время, постоянная времени) в универсальную формулу постоянной времени и найдите изменение количества.
  • (5): Если начальное значение было нулевым, то фактическое значение в указанное время равно вычисленному с помощью универсальной формулы изменению. Если нет, добавьте изменение к начальному значению, чтобы узнать, чему оно будет равно в итоге.

См.также

Внешние ссылки